【正文】 給出的該金融工具的價(jià)格與它在市場(chǎng)中的價(jià)格進(jìn)行比較。運(yùn)用一系列迭代過程以確定平行漂移到所輸入的國(guó)債收益率曲線的平行漂移量，該量將使得模型的價(jià)格等于市場(chǎng)的價(jià)格。這個(gè)平行漂移量就是OAS。舉個(gè)例子，假設(shè)市場(chǎng)價(jià)格是＄，利用國(guó)債收益曲線計(jì)算出的價(jià)格為＄。作為第一步試算，我們可以選擇平等漂移到國(guó)債零息票曲線的平行漂移量為60個(gè)點(diǎn)。假設(shè)這個(gè)漂移量給出該金融工具價(jià)格為＄。這低于＄，意味著在0和60點(diǎn)之間的某個(gè)平行漂移量將使得模型所計(jì)算的價(jià)格等于市場(chǎng)價(jià)格。自然我們利用線性插值計(jì)算得： ，將它作為下一次試算的漂移量。假設(shè)這個(gè)漂移量給出的價(jià)格為＄。線性插值給出的下一次試算的漂移量為： ；如此等等。二、布萊克（Black）模型與利率期權(quán)的定價(jià)自從1973年布萊克－舒爾斯（BlackScholes）期權(quán)公式首次公布以來(lái)，該公式已成為非常流行的工具。正如在第十三章所述，該模型經(jīng)過擴(kuò)展之后，可為貨幣期權(quán)、指數(shù)期權(quán)以及期貨期權(quán)估值。交易員已經(jīng)非常習(xí)慣于支撐該模型的對(duì)數(shù)正態(tài)分布假設(shè)和用來(lái)描述不確定性的波動(dòng)率測(cè)度。為了將該模型運(yùn)用于利率衍生證券的定價(jià)，人們做了各種擴(kuò)展。在利率衍生證券領(lǐng)域應(yīng)用最廣泛的布萊克－舒爾斯擴(kuò)展模型是發(fā)表于1976年的Black模型，起初開發(fā)該模型是為了給商品期貨期權(quán)進(jìn)行估值。該模型擴(kuò)展后為范圍廣泛的歐式期權(quán)估值提供了一個(gè)靈活的框架。我們還將給出一些例子說(shuō)明Black模型如何應(yīng)用于利率期權(quán)的定價(jià)。（一）運(yùn)用Black模型為歐式期權(quán)定價(jià)考慮一個(gè)基于變量V的歐式看漲期權(quán)，假設(shè)利率是非隨機(jī)變量并定義：：期權(quán)到期日：在期限為T的合約中的V的未來(lái)價(jià)格：期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格：期限為T的零息票收益：的波動(dòng)率：在時(shí)刻T時(shí)V的價(jià)值：在時(shí)刻T時(shí)F的價(jià)值在時(shí)刻T，期權(quán)的盈利狀態(tài)是，由于，因此我們可認(rèn)為在T時(shí)刻的期權(quán)盈利狀態(tài)為，Black模型給出0時(shí)刻歐式看漲期權(quán)的價(jià)值c為： （）其中 相應(yīng)的歐式看跌期權(quán)的價(jià)值p為： （）（二）Black模型的擴(kuò)展Black模型假設(shè)F的波動(dòng)率為常數(shù)，我們可以稍微放松這個(gè)假設(shè)。由于我們是為歐式期權(quán)進(jìn)行估值，我們并不關(guān)心時(shí)刻T之前的V值或F值。我們僅只是要求在T時(shí)刻V服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。由于F是在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的期望值，我們能夠利用風(fēng)險(xiǎn)中性估值方法推導(dǎo)出方程式（）和（）的充分條件如下：1．的概率分布是對(duì)數(shù)正態(tài)分布；2．ln的標(biāo)準(zhǔn)偏差是；3．利率是非隨機(jī)變量。當(dāng)利率是非隨機(jī)變量時(shí)，期貨價(jià)格和遠(yuǎn)期價(jià)格是相同的。因此，對(duì)T時(shí)刻到期的某個(gè)合約而言，變量F可定義為V的遠(yuǎn)期價(jià)格?？傊?，只要假設(shè)利率是非隨機(jī)變量，期權(quán)到期時(shí)標(biāo)的變量服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，任何時(shí)候我們都可以利用方程式（）和（）為歐式期權(quán)估值。