【導(dǎo)讀】要注意兩點(diǎn)：距離之差的絕對(duì)值.2a＜|F1F2|，這兩點(diǎn)與橢圓的定義有本質(zhì)的不同.當(dāng)|MF1|－|MF2|=2a時(shí)，曲線僅表示焦點(diǎn)F2所對(duì)應(yīng)的一支；當(dāng)2a=|F1F2|時(shí)，軌跡是一直線上以F1、F2為端點(diǎn)向外的兩條射線；當(dāng)2a＞|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在.，其中|1F2F|=a、b、c及它們之間的關(guān)系與橢圓中的異同.

　　

【正文】 (a,0)和 (0， b)， 且點(diǎn) (1,0)到直線 l 的距離與點(diǎn) (－ 1， 0)到直線 l 的距離之和 s≥ 45c， 求雙曲線的離心率 e 的取值范圍 ． 解 直線 l 的方程為 xa＋ yb＝ 1，即 bx＋ ay－ ab＝ 0. 由點(diǎn)到直線的距離公式，且 a1，得到點(diǎn) (1,0)到直線 l 的距離 d1＝ b(a－ 1)a2＋ b2， 同理得到點(diǎn) (－ 1,0)到直線 l 的距離 d2＝ b(a＋ 1)a2＋ b2， s＝ d1＋ d2＝ 2aba2＋ b2＝ 2abc . 由 s≥ 45c，得 2abc ≥ 45c，即 5a c2－ a2≥ 2c2. 于是得 5 e2－ 1≥ 2e2， 即 4e4－ 25e2＋ 25≤ 0. 解不等式，得 54≤ e2≤ 5. ∵ e1， ∴ e 的取值范圍是 52 ≤ e≤ 5. 【反思感悟】 求雙曲線離心率的常見方法：一是依條件求出 a、 c，再計(jì)算e＝ ca；二是依據(jù)條件提供的信息建立參數(shù) a、 b、 c 的等式，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為離心率 e的方程，再解出 e的值 ． 已知雙曲線虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為 M， 兩個(gè)焦點(diǎn)為 F F2， ∠ F1MF2＝ 120176。， 則雙曲線的離心率為 ________． 答案 62 解析 由題意知 cb＝ tan60176。＝ 3， 即 c＝ 3b＝ 3(c2－ a2).所以有 1＝ 3(1－ 1e2)， 解之得： e＝ 62 . 課堂小結(jié) ： 221,xyab?? (a0,b0)既 關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱 ,又關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 。其頂點(diǎn)為 (177。a,0),實(shí)軸長(zhǎng)為 2a,虛軸長(zhǎng)為 2b。其上任一點(diǎn) P(x,y)的橫坐標(biāo)均滿足 |x|≥ a. e = ac 的取值范圍是 (1,+∞ ),其中 c2=a2+b2,且 ab = 2 1e? ,離心率 e 越大 ,雙曲線的開口越大 . 221,xyab?? (a0,b0)的漸近線方程為 y=177。 ab x,也可記為 220,xyab??。與雙曲線 221,xyab??具有相同漸近線的雙曲線的方程可表示為 22,xyab??? (λ≠ 0). 雙曲線之經(jīng)典總結(jié)和高考考點(diǎn)及典型例題分析 專心做教育 21 課時(shí)作業(yè) 一、選擇題 1． 頂點(diǎn)為 A1(0，－ 2 5)， A2(0,2 5)， 焦距為 12 的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ( ) A. x220－y216＝ 1 B.y220－x216＝ 1 216－y220＝ 1 D.y220－x2124＝ 1 答案 B 解析 頂點(diǎn)在 y 軸上， a＝ 2 5， c＝ 6，得 b＝ 4. ∴ 標(biāo)準(zhǔn)方程為 y220－x216＝ 1. 2． 雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng) 、 虛軸長(zhǎng) 、 焦距成等比數(shù)列 ， 則雙曲線的離心率是 ( ) B. 43 C. 5＋ 12 D. 6＋ 12 答案 C 解析 由 2a2 c＝ (2b)2及 b2＝ c2－ a2， 得 c2－ ac－ a2＝ 0， e2－ e－ 1＝ 0， 解得 e＝ 1177。 