【正文】 sc o sc o s? ? ???? 機械學院 剛 體 動 力 學 ? ??????????????????zzyzxyzyyxxzxyxOIIIIIIIIII 稱為剛體對直角坐標系的慣性矩陣， 或稱為剛體對點 O的慣性矩陣。 xyz???????????????????????????????????CCzxxzCCyzzyCCxyyxCCzzCCyyCCxxxMzIIzMyIIyMxIIyxMIIxzMIIzyMII)()()(222222稱為轉(zhuǎn)動慣量和慣性積的 平行軸定理 機械學院 剛 體 動 力 學 取軸 Cx、 Cy、 Cz分別與軸 Ox?、 Oy?、 Oz?的指向相同。則剛體在坐標系 Cxyz和坐標系 Ox?y?z?的慣性矩陣間的關(guān)系為 剛體在不同坐標系下的慣性矩陣間的關(guān)系 （ 1）相對質(zhì)心坐標系和非質(zhì)心坐標系慣性矩陣間的關(guān)系 TCICI ][]][[][ 122121 ? 這就是剛體對兩個共原點坐標系的慣性矩陣間的關(guān)系式，此式稱為 轉(zhuǎn)軸公式 機械學院 剛 體 動 力 學 設(shè)坐標系 Ox1y1z1和 Ox2 y2 z2是某剛體的兩套共原點連體坐標系。剛體相對這兩套坐標系的慣性矩陣間的關(guān)系為 [C12]表示坐標系 Ox2 y2 z2相對坐標系 Ox1 y1 z1的方向余弦矩陣。 （ 2）剛體對兩個共原點坐標系的慣性矩陣間的關(guān)系 xyzTCC CrRMICI ]) } []~[]~([]] { [[][ 12222121 ??? 機械學院 剛 體 動 力 學 設(shè)坐標系 O1x1 y1 z1和 O2x2 y2 z2是某剛體上的任意兩個坐標系及以質(zhì)心 C為原點的坐標系 Cxyz，且使軸 O1x?、 O1y?、O1z?與軸 O2x O2y O2z2和軸Cx、 Cy、 Cz指向相同 ]~[ Cr ]~[ CR COCO 12 和和 分別表示有線段 在坐標系 O2x2 y2 z2中的坐標方陣 （ 3）剛體對 任意兩個坐標系的慣性矩陣間 的關(guān)系 CrCRCr 機械學院 剛 體 動 力 學 I x I y I z I xy I yz I zxx y z xy yz zx2 2 2 2 2 2 1? ? ? ? ? ?K點的軌跡方程 在 L軸上取一點 K，令 OK＝ 1/ IL K點的軌跡方程為 慣量橢球和慣量主軸 這是一個二次齊次方程。 IL是恒大于零的有限值， K點不可能與原點 O重合，也不可在無窮遠處，所以是一個以 O點為中心的橢球面。此橢球面稱為剛體對于 O點的 慣量橢球 。從慣量橢球可以看出剛體對通過 O點的任意軸的轉(zhuǎn)動慣量大小的變化規(guī)律。 機械學院 剛 體 動 力 學 由解析幾何知道，任何橢球面都有三個互相垂直的對稱軸。以這三個軸建立坐標系 Ox1y1z1，剛體對于這三個軸的慣性積均等于零。此時，慣量橢球方程簡化為 I x I y I zx y z1 1 112 12 12 1? ? ?x y z1三個軸稱為剛體在 O點的慣量主軸。 剛體對于 OL1軸的轉(zhuǎn)動慣量為 I I I IL x y z1 1 1 12 2 2? ? ?cos cos cos? ? ? 剛體對于其質(zhì)心的慣量橢球，稱為 中心慣量橢球 ；中心慣量橢球的慣量主軸，稱為 中心慣量主軸 。如果已知剛體對于中心慣量主軸的轉(zhuǎn)動慣量，剛體對于任意軸的轉(zhuǎn)動慣量就不難求出了。 機械學院 剛 體 動 力 學 情形一：如果剛體具有對稱面 ， 則其中心慣量主軸之一與對稱面垂直 （ 因而其它兩軸必在對稱平面內(nèi) ） 。 情形二：如剛體有對稱軸 ， 則此對稱軸就是中心慣量主軸 。 情形三：在某點 O的一個慣量主軸 ， 如果通過剛體的質(zhì)心 ， 則此軸是剛體的中心慣量主軸 。 三種情形的中心慣性主軸的位置 剛體的定點運動微分方程 機械學院 剛 體 動 力 學 剛體繞固定點 O運動 。 在任意瞬時 ， 它的角速度為 ?。 根據(jù)動量矩的定義 ， 該剛體對 O點的動量矩 )]([)(1iiiiiiniO mmL rrvr ?????? ???二重矢積的性質(zhì) iiiii r rrrr )()( 2 ????? ???iiiiio mrm rrL )(2 ?? ????? 定點運動剛體的動量矩 機械學院 剛 體 動 力 學 建立一個隨 體 動 坐標系Ox?y?z?， Ox?、 Oy?、 Oz?