淺談中學(xué)數(shù)學(xué)中的反證法-資料下載頁
2025-06-10 01:16本頁面
【正文】 況都不成立，則假設(shè)錯誤，即原命題成立.（1） 若 ，則 為等腰三角形，∴ ，與已知 矛盾.??B??（2） 若 ，在 延長線上取一點(diǎn) ，使得 ，連接 . AB?DA?D∵ ∴ 為等腰三角形 ∴ ， 又∵ 為DCDCCAC的一個外角 ∴ 而 ∴A AB???即 ，與已知矛盾. ∴假設(shè)不成立，原命題成立.???例 求證：當(dāng) 有兩個不相等的非零實(shí)數(shù)根時，必有 ．220xbc?? 0bc? 分析 這個命題的條件是：如果 有兩個不相等的非零實(shí)數(shù)根，結(jié)論220xbc??是：那么 ．而 的否定是 ，而 有三種情況：(1) ；(2)0bc?c 0,bc?， ；(3) ， ．?0? 證明：假設(shè) ．bc圖 37寧夏師范學(xué)院 2022 屆本科生畢業(yè)論文13 (1)若 ， ，方程變?yōu)?，那么 是方程 的根，0b?c20x?120x?220xbc??這與已知條件中方程有兩個不相等的非零實(shí)數(shù)根矛盾．(2)若 ， ，方程變?yōu)?，則 ，與 矛盾．0bc?20xc?20xc??220xbc(3)若 ， ，方程變?yōu)?，方程根為 ， 這與條件中?2b?1?2?方程有二個非零實(shí)數(shù)根矛盾． 綜合(1)，(2)，(3)可知 ．0bc? 基本命題除了以上幾種常見題型宜用反證法，還有以下幾種情形的命題可用反證法：①基本定理、公理以及一些定理的逆定理；②條件較少，且又無公理、定理可用；③直接證法較難，命題結(jié)論的反面更易于反駁.如：平面幾何在按照公理化方法建立起它的科學(xué)體系時，最初只是提出少量的定義、起始階段的一些性質(zhì)和定理很難直接推證，它們多數(shù)宜用反證法來證明.例 求證：：如圖 28，直線 、 相交于點(diǎn) ,abP求證： 、 證明：假定 a， b相交不只有一個交點(diǎn) P，那么 a, b至少有兩個交點(diǎn) P、 圖 38寧夏師范學(xué)院 2022 屆本科生畢業(yè)論文14直線 a是由 P、 Q兩點(diǎn)確定的直線，直線 b 也是由 P、 Q兩點(diǎn)確定的直線，即由 P、兩點(diǎn)確定了兩條直線 a, “兩點(diǎn)只確定一條直線”相矛盾，則 a, b不可能有兩個交點(diǎn)，于是兩條相交直線只有一個交點(diǎn). 整除性問題例 設(shè) 、 都是整數(shù)， 能被 3 整除，求證： 和 都能被 3 ?ab證明：假設(shè) 、 不都能被 3 整除，分三種情況討論：（1） 、 都不能被 3 整除，因 不能被 3 整除，故 不能被 3 整除，同理，2 不能被 3 整除，所以 也b2ab?不能被 3 整除，矛盾.（2） 能被 3 整除， 不能被 3 整除，可得 能被 3 整除，2a不能被 3 整除，故 也不能被 3 整除，（1） （2）b2b?（3）得，原命題成立. 小結(jié)總之，當(dāng)從已知條件出發(fā)要證出結(jié)論較困難時，而此時結(jié)論的反面又比結(jié)論本身更明確、更具體、更簡單、程中須注意命題的結(jié)論中如有“能” 、 “有” 、 “一定”等肯定性詞語時，或有“不能” 、“不是” 、 “不存在” 、 “不可得”等否定語句時，或命題結(jié)論中有“至多” 、 “至少” 、“無窮”等詞語時常可考慮用反證法，另外不等關(guān)系的證明，當(dāng)結(jié)論的反面容易否定時，就能切實(shí)掌握如何應(yīng)用反證法.4 運(yùn)用反證法應(yīng)注意的問題 必須正確否定結(jié)論正確否定結(jié)論是運(yùn)用反證法的首要問題.如：命題“一個三角形中，至多有一個內(nèi)角是直角”.