【正文】 剛 體 動 力 學(xué) 1. 角速度合成定理 則在瞬時 t時，點 M的絕對速度、相對速度和牽連速度分別為 若剛體相對固定坐標(biāo)系和動坐標(biāo)系的角速度分別為 ?a和 ?r rωv ?? aarωv ?? rr rωv ?? eerea vvv ??根據(jù)點的速度合成定理，有 rea ωωω ??代入整理得 角速度合成定理：剛體的絕對角速度等于 牽連角速度 和相對角速度 的 矢量和 。 靜坐標(biāo)系中的瞬時轉(zhuǎn)動軸方程 連體坐標(biāo)系中的瞬時轉(zhuǎn)動軸方程 機械學(xué)院 剛 體 動 力 學(xué) 2. 速度投影的解析式 ?????????????xyvzxvyzvyxzxzyzyx??????rv ?? ?點 M在靜坐標(biāo)系的矢徑 r為 r = xi + yj + zk kjiv zyx vvv ???其中， M點的速度在靜坐標(biāo)軸上的投影為 M點的速度為 M點的速度矢量表達式為 機械學(xué)院 剛 體 動 力 學(xué) ??????????????????????????xyvzxvyzvyxzxzyzyx?????? 注意： M點相對于靜坐標(biāo)系 Oxyz是運動的，所以， M點的坐標(biāo) x、 y、 z為時間 t的函數(shù)。與載體相固結(jié)的坐標(biāo)系稱為載體坐標(biāo)系， z天 北 東 機械學(xué)院 剛 體 動 力 學(xué) 姿態(tài)角： Cz上 前 右 z天 北 東 載體坐標(biāo)系與定坐標(biāo)系關(guān)系為：將縱軸 yC向坐標(biāo)平面 (水平面 )上投影得 m軸，則縱軸 yC與 m軸的夾角 ? 稱為 俯仰角 ， m軸與N軸的夾角 ? 稱為 航向角 ，橫軸 xC與 n軸的夾角 ? 稱為 傾斜角 。 則 ?、 ?、?角即稱為 卡爾丹角 。這一位置同樣可以繞過 O點某一軸轉(zhuǎn)動一微小角度 ??達到。 位移定理：定點運動的剛體，從某一位置到達另一位置的任何位移，可以繞著通過其定點的某一軸作一次有限轉(zhuǎn)動而實現(xiàn)。 這三個有限位移的順序是不能改變的。隨體坐標(biāo)系的任一根軸 (軸 Oz?)相對 Oxyz的位置，可由三個方向角 ? ? ?3確定，此三個角不是獨立的 4? 圖 12 圖 13 1c o sc o sc o s 322212 ??? ??? 再確定隨體坐標(biāo)系相對定坐標(biāo)系 繞 Oz軸的轉(zhuǎn)角 ?4，則隨體參考系相對固定參考系的位置將唯一地確定。并且進展很快。由于航海事業(yè)的發(fā)展，首先提出了關(guān)于 船舶搖擺運動規(guī)律 的問題。 研究多剛體系統(tǒng)動力學(xué)主要基礎(chǔ)工作是 剛體動力學(xué) 。 剛體動力學(xué)的范疇的實例包括 機器人、航天器、跳高運動員、體操及跳水運動員 的空翻動作模擬及 宇航員在太空的動作規(guī)范 等，因此，通常將以上研究對象簡化成若干剛體鉸接而成的樹狀結(jié)構(gòu)。 為了克服摩擦： 在真空中懸浮的陀螺、液體中懸浮的流體陀螺、 振動陀螺、原子陀螺、激光陀螺、液浮陀螺、靜電陀螺、 動壓陀螺及定向精度高的動力調(diào)諧陀螺儀等 陀螺理論也在飛速發(fā)展。 機械學(xué)院 剛 體 動 力 學(xué) x?y?z?1z?1x?1y?2z?1x?1y?2y?z?x?1y?2y?y? 機械學(xué)院 剛 體 動 力 學(xué) 機械學(xué)院 剛 體 動 力 學(xué) π20,π0,π20 ?????? ???)(),(),( 321 tftftf ??? ??? 這個連續(xù)轉(zhuǎn)動的特點是，任一角度的大小變化均不影響其它二個角度之值，是彼此獨立的三個角度；若在下列范圍內(nèi)改變 ?、 ? 和 ?角的數(shù)值，可得到剛體可能具有的任意位置： 剛體作定點運動時，歐拉角 ?、 ? 和 ?是時間的單值連續(xù)函數(shù)，可分別表示為 這就是 定點運動剛體的運動方程 。求△ OAB運動至圖 (b)所示的位置時，其連體坐標(biāo)系相對固定坐標(biāo)系的歐拉角。 