軸上的單位矢量用： e e e3表示 ， 則 321321eeeeeerzyxiiii zyx??? ?????????????iiiiio mrm rrL )(2 ?? ?????322222122])()()([])()()([])()()([ eeeLziiiyiiixiiiziiiyiiixiiiziiiyiiixiiiOyxmzymzxmzymxzmyxmzxmyxmzym???????????????????????????????????????????????????????????代入化簡得 機械學院 剛 體 動 力 學 322222122])()()([])()()([])()()([ eeeLziiiyiiixiiiziiiyiiixiiiziiiyiiixiiiOyxmzymzxmzymxzmyxmzxmyxmzym???????????????????????????????????????????????????????????)( 22 iiix zymI ?????? )(iiiyx yxmI ??????)( iiizx zxmI ??????)(22 iiiy xzmI ??????)( 22 iiiz yxmI ??????)( iiizy zymI ??????轉(zhuǎn)動慣量 慣性積 321 eeeL zyxO LLL ??? ???寫成矢量形式為 機械學院 剛 體 動 力 學 }]{[}{ ?OO IL ?寫成矩陣的形式為 ???????????????????????????????????????????zzyzyxzxzzzyyyxyxyzzxyyxxxxIIILIIILIIIL?????????321 eeeL zyxO LLL ??? ???式中 機械學院 剛 體 動 力 學 }]{[}{ ?OO IL ?式中 TzyxTzyxO}{}{}{}{????????????LLLL????????????????????????????????zzyzxzyyyxzxyxxOIIIIIIIIII ][剛體的慣性矩陣 機械學院 剛 體 動 力 學 定點運動剛體的動力學方程 設(shè)剛體繞定點 O運動，連體坐標系為 Ox?y?z?，設(shè)各坐標軸均為 慣性主軸 ，且 Oz?為中心慣性主軸，則剛體繞定點 O動量矩為 ????????????????????????????????????????zyxzyxzyxIIILLL???000000根據(jù)動量矩定理 OOt ML ?dd321 eeeL zzyyxxO III ?????? ??? ???或 機械學院 剛 體 動 力 學 動量矩 LO對時間的絕對導數(shù) 與其在連體坐標系中對時間的相對導數(shù) 之間的關(guān)系為 Ot LddOt Ldd~OOO tt LLL ??? ?dd~ddOOOt MLL ??? ?dd~代入動量矩定理 機械學院 剛 體 動 力 學 寫成矩陣形式或方程組的形式為 ? ? ? ?OOO II M?? ?]][~[}]{[ ??}]{[}{ ?OO IL ?寫成矩陣形式或方程組的形式為 ? ? ? ?OOO II M?? ?]][~[}]{[ ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????zyxzyxzyxxyxzyzzyxzyxMMMIIIIII????????????000000000000000即 zxyxyzzyzxzxyyxyzyzxxMIIIMIIIMIII???????????????????????????????????????)()()(或 剛體定點運動的動力學方程 歐拉動力學方程 機械學院 剛 體 動 力 學 由此可知：（ 1）只有在選取剛體的三根慣性主軸為它的連體坐標系時，歐拉動力學方程才具有簡單的形式；（ 2）力矩 Mx?、 My?和 Mz?是 歐拉角 ?、 ? 和 ?角速度 ?x? 、 ?y? 和 ?z? 的函數(shù)。運動學補充方程由歐拉運動學方程表示 ????????????????????????????????????c o ss i ns i ns i nc o sc o ss i nzyx 歐拉動力學方程和歐拉運動學方程組成一個非線性方程組。 機械學院 剛 體 動 力 學 例：質(zhì)量為 m、長為 l的均質(zhì)細桿以柱鉸鏈 O與鉛垂軸相連，已知鉛垂軸以勻角速度?轉(zhuǎn)動，列出細桿的運動微分方程。 解：取細桿為研究對象 ， 建立連體坐標系Ox?y?z?， 細桿對軸 Ox?、Oy?和 Oz?的轉(zhuǎn)動慣量分別為 231 mlIx ?? 0??yI231 mlIz ??ΩO?mg 機械學院 剛 體 動 力 學 3 eΩω θ????? s in????x?? c o s????y??