“至多有一個”指：“只有一個”或“沒有一個” ，其反面是“有兩個直角”或“三個內(nèi)角都是直角” ，即“至少有兩個是直角”.寧夏師范學(xué)院 2022 屆本科生畢業(yè)論文15 必須明確推理特點(diǎn)否定結(jié)論導(dǎo)出矛盾是反證法的任務(wù)，但何時出現(xiàn)矛盾，出現(xiàn)什么樣的矛盾是不能預(yù)測的，也沒有一個機(jī)械的標(biāo)準(zhǔn),有的甚至是捉摸不定的. 一般總是在命題的相關(guān)領(lǐng)域里考慮（ 例如 ,平面幾何問題往往聯(lián)系到相關(guān)的公理、定義、定理等），這正是反證，確否定結(jié)論，嚴(yán)格遵守推理規(guī)則，進(jìn)行步步有據(jù)的推理，矛盾一經(jīng)出現(xiàn)，證明即告結(jié)束. 了解矛盾種類反證法推理過程中出現(xiàn)的矛盾是多種多樣的，推理導(dǎo)出的結(jié)果可能與題設(shè)或部分題設(shè)矛盾，可能與已知真命題（定義或公理、或定理、或性質(zhì)）相矛盾，可能與臨時假設(shè)矛盾，或推出一對相互矛盾的結(jié)果等.5 結(jié)論大家都知道反證法是數(shù)學(xué)中一種重要的證明方法, 是“數(shù)學(xué)家的最精良的武器之一”，在許多方面都有著不可替代的作用. 它以其獨(dú)特的證明方法和思維方式對培養(yǎng),也可以與其他方法結(jié)合使用,并且可以在論證一道命題中多次使用，但中學(xué)數(shù)學(xué)課本現(xiàn)在對反證法要求不高，例題很少，學(xué)生與老師不重視，知識不鞏固，使學(xué)生無法深刻理解掌握反證法，不知道如何正確適當(dāng)?shù)氖褂梅醋C法，如何根據(jù)問題的特點(diǎn)，對癥下藥作為中學(xué)生很難把握，本文總結(jié)了反證法反證法的概念、反證法的邏輯依據(jù)、種類及步驟，解題過程中怎樣否定結(jié)論尋找矛盾、哪些類型的問題適宜從反證法出發(fā)進(jìn)行證明的問題進(jìn)行了歸納，并通過實(shí)例表現(xiàn)反證法的思維方式，使學(xué)生掌握什么類型的問題適用于反證法的問題．探索出反證法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，有利于幫助學(xué)生學(xué)習(xí)反證法從而提高學(xué)生利用反證法進(jìn)行解題的技巧，我相信適合用反證法的相關(guān)類型題還很多，但由于能力有限，無法將適宜用反證法的所有問題類型一一列出，對此，我想在以后的學(xué)習(xí)過程中不斷積累，發(fā)現(xiàn)問題，會對此課題繼續(xù)探究.寧夏師范學(xué)院 2022 屆本科生畢業(yè)論文16參 考 文 獻(xiàn)[1] ，從反面考慮問題[DB/OL][2] [M].湖南：：8592[3] 王蘭卿．反證法的一般步驟與形式．大同：,第 12 卷第 1 期.[4] [J].（2）：4046.[5] 徐加生，紀(jì)?。疁\談用反證法證題的常見題型[J].江蘇:,第 46 卷.[6] 廉蒙．巧用反證法證明代數(shù)題[J]．北京:思路方法.寧夏師范學(xué)院 2022 屆本科生畢業(yè)論文17謝 辭 態(tài)度，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)精神，精益求精的工作作風(fēng)，到項目的最終完成，我還要感謝在我論文完成中給予我?guī)椭耐瑢W(xué)們正是由于你們的幫助和支持，我才能克服一個一個的困難和疑惑，論文即將完成之際，我的心情無法平靜，從開始進(jìn)入課題到論文的順利完成，有多少可敬的師長、同學(xué)、朋友給了我無言的幫助，在這里請接受我誠摯的謝意!寧夏師范學(xué)院 2022 屆本科生畢業(yè)論文1
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