20xx年天津市高考數(shù)學試卷(理科)(編輯修改稿)
2025-05-13 12:19 本頁面
【文章內容簡介】 ，﹣≤a≤2．故選：A．【點評】本題考查分段函數(shù)的運用，不等式恒成立問題的解法，注意運用分類討論和分離參數(shù)法，以及轉化思想的運用，分別求出二次函數(shù)和基本不等式求最值是解題的關鍵，屬于中檔題．?。罕敬箢}共6小題，每小題5分，共30分.9．（5分）已知a∈R，i為虛數(shù)單位，若為實數(shù)，則a的值為 ﹣2?。痉治觥窟\用復數(shù)的除法法則，結合共軛復數(shù)，化簡，再由復數(shù)為實數(shù)的條件：虛部為0，解方程即可得到所求值．【解答】解：a∈R，i為虛數(shù)單位，===﹣i由為實數(shù)，可得﹣=0，解得a=﹣2．故答案為：﹣2．【點評】本題考查復數(shù)的乘除運算，注意運用共軛復數(shù)，同時考查復數(shù)為實數(shù)的條件：虛部為0，考查運算能力，屬于基礎題． 10．（5分）已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為18，則這個球的體積為 ?。痉治觥扛鶕?jù)正方體和球的關系，得到正方體的體對角線等于直徑，結合球的體積公式進行計算即可．【解答】解：設正方體的棱長為a，∵這個正方體的表面積為18，∴6a2=18，則a2=3，即a=，∵一個正方體的所有頂點在一個球面上，∴正方體的體對角線等于球的直徑，即a=2R，即R=，則球的體積V=π?（）3=；故答案為：．【點評】本題主要考查空間正方體和球的關系，利用正方體的體對角線等于直徑，結合球的體積公式是解決本題的關鍵． 11．（5分）在極坐標系中，直線4ρcos（θ﹣）+1=0與圓ρ=2sinθ的公共點的個數(shù)為 2?。痉治觥堪褬O坐標方程化為直角坐標方程，求出圓心到直線的距離d，與半徑比較即可得出位置關系．【解答】解：直線4ρcos（θ﹣）+1=0展開為：4ρ+1=0，化為：2x+2y+1=0．圓ρ=2sinθ即ρ2=2ρsinθ，化為直角坐標方程：x2+y2=2y，配方為：x2+（y﹣1）2=1．∴圓心C（0，1）到直線的距離d==＜1=R．∴直線4ρcos（θ﹣）+1=0與圓ρ=2sinθ的公共點的個數(shù)為2．故答案為：2．【點評】本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、直線與圓的位置關系、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題． 12．（5分）若a，b∈R，ab＞0，則的最小值為 4?。痉治觥績纱卫没静坏仁?，即可求出最小值，需要注意不等式等號成立的條件是什么．【解答】解：a，b∈R，ab＞0，∴≥==4ab+≥2=4，當且僅當，即，即a=，b=或a=﹣，b=﹣時取“=”；∴上式的最小值為4．故答案為：4．【點評】本題考查了基本不等式的應用問題，是中檔題． 13．（5分）在△ABC中，∠A=60176。，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，則λ的值為 ?。痉治觥扛鶕?jù)題意畫出圖形，結合圖形，利用、表示出，再根據(jù)平面向量的數(shù)量積列出方程求出λ的值．【解答】解：如圖所示，△ABC中，∠A=60176。，AB=3，AC=2，=2，∴=+=+=+（﹣）=+，又=λ﹣（λ∈R），∴=（+）?（λ﹣）=（λ﹣）?﹣+λ=（λ﹣）32cos60176。﹣32+λ22=﹣4，∴λ=1，解得λ=．故答案為：．【點評】本題考查了平面向量的線性運算與數(shù)量積運算問題，是中檔題． 14．（5分）用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒有重復數(shù)字，且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有 1080 個．（用數(shù)字作答）【分析】根據(jù)題意，要求四位數(shù)中至多有一個數(shù)字是偶數(shù)，分2種情況討論：①、四位數(shù)中沒有一個偶數(shù)數(shù)字，②、四位數(shù)中只有一個偶數(shù)數(shù)字，分別求出每種情況下四位數(shù)的數(shù)目，由分類計數(shù)原理計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，分2種情況討論：①、四位數(shù)中沒有一個偶數(shù)數(shù)字，即在9種任選4個，組成一共四位數(shù)即可，有A54=120種情況，即有120個沒有一個偶數(shù)數(shù)字四位數(shù)；②、四位數(shù)中只有一個偶數(shù)數(shù)字，在9種選出3個，在8中選出1個，有C53?C41=40種取法，將取出的4個數(shù)字全排列，有A44=24種順序，則有4024=960個只有一個偶數(shù)數(shù)字的四位數(shù)；則至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)有120+960=1080個；故答案為：1080．【點評】本題考查排列、組合的綜合應用，注意要分類討論． ：本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．（13分）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB=．（Ⅰ）求b和sinA的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．【分析】（Ⅰ）由已知結合同角三角函數(shù)基本關系式求得cosB，再由余弦定理求得b，利用正弦定理求得sinA；（Ⅱ）由同角三角函數(shù)基本關系式求得cosA，再由倍角公式求得sin2A，cos2A，展開兩角和的正弦得答案．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，故由sinB=，可得cosB=．由已知及余弦定理，有=13，∴b=．由正弦定理，得sinA=．∴b=，sinA=；（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=1﹣2sin2A=﹣．故sin（2A+）==．【點評】本題考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的應用，考查倍角公式的應用，是中檔題． 16．（13分）從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口，
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