52 ，由 e1 得， e＝ 1＋ 52 . 3． 經(jīng)過(guò)點(diǎn) M(3，－ 1)， 且對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線的方程是 ( ) A． y2－ x2＝ 8 B． x2－ y2＝ 177。8 C． x2－ y2＝ 4 D． x2－ y2＝ 8 答案 D 解析 設(shè)雙曲線方程為 x2－ y2＝ k， 將 M 點(diǎn)坐標(biāo)代入得 k＝ x2－ y2＝ 8. 4． 已知雙曲線 x2a2－y2b2＝ 1 (a0， b0)的左 、 右焦點(diǎn)分別為 F F2， 點(diǎn) P 在雙曲線的右支上 ， 且 |PF1|＝ 4|PF2|， 則此雙曲線的離心率 e 的最大值為 ( ) B. 53 C． 2 答案 B 解析 ||PF1|－ |PF2||＝ 2a，即 3|PF2|＝ 2a， 所以 |PF2|＝ 2a3 ≥ c－ a，即 2a≥ 3c－ 3a， 即 5a≥ 3c，則 ca≤ 53. 二、填空題 5． 雙曲線 x2－ y2＝ 1 的兩條漸近線的夾角為 ________． 答案 90176。 解析 兩條漸近線方程 為 y＝ 177。x，它們相互垂直，故夾角為 90176。. 6． 若雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為 2， 則雙曲線的虛軸長(zhǎng)為 ________． 答案 4 解析 以雙曲線 x2a2－y2b2＝ 1 (a0， b0)的焦點(diǎn) (c,0)與漸近線 y＝bax 為例，得bca2＋ b2＝ 2，故 b＝ 2，虛軸長(zhǎng)為 2b＝ 4. 7． 雙曲線的漸近線方程是 3x177。4 y＝ 0， 則雙曲線的離心率 e＝ ________. 答案 54或 53 雙曲線之經(jīng)典總結(jié)和高考考點(diǎn)及典型例題分析 專心做教育 22 解析 若焦點(diǎn)在 x 軸上，則 ba＝ 34， e＝ 1＋ ?? ??ba 2＝ 54； 若焦點(diǎn)在 y 軸上，則 ba＝ 43， e＝ 1＋ ?? ??ba 2＝ 53. 8． 設(shè)圓過(guò)雙曲線 x29－y216＝ 1 的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn) ， 圓心 在此雙曲線上 ， 則圓心到雙曲線中心的距離是 ________． 答案 163 解析 由雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)頂點(diǎn)、焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為 (3,0)， (5,0)，由題意知圓心的橫坐標(biāo)為 3＋ 52 ＝ 4. 代入雙曲線方程，得圓心縱坐標(biāo) y＝ 177。43 7，圓心到點(diǎn) (0,0)的距離 d＝ 42＋ 16 79 ＝ 16 9＋ 16 79 ＝ 16 169 ＝ 163 . 三 、解答題 9． 根據(jù)下列條件 ， 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 ． (1)經(jīng)過(guò)點(diǎn) ?? ??154 ， 3 ， 且一條漸近線為 4x＋ 3y＝ 0； (2)P(0,6)與兩個(gè)焦點(diǎn)連線互相垂直 ， 與兩個(gè)頂點(diǎn)連線的夾角為 π3. 解 (1)因直線 x＝ 154 與漸近線 4x＋ 3y＝ 0 的交點(diǎn)坐標(biāo)為 ?? ??154 ，－ 5 ，而 3|－ 5|，故雙曲線的焦點(diǎn)在 x 軸上， 設(shè)其方程為 x2a2－y2b2＝ 1，由????? ?? ??154 2a2 －32b2＝ 1，b2a2＝ ?? ??432， 解得????? a2＝ 9，b2＝ 16. 故所求的雙曲線方程為x29－y216＝ 1. (2)設(shè) F F2為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn) ． 