上海高考理科數(shù)學(xué)試卷及答案(參考版)
2025-06-10 13:50本頁(yè)面
【正文】 且207。X. ……7分假設(shè)，其中，則.選取，并設(shè)滿(mǎn)足，即，則、異號(hào)，從而、之中恰有一個(gè)為－1.若=－1，則，矛盾；若=－1，則，矛盾.所以x1=1. ……10分(3)[解法一]猜測(cè)，i=1, 2, …, n. ……12分記，k=2, 3, …, n.先證明：若具有性質(zhì)P，則也具有性質(zhì)P.任取，、中出現(xiàn)－1時(shí)，顯然有滿(mǎn)足；當(dāng)且時(shí)，、≥1.因?yàn)榫哂行再|(zhì)P，所以有，、206。[0,1]，因此. ……10分由單調(diào)性可得.因?yàn)椋运蠓春瘮?shù)是，. ……14分：以失事船的當(dāng)前位置為原點(diǎn)，以正北方向?yàn)閥軸xOyPA正方向建立平面直角坐標(biāo)系(以1海里為單位長(zhǎng)度)，則救援船恰在失事船的正南方向12海里A處，如圖. 現(xiàn)假設(shè)：①失事船的移動(dòng)路徑可視為拋物線(xiàn)；②定位后救援船即刻沿直線(xiàn)勻速前往救援；③救援船出發(fā)小時(shí)后，失事船所在位置的橫坐標(biāo)為.(1)當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出失事船所在位置P的縱坐標(biāo). 若此時(shí)兩船恰好會(huì)合，求救援船速度的大小和方向；(6分)(2)問(wèn)救援船的時(shí)速至少是多少海里才能追上失事船?(8分)[解](1)時(shí)，P的橫坐標(biāo)xP=，代入拋物線(xiàn)方程中，得P的縱坐標(biāo)yP=3. ……2分由|AP|=，得救援船速度的大小為海里/時(shí). ……4分由tan∠OAP=，得∠OAP=arctan，故救援船速度的方向?yàn)楸逼珫|arctan弧度. ……6分(2)設(shè)救援船的時(shí)速為海里，經(jīng)過(guò)小時(shí)追上失事船，此時(shí)位置為.由，整理得.……10分因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)=1時(shí)等號(hào)成立，所以，即.因此，救援船的時(shí)速至少是25海里才能追上失事船. ……14分，已知雙曲線(xiàn).(1)過(guò)的左頂點(diǎn)引的一條漸近線(xiàn)的平行線(xiàn)，求該直線(xiàn)與另一條漸近線(xiàn)及x軸圍成的三角形的面積；(4分)(2)設(shè)斜率為1的直線(xiàn)l交于P、Q兩點(diǎn)，若l與圓相切，求證：OP⊥OQ；(6分)(3)設(shè)橢圓. 若M、N分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，且OM⊥ON，求證：O到直線(xiàn)MN的距離是定值.(6分)[解](1)雙曲線(xiàn)，左頂點(diǎn)，漸近線(xiàn)方程：.過(guò)點(diǎn)A與漸近線(xiàn)平行的直線(xiàn)方程為，即.解方程組，得. ……2分所以所求三角形的面積1為. ……4分(2)，故，即. ……6分由，得.設(shè)P(x1, y1)、Q(x2, y2)，則.又，所以，故OP⊥OQ. ……10分(3)當(dāng)直線(xiàn)ON垂直于x軸時(shí)，|ON|=1，|OM|=，則O到直線(xiàn)MN的距離為.當(dāng)直線(xiàn)ON不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線(xiàn)ON的方程為(顯然)，則直線(xiàn)OM的方程為.由，得，所以.同理. ……13分設(shè)O到直線(xiàn)MN的距
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