在方程式中的變量F可定義為T時(shí)刻到期的某個(gè)合約中的標(biāo)的變量的遠(yuǎn)期價(jià)格。由于我們并沒有假設(shè)V和F的變化遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，那么定義變量為波動(dòng)率并不嚴(yán)格?，F(xiàn)實(shí)中，它不過是一個(gè)具有如下特性的變量，即是的標(biāo)準(zhǔn)偏差。為了強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)，我們定義為T時(shí)刻V的波動(dòng)率測(cè)度（Volatility Measure）。進(jìn)一步擴(kuò)展Black模型，我們可允許給出盈利的時(shí)刻不是T時(shí)刻，例如假設(shè)從T時(shí)刻的變量V的值計(jì)算出期權(quán)的盈利，但是該盈利延遲到時(shí)刻，其中。在這種情況下，有必要從時(shí)刻而不是從時(shí)刻T貼現(xiàn)該盈利。我們定義為到期日為的零息票收益率，于是方程式（）和（）變?yōu)椋? （） （）其中 （三）適用的利率人們廣泛使用（）到（）為利率期權(quán)估值。變量V可以是利率、債券價(jià)格、或兩個(gè)利率之間的價(jià)差。變量F等于V的遠(yuǎn)期價(jià)格。用于貼現(xiàn)的變量和是從計(jì)算出來(lái)的零息票收益率。當(dāng)Black模型按這種方式運(yùn)用時(shí)，出現(xiàn)了兩種近似情況：1．假設(shè)V的遠(yuǎn)期價(jià)格等于它的期貨價(jià)格，因此等于在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的期望值，但是，當(dāng)利率是隨機(jī)變量時(shí)，遠(yuǎn)期價(jià)格和期貨價(jià)格并不相等。2．即使計(jì)算期權(quán)盈利時(shí)刻這些利率假設(shè)為隨機(jī)變量，也假設(shè)用來(lái)貼現(xiàn)的這些利率為常數(shù)。如果這些情況發(fā)生了的話，這兩個(gè)近似具有相互抵消的效應(yīng)。因此，在為歐式利率期權(quán)估值時(shí)，Black模型比所期望的具有更強(qiáng)的理論基礎(chǔ)。（四）歐式債券期權(quán)的定價(jià)歐式債券期權(quán)是在未來(lái)一個(gè)確定日期按一個(gè)確定價(jià)格購(gòu)買或出售某個(gè)債券的選擇權(quán)。如果假設(shè)在期權(quán)到期日標(biāo)的債券的價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，令F等于遠(yuǎn)期債券價(jià)格，則可用方程程式（）和（）為該期權(quán)估值。變量是這樣定義的，是期權(quán)到期時(shí)債券價(jià)格對(duì)數(shù)值的標(biāo)準(zhǔn)偏差。從即期債券價(jià)格B可以計(jì)算出F，公式如下： （）其中I是在期權(quán)有效期內(nèi)所支付的息票的現(xiàn)值。在這個(gè)公式中，即期債券價(jià)格和遠(yuǎn)期債券價(jià)格都是現(xiàn)金價(jià)格（Cash Prices）而不是報(bào)價(jià)（Quoted Prices）。在方程式（）和（）中的執(zhí)行價(jià)格應(yīng)該是現(xiàn)金執(zhí)行價(jià)格。期權(quán)條款中對(duì)X的設(shè)定很重要，如果執(zhí)行價(jià)格定義為期權(quán)履約時(shí)交換該債券的現(xiàn)金量，X應(yīng)該設(shè)定等于這個(gè)執(zhí)行價(jià)格。如果執(zhí)行價(jià)格定義為期權(quán)履約時(shí)適用該債券的報(bào)價(jià)，X應(yīng)該設(shè)定等于執(zhí)行價(jià)格加上截止到期權(quán)到期日的累計(jì)利息（交易員將債券的報(bào)價(jià)看作為“干凈價(jià)格”，而將現(xiàn)金價(jià)格看作為不純價(jià)格（Dirty Price））?？