【文章內(nèi)容簡介】 6－x220＝ 1 答案 B 解析 由題意知 2a＝ 4 5， a2＝ 20， 若雙曲線焦點在 x 軸上，則可設(shè)方程為 x220－y2b2＝ 1， 代入點 A(2，－ 5)，得 ： 420－ 25b2＝ 1，即 － 25b2 ＝ 1620，矛盾 ． 因此設(shè)雙曲線的方程為－ x2b2＋y220＝ A(2，－ 5)，得：4b2＝－ 1＋2520＝14， ∴ b2＝ 選 B. 2． 如果雙曲線 x2a2－y2b2＝ 1 的兩條漸近線互相垂直 ， 則雙曲線的離心率為 ( ) A. 2 B． 2 C. 3 D． 2 2 答案 A 解析 因兩條漸近線互相垂直 ． 所以兩漸近直線的傾斜角為 π y＝ 177。x，∴ ba＝ 1，即 a＝ b， c＝ a2＋ b2＝ 2a， ∴ e＝ 2aa ＝ 2. 3． 雙曲線與橢圓 x216＋y264＝ 1 有相同的焦點 ， 它的一條漸近線為 y＝ x， 則雙曲線方程為( ) A． x2－ y2＝ 96 B． y2－ x2＝ 160 C． x2－ y2＝ 80 D． y2－ x2＝ 24 答案 D 解析 由題意知雙曲線的焦點為 (0， 177。4 3)，即 c2＝ 48，又因一條漸近線方程為 y＝ x. 所以 ab＝ a＝ b， ∴ 48＝ 2a2， a2＝ b2＝ D. 4． F F2 為雙曲線 x24－ y2＝－ 1 的兩個焦點 ， 點 P 在雙曲線上 ， 且 ∠ F1PF2＝ 90176。， 則 △ F1PF2的面積是 ( ) A． 2 B． 4 C． 8 D． 16 答案 B 解析 方程變形為 y2－ x24＝ 1， 由題意 ??? ||PF1|－ |PF2||＝ 2 ①|(zhì)PF1|2＋ |PF2|2＝ (2 5)2 ② 由 ① 式兩邊平方得： 20－ 2|PF1||PF2|＝ 4， ∴ |PF1||PF2|＝ 8， S△ F1PF2＝ 12|PF1||PF2|＝ 12 8＝ 4. 5． 若方程 x2|k|－ 2＋y25－ k＝ 1 表示雙曲線 ， 則實數(shù) k 的取值范圍是 ( ) A． k－ 2， 或 2k5 B．－ 2k5 C． k－ 2， 或 k5 D．－ 2k2， 或 k5 答案 D 雙曲線之經(jīng)典總結(jié)和高考考點及典型例題分析 專心做教育 11 解析 由題意知： (|k|－ 2)(5－ k)0，即????? |k|－ 20，5－ k0， 或????? |k|－ 20.5－ k0. 解得： k5，或－ 2k D. 6． 已知雙曲線 x2a2－y2b2＝ 1(a0， b0)的兩條漸近線方程為 y＝ 177。33 x， 若頂點到漸近線的距離為 1， 則雙曲線方程為 ____________． 答案 x24－34y2＝ 1 解析 雙曲線頂點為 (a,0)， 漸近線為 x＋ 3y＝ 0， ∴ 1＝ a1＋ 3＝ a2， ∴ a＝ 2. 又 ba＝ 33 ， ∴ b＝ 2 33 ， ∴ 雙曲線方程為 x24－34y2＝ 1. 7． 已知圓 C： x2＋ y2－ 6x－ 4y＋ 8＝ C 與坐標(biāo)軸的交點分別作為雙曲線的一個焦點和頂點 ， 則適合上述條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ____________． 答案 x24－y212＝ 1 解析 由題意知雙曲線僅與 x 軸有交點， ∴????? x2＋ y2－ 6x－ 4y＋ 8＝ 0，y＝ 0， 即 x2－ 6x＋ 8＝ 0， ∴ x＝ 2 或 x＝ 4，即 c＝ 4， a＝ 2.∴ x24－y212＝ 1. 8． 如圖 ， 已知定圓 F1： x2＋ y2＋ 10x＋ 24＝ 0， 定圓 F2： x2＋ y2－ 10x＋ 9＝ 0， 動圓 M 與定圓 F F2 都外切 ， 求動圓圓心 M 的軌跡方程 ． 解 圓 F1： (x＋ 5)2＋ y2＝ 1， ∴ 圓心 F1(－ 5,0)，半徑 r1＝ 1. 