20xx年天津市高考數(shù)學試卷(理科)-資料下載頁
2025-04-16 12:19本頁面
【正文】 點P，Q關于x軸對稱，直線AP與橢圓相交于點B（B異于A），直線BQ與x軸相交于點D．若△APD的面積為，求直線AP的方程．【分析】（I）根據(jù)橢圓和拋物線的定義、性質(zhì)列方程組求出a，b，p即可得出方程；（II）設AP方程為x=my+1，聯(lián)立方程組得出B，P，Q三點坐標，從而得出直線BQ的方程，解出D點坐標，根據(jù)三角形的面積列方程解出m即可得出答案．【解答】（Ⅰ）解：設F的坐標為（﹣c，0）．依題意可得，解得a=1，c=，p=2，于是b2=a2﹣c2=．所以，橢圓的方程為x2+=1，拋物線的方程為y2=4x．（Ⅱ）解：直線l的方程為x=﹣1，設直線AP的方程為x=my+1（m≠0），聯(lián)立方程組，解得點P（﹣1，﹣），故Q（﹣1，）．聯(lián)立方程組，消去x，整理得（3m2+4）y2+6my=0，解得y=0，或y=﹣．∴B（，）．∴直線BQ的方程為（﹣）（x+1）﹣（）（y﹣）=0，令y=0，解得x=，故D（，0）．∴|AD|=1﹣=．又∵△APD的面積為，∴=，整理得3m2﹣2|m|+2=0，解得|m|=，∴m=177。．∴直線AP的方程為3x+y﹣3=0，或3x﹣y﹣3=0．【點評】本題考查了橢圓與拋物線的定義與性質(zhì)，直線與橢圓的位置關系，屬于中檔題． 20．（14分）設a∈Z，已知定義在R上的函數(shù)f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在區(qū)間（1，2）內(nèi)有一個零點x0，g（x）為f（x）的導函數(shù)．（Ⅰ）求g（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設m∈[1，x0）∪（x0，2]，函數(shù)h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求證：h（m）h（x0）＜0；（Ⅲ）求證：存在大于0的常數(shù)A，使得對于任意的正整數(shù)p，q，且∈[1，x0）∪（x0，2]，滿足|﹣x0|≥．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導函數(shù)g（x）=f′（x）=8x3+9x2﹣6x﹣6，求出極值點，通過列表判斷函數(shù)的單調(diào)性求出單調(diào)區(qū)間即可．（Ⅱ）由h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），推出h（m）=g（m）（m﹣x0）﹣f（m），令函數(shù)H1（x）=g（x）（x﹣x0）﹣f（x），求出導函數(shù)H′1（x）利用（Ⅰ）知，推出h（m）h（x0）＜0．（Ⅲ）對于任意的正整數(shù)p，q，且，令m=，函數(shù)h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m）．由（Ⅱ）知，當m∈[1，x0）時，當m∈（x0，2]時，通過h（x）的零點．轉化推出|﹣x0|=≥=．推出|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1．然后推出結果．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a，可得g（x）=f′（x）=8x3+9x2﹣6x﹣6，進而可得g′（x）=24x2+18x﹣6．令g′（x）=0，解得x=﹣1，或x=．當x變化時，g′（x），g（x）的變化情況如下表：x（﹣∞，﹣1）（﹣1，）（，+∞）g′（x）+﹣+g（x）↗↘↗所以，g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（﹣∞，﹣1），（，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（﹣1，）．（Ⅱ）證明：由h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），得h（m）=g（m）（m﹣x0）﹣f（m），h（x0）=g（x0）（m﹣x0）﹣f（m）．令函數(shù)H1（x）=g（x）（x﹣x0）﹣f（x），則H′1（x）=g′（x）（x﹣x0）．由（Ⅰ）知，當x∈[1，2]時，g′（x）＞0，故當x∈[1，x0）時，H′1（x）＜0，H1（x）單調(diào)遞減；當x∈（x0，2]時，H′1（x）＞0，H1（x）單調(diào)遞增．因此，當x∈[1，x0）∪（x0，2]時，H1（x）＞H1（x0）=﹣f（x0）=0，可得H1（m）＞0即h（m）＞0，令函數(shù)H2（x）=g（x0）（x﹣x0）﹣f（x），則H′2（x）=g′（x0）﹣g（x）．由（Ⅰ）知，g（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，故當x∈[1，x0）時，H′2（x）＞0，H2（x）單調(diào)遞增；當x∈（x0，2]時，H′2（x）＜0，H2（x）單調(diào)遞減．因此，當x∈[1，x0）∪（x0，2]時，H2（x）＞H2（x0）=0，可得得H2（m）＜0即h（x0）＜0，．所以，h（m）h（x0）＜0．（Ⅲ）對于任意的正整數(shù)p，q，且，令m=，函數(shù)h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m）．由（Ⅱ）知，當m∈[1，x0）時，h（x）在區(qū)間（m，x0）內(nèi)有零點；當m∈（x0，2]時，h（x）在區(qū)間（x0，m）內(nèi)有零點．所以h（x）在（1，2）內(nèi)至少有一個零點，不妨設為x1，則h（x1）=g（x1）（﹣x0）﹣f（）=0．由（Ⅰ）知g（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，故0＜g（1）＜g（x1）＜g（2），于是|﹣x0|=≥=．因為當x∈[1，2]時，g（x）＞0，故f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，所以f（x）在區(qū)間[1，2]上除x0外沒有其他的零點，而≠x0，故f（）≠0．又因為p，q，a均為整數(shù)，所以|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|是正整數(shù)，從而|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1．所以|﹣x0|≥．所以，只要取A=g（2），就有|﹣x0|≥．【點評】本題考查函數(shù)的導數(shù)的綜合應用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值的求法，考查分類討論思想以及轉化思想的應用，是難度比較大的題目． 參與本試卷答題和審題的老師有：sxs123；qiss；maths；雙曲線；銘灝2016；沂蒙松；742048；danbo7801（排名不分先后）菁優(yōu)網(wǎng)2017年6月9日第25頁（共25頁）
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