依題意，它的焦點(diǎn)在 x 軸上 ． 因?yàn)?PF1⊥ PF2，且 |OP|＝ 6， 所以 2c＝ |F1F2|＝ 2|OP|＝ 12，所以 c＝ 6. 又 P 與兩頂點(diǎn)連線夾角為 π3， 所以 a＝ |OP|tanπ6＝ 2 3，所以 b2＝ c2－ a2＝ 24. 故所求的雙曲線方程為 x212－y224＝ 1. 10． 設(shè)雙曲線 y2a2－x23＝ 1 的焦點(diǎn)分別為 F F2， 離心率為 2. (1)求此雙曲線的漸近線 l l2 的方程 ； (2)設(shè) A、 B 分別為 l l2 上的動(dòng)點(diǎn) ， 且 2|AB|＝ 5|F1F2|， 求線段 AB 的中點(diǎn) M 的軌跡方程 ，并說(shuō)明軌跡是什么曲線 ． 解 (1)已知雙曲線離心率 e＝ a2＋ 3a ＝ 2，解得 a2＝ 1， 所以雙曲線方程為 y2－ x23＝ 1， 漸近線方程為 x177。 3y＝ 0. 雙曲線之經(jīng)典總結(jié)和高考考點(diǎn)及典型例題分析 專心做教育 23 (2)因?yàn)?|F1F2|＝ 4,2|AB|＝ 5|F1F2|，所以 |AB|＝ 10. 又因?yàn)?A、 B 分別為 l l2上的動(dòng)點(diǎn)， 設(shè) A( 3y1， y1)， B(－ 3y2， y2)， 所以 |AB|＝ 3(y1＋ y2)2＋ (y1－ y2)2＝ 10.① 設(shè) AB 的中點(diǎn)為 M(x， y)， 則 x＝ 3(y1－ y2)2 ， y＝ y1＋ y22 . 所以 y1－ y2＝ 23x， y1＋ y2＝ 2y， 代入 ① 得 12y2＋ 43x2＝ 100， 即 x275＋3y225＝ 1 為中點(diǎn) M 的軌跡方程 ． 中點(diǎn) M 的軌跡是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸 上的橢圓 ． 167。 習(xí)題課 . 對(duì)點(diǎn)講練 知識(shí)點(diǎn)一 直線與雙曲線的位置關(guān)系 已知雙曲線 x2－ y2＝ 4， 直線 l： y＝ k(x－ 1)， 試討論實(shí)數(shù) k 的取值范圍 ． (1)直線 l 與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn) ； (2)直線 l 與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn) ； (3)直線 l 與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn) ． 解 由????? x2－ y2＝ 4y＝ k(x－ 1) 消去 y， 得 (1－ k2)x2＋ 2k2x－ k2－ 4＝ 0(*) (1)當(dāng) 1－ k2＝ 0，即 k＝ 177。1，直線 l 與雙曲線漸近線平行，方程化為 2x＝ 5，故此方程 (*)只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，即直線與雙曲線相交，且只有一個(gè)公共點(diǎn) ． (2)當(dāng) 1－ k2≠ 0，即 k≠ 177。1 時(shí)， Δ＝ (2k2)2－ 4(1－ k2)(－ k2－ 4)＝ 4(4－ 3k2) ①????? 4－ 3k2＞ 01－ k2≠ 0 即－2 33 ＜ k＜2 33 ，且 k≠ 177。1 時(shí)，方程 (*)有兩個(gè) 不同的實(shí)數(shù)解，即直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn) ． ②????? 4－ 3k2＝ 01－ k2≠ 0 即 k＝ 177。2 33 時(shí)，方程 (*)有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)解，即直線與雙曲線有兩重合的公共點(diǎn) ． ③????? 4－ 3k2＜ 01－ k2≠ 0 即 k＜－2 33 或 k＞2 33 時(shí)，方程 (*)無(wú)實(shí)數(shù)解，即直線與雙曲線無(wú)公共點(diǎn) ． 