圓 F2： (x－ 5)2＋ y2＝ M的半徑為 R，則有 |MF1|＝ R＋ 1， |MF2|＝ R＋ 4， ∴ |MF2|－ |MF1|＝ 3. ∴ M 點的軌跡是以 F F2為焦點的雙曲線 (左支 )， 且 a＝ 32， c＝ b2＝ 914 . ∴ 動圓圓心 M 的軌跡方程為 49x2－ 491y2＝ 1(x≤ － 32)． 9． 橢圓 x2m2＋ y2＝ 1(m1)與雙曲線 x2n2－ y2＝ 1(n0)有公共焦點 F F2， P 是它們的一個交點 ， 求 △ F1PF2 的面積 ． 解 根據(jù)橢圓與雙曲線焦點都在 x 軸上，不妨設(shè) P 在第一象限， F1是左焦點， F2是右焦點，則由橢圓與雙曲線定義有????? |PF1|＋ |PF2|＝ 2m，|PF1|－ |PF2|＝ 2n， 可解得 |PF1|＝ m＋ n， |PF2|＝ m－ n， 即 |PF1|2＋ |PF2|2＝ 2(m2＋ n2)． 又 ∵ 兩者有公共焦點，設(shè)半焦距為 c. 雙曲線之經(jīng)典總結(jié)和高考考點及典型例題分析 專心做教育 12 則 m2－ 1＝ c2， n2＋ 1＝ c2， ∴ m2＋ n2＝ 2c2. ∴ |F1F2|2＝ 4c2＝ 2(m2＋ n2)， ∴ |F1F2|2＝ |PF1|2＋ |PF2|2， ∴∠ F1PF2＝ 90176。. 又 ∵ m2－ 1＝ n2＋ 1＝ c2， ∴ m2－ n2＝ 2. ∴ S△ F1PF2＝ 12|PF1||PF2| ＝ 18[(|PF1|＋ |PF2|)2－ (|PF1|－ |PF2|)2] ＝ 12(m2－ n2)＝ 1. 所以 △ F1PF2的面積為 1. 10． 已知雙曲線 x2－ y2＝ a2 及其上一點 P， 求證 ： (1)離心率 e＝ 2， 漸近線方程 y＝ 177。x； (2)P 到它兩個焦點的距離的積等于 P 到雙曲線中心距離的平方 ； (3)過 P 作兩漸近線的垂線 ， 構(gòu)成的矩形面積為定值 ． 證明 (1)由已知得 c＝ a2＋ a2＝ 2a， ∴ e＝ 2，漸近線方程 y＝ 177。x. (2)設(shè) P(x0， y0)，則 x20－ y20＝ a2， 又 F1(－ 2a,0)、 F2( 2a,0)， ∴ |PF1||PF2|＝ (x0＋ 2a)2＋ y20 (x0－ 2a)2＋ y20 ＝ 2x20＋ a2＋ 2 2ax0 2x20＋ a2－ 2 2ax0 ＝ | 2x0＋ a|| 2x0－ a| ＝ |2x20－ a2|＝ |x20＋ y20|＝ |PO|2. ∴ P 到它兩個焦點的距離的積等于 P 到雙曲線中心距離的平方 ． (3)設(shè)垂足分別為 Q、 R，則由點到直線距離公式知 |PQ|＝ |x0－ y0|2， |PR|＝ |x0＋ y0|2， ∴ SPQOR＝ |PQ||PR|＝ 12|x20－ y20|＝ 12a2. ∴ 該矩形的面積為定值 . 講練學(xué)案部分 2． 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 . 對點講練 知識點一 雙曲 線定義的應(yīng)用 如圖所示，在△ ABC 中，已知 |AB|=4 2 ，且三內(nèi)角 A、 B、 C 滿足 2sinA+sinC=2sinB，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求頂點 C 的軌跡方程． 解 雙曲線之經(jīng)典總結(jié)和高考考點及典型例題分析 專心做教育 13 如圖所示，以 AB 邊所在的直線為 x 軸， AB 的垂直平分線為 y 軸，建立直角坐標(biāo)系， 則 A( ? 2 2 ,0)、 B(2 2 , 0 )． 由正弦定理得 sinA = 2aR， sinB =2bR， sinC =2cR. ∵ 2sinA+sinC=2sinB，∴ 2a+c=2b， 即 b? a=2c. 從而有 |CA| ? |CB|=21|AB|=2 2 |AB|. 由雙曲線的定義知，點 C 的軌跡為雙曲線的右支． ∵ a= 2 ， c=2 2 ，∴ b2= c2 ? a2 = 6. 所以頂點 C 的軌跡方程為 221,26xy?? (x 2 )． 