【正文】 估值時(shí)，（＝％）。利用風(fēng)險(xiǎn)中性估值，該金融工具的價(jià)值為 即＄。四、收益依附于互換率的衍生證券直到現(xiàn)在我們一直假設(shè)利率衍生證券依附于零息票利率，在某些情況下，標(biāo)的利率是某個(gè)互換率?；Q率是給出多次支付所設(shè)定的某個(gè)利率，在基本的互換中，每個(gè)支付日支付一次。如果構(gòu)造某個(gè)衍生證券使得其收益與這種模式一一對(duì)應(yīng)，當(dāng)利用Black模型時(shí)，設(shè)定期望互換率等于在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的遠(yuǎn)期互換率是合理的。這是一個(gè)正確的方法，因?yàn)榭梢哉J(rèn)為互換期權(quán)提供了多個(gè)收益，在每個(gè)互換支付日提供一次。如果某個(gè)衍生證券依附于互換率但其收益并不與某個(gè)互換支付模式相對(duì)應(yīng)，有必要對(duì)遠(yuǎn)期互換率進(jìn)行凸性調(diào)整?？梢宰C明：如果某個(gè)衍生證券的收益在T時(shí)刻發(fā)生，并依附于在T時(shí)刻觀測(cè)到的某個(gè)互換率，方程式（）給出了凸性調(diào)整的量，但各個(gè)變量的定義需作如下調(diào)整F：遠(yuǎn)期互換率。P（y）：債券在T時(shí)刻的價(jià)格，是其收益y的函數(shù)。在互換的有效期內(nèi)，債券的息票等于遠(yuǎn)期互換率。：在T時(shí)刻互換率的波動(dòng)率測(cè)度?？紤]如下金融工具，三年后收益等于那時(shí)的三年期互換率乘以＄100。假設(shè)該互換每年支付一次，對(duì)所有期限的零息票利率都是年率12％（按年計(jì)復(fù)利），在三年后的三年期互換率的波動(dòng)率測(cè)度是22％。在這種情況下： ，所以和。從方程式（）得到凸性調(diào)整： 即36個(gè)基點(diǎn)。在為該金融工具估值時(shí)，（＝％）。利用風(fēng)險(xiǎn)中性估值，該金融工具的價(jià)值為： 即＄。五、固定期限的互換有必要進(jìn)行凸性調(diào)整的一個(gè)實(shí)際例子是固定期限的互換（ConstantMaturity Swaps）。在這個(gè)互換中，在每個(gè)支付日，某個(gè)互換率與某個(gè)固定利率相互交換。例如，某個(gè)互換持續(xù)10年，本金為＄100，每半年支付一次。在每個(gè)支付日，其中一方支付8％的固定利率，其本金為＄100。另一方支付當(dāng)前5年期互換率，本金為＄100。我們知道通過(guò)假設(shè)遠(yuǎn)期利率已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了可以為“大眾型”利率互換進(jìn)行估值。從我們剛才進(jìn)行的分析可以清楚看到，類似的結(jié)論并不適用于固定期限的互換。固定期限互換的正確估值方法是假設(shè)經(jīng)凸性調(diào)整的遠(yuǎn)期互換率已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了。這意味著我們首先應(yīng)計(jì)算每個(gè)支付日的遠(yuǎn)期互換率。對(duì)每個(gè)遠(yuǎn)期互換率應(yīng)用以上所討論的凸性調(diào)整方法，并假設(shè)這些經(jīng)調(diào)整的遠(yuǎn)期互換率已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了。本章小結(jié)1. 利率期權(quán)的形式多種多樣。在交易所中，長(zhǎng)期國(guó)債期貨期權(quán)、中期國(guó)債期貨期權(quán)，以及歐洲美元期貨期權(quán)的交易活躍。由金融機(jī)構(gòu)所提供的貸款和存款工具也常常包含隱含的期權(quán)。抵押擔(dān)保證券包含了嵌入利率期權(quán)，表示抵押基金的貸款人答應(yīng)借款人提前支付的選擇權(quán)。在OTC市場(chǎng)，諸如利率上限和互換期權(quán)這些利率衍生工具的交易也很活躍。2. Black模型是流行的為歐式利率期權(quán)進(jìn)行估值的方法。Black模型的核心是假設(shè)期權(quán)中標(biāo)的變量的價(jià)值在期權(quán)到期時(shí)是對(duì)數(shù)正態(tài)分布的。在歐式債券期權(quán)情況下，Black模型假設(shè)標(biāo)的債券的價(jià)格在期權(quán)的到期日是對(duì)數(shù)正態(tài)分布。對(duì)利率上限，Black模型假設(shè)組成利率上限的每個(gè)利率期權(quán)元的標(biāo)的利率是對(duì)數(shù)正態(tài)分布的。在互換期權(quán)的情況下，Black模型假設(shè)標(biāo)的互換率是對(duì)數(shù)正態(tài)分布的。3. 擴(kuò)展的Black模型可用于條件累計(jì)互換和利差互換的估值。條件累計(jì)互換是這樣一種互換，僅當(dāng)浮動(dòng)參照利率出現(xiàn)在某一個(gè)范圍之內(nèi)時(shí)，互換一方的利息才可以累計(jì)。利差互換是這樣一種期權(quán)，收益依附于兩個(gè)利率之間的利差。4. 使用Black模型時(shí)，通?？梢约僭O(shè)風(fēng)險(xiǎn)中性世界中對(duì)數(shù)正態(tài)分布標(biāo)的變量的期望值等于其遠(yuǎn)期值。但當(dāng)衍生證券的收益沒有反映貸款或存款正常支付利率的方式時(shí)不能這樣假設(shè)。因此有必要對(duì)遠(yuǎn)期率進(jìn)行所謂的凸性調(diào)整。凸性調(diào)整來(lái)源于債券價(jià)格和債券收益之間關(guān)系曲線的曲度。可以用解析方法估計(jì)該值。