綜上所述，當(dāng)－ 2 33 ＜ k＜－ 1 或－ 1＜ k＜ 1 或 1＜ k＜ 2 33 時(shí)，直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn) ． 當(dāng) k＝ 177。1 或 k＝ 177。2 33 時(shí)，直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn) ． 雙曲線之經(jīng)典總結(jié)和高考考點(diǎn)及典型例題分析 專心做教育 24 當(dāng) k＜－ 2 33 或 k＞ 2 33 時(shí)，直線與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn) ． 【反思感悟】 討論直線和雙曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，常常歸結(jié)為討論含參數(shù)的一元二次方程在特定區(qū)間內(nèi)是否存在實(shí)根或討論實(shí)根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，但要注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性． 過(guò)雙曲線 x2－ y22＝ 1 的右焦點(diǎn) F 作直線 l 交雙曲線于 A、 B 兩點(diǎn) ， 若 |AB|＝ 4，這樣的直線有 ( ) A． 1 條 B． 2 條 C． 3 條 D． 4 條 答案 C 解析 右焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ( 3， 0)，把 x＝ 3代入雙曲線方程得： y＝ 177。2，即當(dāng)直線過(guò)右焦點(diǎn) ． 垂直于 x 軸時(shí)， l 與雙曲線交的弦長(zhǎng) |AB|＝ 4，當(dāng) l 與 x 軸重合時(shí)， |AB|＝ ，還存在兩條直線，使得 |AB|＝ 4，故選 C. 知識(shí)點(diǎn)二 雙曲線的實(shí)際應(yīng)用 如圖，某村在 P 處有一堆肥料，今要把這堆肥料沿道路 PA， PB送到大田 ABCD 中去，已知 PA=100 m， PB=150 m， BC=60 m，∠ APB=60176。，試在大田中確定 一條界線，使位于界線一側(cè)的點(diǎn)沿道路 PA 送肥較近，而另一側(cè)的點(diǎn)沿 PB送肥較近，請(qǐng)說(shuō)明這一界線是一條什么曲線？試求出其方程． 解 大田中的點(diǎn)可分為三類，第一類沿 PA 送肥較近，第二類沿 PB送肥較近，第三類沿PA 和 PB送肥一樣遠(yuǎn)近． 依題意，界線是第三類點(diǎn)的軌跡． 設(shè) M 為界線上的任一點(diǎn)，則 |PA|+|MA|=|PB|+|MB|， 即 |MA|? |MB|=|PB|? |PA|=50(定值 )． 所以界線是以 A、 B 為焦點(diǎn)的雙曲線右支的一部分． 以 AB 所在直線為 x 軸，以 AB 中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，則所求雙曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為 221,xyab?? ∵ a=25， 2c=|AB|= 2 2 01 0 0 1 5 0 2 2 1 0 0 1 5 0 c o s 6 0? ? ? ? ? ?=50 7 ， ∴ c=25 7 ， b2=3 750，注意到點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 (25 7 ,60)， 故界線的曲線方程為： 221625 3750xy??(25≤ x≤ 35)． 【反思感悟】 本題由題意能獲得所求分界線是以 A、 B 為焦點(diǎn)的雙曲線，但由于|MA||MB|故為右支．由于沒(méi)有坐標(biāo)系因此需建系，并確定方程的形式，應(yīng)用待定系數(shù)法解方程，此題極易忽略 x 和 y 的取值范圍，因此在實(shí)際問(wèn)題中，要注意由