上海高考理科數(shù)學(xué)試卷及答案-資料下載頁
2025-06-07 13:50本頁面
【正文】 ……2分所以所求三角形的面積1為. ……4分(2)，故，即. ……6分由，得.設(shè)P(x1, y1)、Q(x2, y2)，則.又，所以，故OP⊥OQ. ……10分(3)當(dāng)直線ON垂直于x軸時(shí)，|ON|=1，|OM|=，則O到直線MN的距離為.當(dāng)直線ON不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線ON的方程為(顯然)，則直線OM的方程為.由，得，所以.同理. ……13分設(shè)O到直線MN的距離為d，因?yàn)?，所以，即d=.綜上，O到直線MN的距離是定值. ……16分，其中，定義向量集. 若對(duì)于任意，存在，使得，則稱X具有性質(zhì)P. 例如具有性質(zhì)P.(1)若x2，且，求x的值；(4分)(2)若X具有性質(zhì)P，求證：1206。X，且當(dāng)xn1時(shí)，x1=1；(6分)(3)若X具有性質(zhì)P，且x1=1，x2=q(q為常數(shù))，求有窮數(shù)列的通項(xiàng)公式.(8分)[解](1)選取，Y中與垂直的元素必有形式. ……2分所以x=2b，從而x=4. ……4分(2)證明：.由得，所以、異號(hào).因?yàn)椋?是X中唯一的負(fù)數(shù)，所以、中之一為－1，另一為1，故1206。X. ……7分假設(shè)，其中，則.選取，并設(shè)滿足，即，則、異號(hào)，從而、之中恰有一個(gè)為－1.若=－1，則，矛盾；若=－1，則，矛盾.所以x1=1. ……10分(3)[解法一]猜測，i=1, 2, …, n. ……12分記，k=2, 3, …, n.先證明：若具有性質(zhì)P，則也具有性質(zhì)P.任取，、中出現(xiàn)－1時(shí)，顯然有滿足；當(dāng)且時(shí)，、≥1.因?yàn)榫哂行再|(zhì)P，所以有，、206。，使得，從而和中有一個(gè)是－1，不妨設(shè)=－1.假設(shè)206。且207。，得，與. ……15分現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明：，i=1, 2, …, n.當(dāng)n=2時(shí)，結(jié)論顯然成立；假設(shè)n=k時(shí)，有性質(zhì)P，則，i=1, 2, …, k；當(dāng)n=k+1時(shí)，若有性質(zhì)P，則也有性質(zhì)P，所以.取，并設(shè)滿足，－1.若，則，所以，這不可能；所以，又，所以.綜上所述，i=1, 2, …, n. ……18分[解法二]設(shè)，則等價(jià)于.記，則數(shù)集X具有性質(zhì)P當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)集B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. ……14分注意到－1是X中的唯一負(fù)數(shù)，共有n－1個(gè)數(shù)，所以也只有n－1個(gè)數(shù).由于，已有n－1個(gè)數(shù)，對(duì)以下三角數(shù)陣 …… 注意到，所以，從而數(shù)列的通項(xiàng)公式為，k=1, 2, …, n. ……18分
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