【正文】 過求解=0．證明PO⊥OQ．（3）當(dāng)直線ON垂直x軸時，直接求出O到直線MN的距離為．當(dāng)直線ON不垂直x軸時，設(shè)直線ON的方程為：y=kx，（顯然|k|＞），推出直線OM的方程為y=，利用，求出，設(shè)O到直線OM的距離為d，通過（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，求出d=．推出O到直線MN的距離是定值．解答：解：（1）雙曲線C1：左頂點(diǎn)A（﹣），漸近線方程為：y=177。x．過A與漸近線y=x平行的直線方程為y=（x+），即y=，所以，解得．所以所求三角形的面積為S=．（2）設(shè)直線PQ的方程為y=kx+b，因直線PQ與已知圓相切，故，即b2=2，由，得x2﹣2bx﹣b2﹣1=0，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則，又y1y2=（x1+b）（x2+b）．所以=x1x2+y1y2=2x1x2+b（x1+x2）+b2=2（﹣1﹣b2）+2b2+b2=b2﹣2=0．故PO⊥OQ．（3）當(dāng)直線ON垂直x軸時，|ON|=1，|OM|=，則O到直線MN的距離為．當(dāng)直線ON不垂直x軸時，設(shè)直線ON的方程為：y=kx，（顯然|k|＞），則直線OM的方程為y=，由得，所以．同理，設(shè)O到直線OM的距離為d，因?yàn)椋▅OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，所以==3，即d=．綜上，O到直線MN的距離是定值．點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，圓錐曲線的綜合，向量的數(shù)量積的應(yīng)用，設(shè)而不求的解題方法，點(diǎn)到直線的距離的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，考查計算能力．23．（2012?上海）對于數(shù)集X={﹣1，x1，x2，…，xn}，其中0＜x1＜x2＜…＜xn，n≥2，定義向量集Y={=（s，t），s∈X，t∈X}，若對任意，存在，使得，則稱X具有性質(zhì)P．例如{﹣1，1，2}具有性質(zhì)P．（1）若x＞2，且{﹣1，1，2，x}具有性質(zhì)P，求x的值；（2）若X具有性質(zhì)P，求證：1∈X，且當(dāng)xn＞1時，x1=1；（3）若X具有性質(zhì)P，且x1=x2=q（q為常數(shù)），求有窮數(shù)列x1，x2，…，xn的通項(xiàng)公式．考點(diǎn)：數(shù)列與向量的綜合；元素與集合關(guān)系的判斷；平面向量的綜合題。專題：計算題；證明題；綜合題。分析：（1）在Y中取=（x，2），根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)公式，可得Y中與垂直的元素必有形式（﹣1，b），所以x=2b，結(jié)合x＞2，可得x的值．（2）取=（x1，x1），=（s，t）根據(jù)，化簡可得s+t=0，所以s、t異號．而﹣1是數(shù)集X中唯一的負(fù)數(shù)，所以s、t中的負(fù)數(shù)必為﹣1，另一個數(shù)是1，從而證出1∈X，最后通過反證法，可以證明出當(dāng)xn＞1時，x1=1．（3）[解法一]先猜想結(jié)論：xi=qi﹣1，i=1，2，3，…，n．記Ak═{﹣1，x1，x2，…，xk}，k=2，3，…，n，通過反證法證明出引理：若Ak+1具有性質(zhì)P，則Ak也具有性質(zhì)P．最后用數(shù)學(xué)歸納法，可證明出xi=qi﹣1，i=1，2，3，…，n；[解法二]設(shè)=（s1，t1），=（s2，t2），則等價于，得到一正一負(fù)的特征，再記B={|s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，則可得結(jié)論：數(shù)集X具有性質(zhì)P，當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)集B關(guān)于原點(diǎn)對稱．