【反思感悟】 使用雙曲線的定義時易漏掉 “ 差的絕對值 ” ，即 ||PF1|? |PF2||=2a，而|PF1||PF2|=2a 表示一支． P 是雙曲線 x216－y220＝ 1 上一點 ， F F2 是雙曲線的兩個焦點 ， 且 |PF1|＝ 9，求 |PF2|的值 ． 解 在雙曲線 x216－y220＝ 1 中， a＝ 4， b＝ 2 5. 故 c＝ P 是雙曲線上一點， 得 ||PF1|－ |PF2||＝ 8. ∴ |PF2|＝ 1 或 |PF2|＝ 17. 又 |PF2|≥ c－ a＝ 2，得 |PF2|＝ 17. 知識點二 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 根據(jù)下列條件 ， 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 ． (1)過點 P?? ??3， 154 ， Q?? ??－ 163 ， 5 ， 且焦點在坐標(biāo)軸上 ； (2)c＝ 6， 且過點 (－ 5,2)， 焦點在 x 軸上 ； (3)與雙曲線 x216－y24＝ 1 有相同焦點 ， 且經(jīng)過點 (3 2， 2)． 解 (1)設(shè)雙曲線方程為 x2m＋y2n＝ 1， ∵ P、 Q 兩點在雙曲線上， ∴??? 9m＋ 22516n＝ 12569m＋25n ＝ 1，解得????? m＝－ 16n＝ 9 ， ∴ 所求雙曲線方程為 y29－x216＝ 1. (2)∵ 焦點在 x 軸上， c＝ 6， ∴ 設(shè)所求雙曲線方程為： x2λ－y26－ λ＝ 1(其中 0λ6)． 雙曲線之經(jīng)典總結(jié)和高考考點及典型例題分析 專心做教育 14 ∵ 雙曲線經(jīng)過點 (－ 5,2)， ∴ 25λ － 46－ λ＝ 1，解得 λ＝ 5 或 λ＝ 30(舍去 )． ∴ 所求雙曲線方程是 x25－ y2＝ 1. (3)設(shè)所求雙曲線方程為： x216－ λ－y24＋ λ＝ 1 (其中－ 4λ16)． ∵ 雙曲線過點 (3 2， 2)， ∴ 1816－ λ－ 44＋ λ＝ 1， 解得 λ＝ 4 或 λ＝－ 14(舍去 )， ∴ 所求雙曲線方程為 x212－y28＝ 1. 【反思感悟】 用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，首先要定型，即確定雙曲線的類型，看焦點位置 (如果焦點位置不確定，要分類討論或設(shè)一般式 Ax2＋ By2＝ 1 其中 AB0)設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)形式，再定量．即確定方程中的參數(shù)的值 ． 已知雙曲線過 P1?? ??－ 2， 32 5 和 P2?? ??43 7， 4 兩點 ， 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 ． 解 因為雙曲線的焦點位置不確定，所以設(shè)雙曲線方程為 mx2＋ ny2＝ 1 (mn0)，因 PP2在雙曲線上，所以有 ??? 4m＋ 454 n＝ 1169 7m＋ 16n＝ 1，解得??? m＝－ 116n＝ 19. ∴ 所求雙曲線方程為－ x216＋y29＝ 1， 即 y29－x216＝ 1. 知識點三 雙曲線的實際應(yīng)用 一炮彈在 A 處的東偏北 60176。的某處爆 炸 ， 在 A 處測到爆炸信號的時間比在 B 處早 4 秒 ， 已知 A 在 B 的正東方 、 相距 6 千米 ， P 為爆炸地點 ， (該信號的傳播速度為每秒 1千米 )求 A、 P 兩地的距離 ． 解 以直線 AB 為 x 軸，線段 AB 的垂直平分線為 y 軸，建立直角坐標(biāo)系， 則 A(3,0)、 B(－ 3,0) ∵ |PB|－ |PA|＝ 4 16 ∴ a＝ 2， b＝ 5， c＝ 3 ∴ P 是雙曲線 x24－y25＝ 1 右支上的一點 ∵ P 在 A 的東偏北 60176。方向， ∴ kAP＝ tan60176。＝ 3. ∴ 線段 AP 所在的直線方程為