參考閱讀Black, F., (1976) “The Pricing of Commodity Contracts,” Journal of Financial Economics, 3, .BrothertonRatcliffe R., and ,（1993） “Yield Curve Applications of Swap Products,” Chapter 15 of Advanced Strategies in Financial Risk Management, R. Schwartz and (eds.), New York Institute of Finance, New York.John C. Hull ,(1997), Options, Futures, and Other Derivatives, 3th ed. Prentice Hall, Inc.思考與練習(xí)1 一家公司知道3個(gè)月后它可有＄500萬(wàn)投資90天，并希望保證獲得一定的利率水平。在交易所內(nèi)交易的利率期權(quán)提供了什么樣的頭寸來(lái)對(duì)沖利率的變動(dòng)？2 一家公司3個(gè)月期LIBOR的上限為年率10％，本金為＄2,000萬(wàn)。在重新設(shè)定日，3個(gè)月期的LIBOR為年率12%。根據(jù)利率上限，需如何支付？什么時(shí)候支付？3 請(qǐng)解釋為什么互換期權(quán)可以被看作一種債券期權(quán)？4 一位專家聲稱：對(duì)某個(gè)特定抵押擔(dān)保證券提供的經(jīng)過(guò)期權(quán)調(diào)整的差價(jià)是155個(gè)基本點(diǎn)。請(qǐng)解釋其含義。6 用Black模型為有效期一年的基于某個(gè)10年期債券的歐式看跌期權(quán)估值。假設(shè)債券當(dāng)前的現(xiàn)價(jià)為＄125，執(zhí)行價(jià)格為＄110，一年期利率為年率10％，債券價(jià)格的年波動(dòng)率為8％，期權(quán)有效期內(nèi)將支付的息票的現(xiàn)值為＄10。7 假設(shè)LIBOR收益率曲線是水平的，為年復(fù)利8％。某個(gè)互換期權(quán)賦予持有者這樣一種權(quán)利：％。每年支付一次。互換率的年波動(dòng)率為25％，本金為＄100萬(wàn)。用Black模型為該互換期權(quán)定價(jià)。8請(qǐng)解釋當(dāng)出現(xiàn)如下情況時(shí)，是否需要凸度調(diào)整：(a) 我們想要對(duì)某個(gè)差價(jià)期權(quán)進(jìn)行估價(jià)，該期權(quán)的收益為每季度5年期的一換率超過(guò)3個(gè)月的LIBOR的超額部分（如果存在這個(gè)差額的話），本金為＄100。盈虧在這些利率出現(xiàn)后的90天才發(fā)生。(b) 我們想要對(duì)某個(gè)差價(jià)期權(quán)進(jìn)行估價(jià)，該期權(quán)的盈虧為3個(gè)月期的LIBOR減3個(gè)月期的國(guó)債利率再減50個(gè)基本點(diǎn)之后的差值和0這兩者中的較大值。盈虧在這些利率出現(xiàn)后的90天才發(fā)生。9 假設(shè)使用基于某個(gè)10年期債券的5年期期權(quán)的隱含Black波動(dòng)率為基于該債券的9年期期權(quán)定價(jià)。你認(rèn)為最后的結(jié)果是偏高還是偏低，為什么？10 。債券現(xiàn)價(jià)為＄910，執(zhí)行價(jià)格為＄900，債券價(jià)格的波動(dòng)率為年率10％，3個(gè)月后該債券將付息＄35。一年期限內(nèi)所有期限的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為年率8％。使用Black模型為該期權(quán)定價(jià)。同時(shí)考慮如下兩種情況：執(zhí)行價(jià)格對(duì)應(yīng)于債券現(xiàn)金價(jià)格；以及執(zhí)行價(jià)格對(duì)應(yīng)于債券報(bào)價(jià)。11 某個(gè)9個(gè)月期的基于3個(gè)月期LIBOR的利率上限期權(quán)，本金為＄1,000。使用Black模型和如下信息，為該期權(quán)估值：9個(gè)月期歐洲美元期貨價(jià)格報(bào)價(jià)為92。9個(gè)月期歐洲美元期權(quán)隱含的利率波動(dòng)率為年率15％。％。按季度計(jì)復(fù)利的利率上限為8％。12 使用Black模型為某個(gè)4年期的基于5年期債券的歐式看漲期權(quán)定價(jià)。5年期債券價(jià)格為＄105，息票利息相同的4年期債券的價(jià)格為＄102，期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為美元100，4年期無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為年率10％（按連續(xù)復(fù)利計(jì)息），4年內(nèi)債券價(jià)格的波動(dòng)率為年率2％。13 在一個(gè)普通型互換中，支付日的浮動(dòng)利率的支付額是由前一支付日的浮動(dòng)利率計(jì)算而得的。在一個(gè)“arrears”互換中，浮動(dòng)利率的支付額是由該支付日的浮動(dòng)利率計(jì)算而得的。請(qǐng)描述如何對(duì)“arrears”互換進(jìn)行估值。14 假設(shè)LIBOR收益率曲線是水平的，利率8％（按連續(xù)復(fù)利計(jì)息）。某個(gè)衍生產(chǎn)品的損益在4年后發(fā)生。它等于在這個(gè)時(shí)刻的5年期利率減去2年期利率，本金為＄100，兩個(gè)利率都是按連續(xù)復(fù)利計(jì)息（損益可正可負(fù)）。計(jì)算該衍生產(chǎn)品的價(jià)值。假設(shè)所有利率的波動(dòng)率為25％