又注意到﹣1是集合X中唯一的負(fù)數(shù)，B∩（﹣∞，0）={﹣x2，﹣x3，﹣x4，…，﹣xn}，共有n﹣1個數(shù)，所以B∩（0．+∞）也有n﹣1個數(shù)．最后結(jié)合不等式的性質(zhì)，結(jié)合三角形數(shù)陣加以說明，可得==…=，最終得到數(shù)列的通項(xiàng)公式是xk=x1?（）k﹣1=qk﹣1，k=1，2，3，…，n．解答：解：（1）選取=（x，2），則Y中與垂直的元素必有形式（﹣1，b），所以x=2b，又∵x＞2，∴只有b=2，從而x=4．（2）取=（x1，x1）∈Y，設(shè)=（s，t）∈Y，滿足，可得（s+t）x1=0，s+t=0，所以s、t異號．因?yàn)椹?是數(shù)集X中唯一的負(fù)數(shù)，所以s、t中的負(fù)數(shù)必為﹣1，另一個數(shù)是1，所以1∈X，假設(shè)xk=1，其中1＜k＜n，則0＜x1＜1＜xn．再取=（x1，xn）∈Y，設(shè)=（s，t）∈Y，滿足，可得sx1+txn=0，所以s、t異號，其中一個為﹣1①若s=﹣1，則x1=txn＞1≥x1，矛盾；②若t=﹣1，則xn=sx1＜s≤xn，矛盾；說明假設(shè)不成立，由此可得當(dāng)xn＞1時，x1=1．（2）[解法一]猜想：xi=qi﹣1，i=1，2，3，…，n記Ak═{﹣1，x1，x2，…，xk}，k=2，3，…，n先證明若Ak+1具有性質(zhì)P，則Ak也具有性質(zhì)P．任取=（s，t），s、t∈Ak，當(dāng)s、t中出現(xiàn)﹣1時，顯然有滿足當(dāng)s、t中都不是﹣1時，滿足s≥1且t≥1．因?yàn)锳k+1具有性質(zhì)P，所以有=（s1，t1），st1∈Ak+1，使得，從而st1其中有一個為﹣1不妨設(shè)s1=﹣1，假設(shè)t1∈Ak+1，且t1?Ak，則t1=xk+1．由（s，t）（﹣1，xk+1）=0，得s=txk+1≥xk+1，與s∈Ak矛盾．所以t1∈Ak，從而Ak也具有性質(zhì)P．再用數(shù)學(xué)歸納法，證明xi=qi﹣1，i=1，2，3，…，n當(dāng)n=2時，結(jié)論顯然成立； 假設(shè)當(dāng)n=k時，Ak═{﹣1，x1，x2，…，xk}具有性質(zhì)P，則xi=qi﹣1，i=1，2，…，k當(dāng)n=k+1時，若Ak+1═{﹣1，x1，x2，…，xk+1}具有性質(zhì)P，則Ak═{﹣1，x1，x2，…，xk}具有性質(zhì)P，所以Ak+1═{﹣1，q，q2，…，qk﹣1，xk+1}．取=（xk+1，q），并設(shè)=（s，t）∈Y，滿足，由此可得s=﹣1或t=﹣1若t=﹣1，則xk+1=，不可能所以s=﹣1，xk+1=qt=qj≤qk且xk+1≥qk﹣1，因此xk+1=qk綜上所述，xi=qi﹣1，i=1，2，3，…，n[解法二]設(shè)=（s1，t1），=（s2，t2），則等價于記B={|s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，則數(shù)集X具有性質(zhì)P，當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)集B關(guān)于原點(diǎn)對稱注意到﹣1是集合X中唯一的負(fù)數(shù)，B∩（﹣∞，0）={﹣x2，﹣x3，﹣x4，…，﹣xn}，共有n﹣1個數(shù)．所以B∩（0，+∞）也有n﹣1個數(shù)．由于＜＜＜…＜，已經(jīng)有n﹣1個數(shù)對以下三角形數(shù)陣：＜＜＜…＜，＜＜＜…＜ …注意到＞＞＞…＞，所以==…=從而數(shù)列的通項(xiàng)公式是xk=x1?（）k﹣1=qk﹣1，k=1，2，3，…，n．點(diǎn)評：本題以向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算為載體，著重考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的探索、集合元素的性質(zhì)和數(shù)列與向量的綜合等知識點(diǎn)，屬于難題．本題是一道綜合題，請同學(xué)們注意解題過程中的轉(zhuǎn)化化歸思想、分類討論的方法和反證法的運(yùn)用．