紤]一個(gè)10個(gè)月期歐式看漲期權(quán)，面值為＄1,000（當(dāng)期權(quán)到期時(shí)，該債券的有效期為8年11個(gè)月）。假設(shè)當(dāng)前債券現(xiàn)金價(jià)格為＄960，執(zhí)行價(jià)格為＄1,000，10個(gè)月期無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率為10％，在10個(gè)月內(nèi)該債券價(jià)格的波動(dòng)率測(cè)度為年率9％。債券息票率為10％，每半年支付一次，預(yù)計(jì)在三個(gè)月后和九個(gè)月后各支付＄50息票（這意味著累計(jì)利息為＄25，報(bào)價(jià)為＄935。）。％％，因此，所付息票的現(xiàn)值為： 即＄。從方程式（）得到債券遠(yuǎn)期價(jià)格如下： （a）如果執(zhí)行價(jià)格是執(zhí)行時(shí)支付該債券的現(xiàn)金價(jià)格，方程式（）中的參數(shù)是F＝，X＝1,000，＝，＝，T＝?？礉q期權(quán)的價(jià)格為＄。（b）如果執(zhí)行價(jià)格是執(zhí)行時(shí)支付該債券的報(bào)價(jià)，由于期權(quán)的到期日是息票支付日之后的一個(gè)月，一個(gè)月的累計(jì)利息必須加到X中去。得到X的值為： 1,000+50＝1,在方程式（）中的其它參數(shù)不變（即，F(xiàn)＝，＝，＝，T＝）。債券價(jià)格對(duì)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差會(huì)隨時(shí)間變化。今天的標(biāo)準(zhǔn)偏差為零，因?yàn)榻裉靷膬r(jià)格沒有不確定性。在債券的到期日標(biāo)準(zhǔn)偏差也是零，因?yàn)槲覀冎赖狡跁r(shí)債券價(jià)格將等于它的面值。在今天和債券到期日之間，標(biāo)準(zhǔn)偏差開始是增加的，然后減少。在為債券的歐式期權(quán)進(jìn)行估值時(shí)，所使用的波動(dòng)率測(cè)試為： 一般來(lái)說(shuō)，隨著期權(quán)有效期限的增加，減少。當(dāng)期權(quán)有效期限保持固定時(shí)，它是債券有效期限的一個(gè)函數(shù)。（五）收益率的波動(dòng)率債券期權(quán)報(bào)價(jià)所對(duì)應(yīng)的波動(dòng)率常常是收益率波動(dòng)率度量而不是價(jià)格波動(dòng)率度量。市場(chǎng)運(yùn)用久期概念將報(bào)價(jià)的收益率波動(dòng)率轉(zhuǎn)換為價(jià)格波動(dòng)率。假設(shè)D是期權(quán)的標(biāo)的遠(yuǎn)期債券的經(jīng)調(diào)整的久期。在期權(quán)到期時(shí)，債券價(jià)格B與其收益y之間的關(guān)系是： 即 這說(shuō)明在Black模型中使用的波動(dòng)率測(cè)度與的收益率波動(dòng)率測(cè)度之間有近似的相關(guān)關(guān)系，公式如下： （）當(dāng)債券期權(quán)報(bào)價(jià)給出收益率波動(dòng)率時(shí)，隱含的假設(shè)常常是，可以使用方程式（）將該波動(dòng)率轉(zhuǎn)換為價(jià)格波動(dòng)率，然后將它與方程式（）或（）聯(lián)立起來(lái)，得到一個(gè)價(jià)格。第三節(jié) 利率上限和利率下限一、利率上限金融機(jī)構(gòu)在場(chǎng)外市場(chǎng)提供的流行的利率期權(quán)是利率上限（Interest Rate Caps）。設(shè)計(jì)利率上限是為了提供某種保險(xiǎn)，保證浮動(dòng)利率借款的利息率不超過某一確定的利率水平。這個(gè)利率水平被稱為上限利率（Caps Rate）。當(dāng)貸款的利率上限與貸款本身都是由同一家金融機(jī)構(gòu)提供時(shí)，利率上限所包含期權(quán)的成本常常被合并在應(yīng)支付的利率內(nèi)。當(dāng)它們由不同的金融機(jī)構(gòu)提供時(shí)，為獲得利率上限，可能會(huì)要求事先支付一筆承諾費(fèi)。（一）作為利率期權(quán)的某種組合的利率上限利率上限確保在任何給定時(shí)刻所支付的借款利率是市場(chǎng)當(dāng)前利率與