機械學(xué)院 剛 體 動 力 學(xué) (d) (e) 事實上，除定點以外剛體上存在一點，在三次坐標(biāo)變換 (轉(zhuǎn)動 )后位置不變。 剛體在瞬時 t 繞瞬軸轉(zhuǎn)動的角速度為 ttt ddlim0αα ???????方向沿瞬軸 OC， 指向按右手規(guī)則確定。并且是通過隨體坐標(biāo)系和定坐標(biāo)系之間的夾角表示。 其中 機械學(xué)院 剛 體 動 力 學(xué) 剛體定點運動時，剛體內(nèi)任一點的 速度 等于繞瞬軸轉(zhuǎn)動的角速度與矢徑的 矢量積 ，該點的加速度等于繞瞬軸的向軸加速度與繞角加速度矢的轉(zhuǎn)動加速度的 矢量和 。 注意到瞬軸上任一點的瞬時速度為零，則角速度矢 ?必與瞬時軸重合。 在剛體上取一點M， O點到 M點的矢徑為 r， 在剛體繞瞬軸的絕對轉(zhuǎn)動中 ， M點的絕對速度為 rv ?? aM ? 機械學(xué)院 剛 體 動 力 學(xué) 機械學(xué)院 剛 體 動 力 學(xué) 機械學(xué)院 剛 體 動 力 學(xué) 機械學(xué)院 剛 體 動 力 學(xué) 機械學(xué)院 剛 體 動 力 學(xué) 2. 角加速度合成定理 根據(jù)角速度合成定理，有 ?a = ?e + ?r 將式求導(dǎo)數(shù)，得 ttt dddddd rea ωωω ??ta dd reωεε ??即 rerrdd ωωεω ???trerea ωωεεε ???? 得到 由泊松公式 rerea ωωεεε ????角加速度合成定理： 剛體的絕對角加速度等于牽連角加速度加相對角加速度再加上牽連角速度與相對角速度的 叉積 。 ?e = ? 圓錐體在水平地平面上作純滾動 rea ωωω ??ra ωΩω ???? co ta ??由角速度圖所示的幾何關(guān)系 機械學(xué)院 剛 體 動 力 學(xué) 點 B的絕對速度 BBv rω ?? a矩陣形式為 }]{~[}{ a BB rv ????????????????00c o t000c o t00]~[ a??????????????????????????????????????????)c o s1(c o ss i nc o sc o tc o ss i nc o s)2/s i n (s i n)2/s i n ()2/c o s(c o sc o tc o s0}{?????????????????? RRRRRRr B??????????????????s i n0)c o s1(c o sc o t}{ Rv B 機械學(xué)院 剛 體 動 力 學(xué) 機械學(xué)院 剛 體 動 力 學(xué) 2． 求點 B的加速度 由角加速度合成定理 rerea ωωεεε ????BBB vωrεa ???? aa求點 B的加速度矢量式為 0e ?ε 0r ?ε由于 ?a = ? ?r 所以 ?????????? ??????????????????????????????????????????????????????00co tco t00000000s i nco s00000000}]{~[}{2rrra????????BBB vωrεa ???? aa 機械學(xué)院 剛 體 動 力 學(xué) ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????c o sc o t( si nc o s)1( c o sc o ssi nc o tc o tsi n0)c o s1(c o sc o t00c o t000c o t00)c o s1(c o ssi nc o sc o tc o ssi n0c o t0c o t00000}]{~[}]{~[}{222aaRRRvraBBB??????????????????s i n0)c o s1(c o sc o t}{ Rv B????????????????????????c o sc o t( s i nc o s)1( c o sc o ss i nc o tc o t}{ 2Ra B 機械學(xué)院 剛 體 動 力 學(xué) 例 15 剛體作定點運動的角速度在靜坐標(biāo)系上的投影為 在瞬時 t＝ 1s時，剛體內(nèi)點 M的坐標(biāo)為 x = 0、 y = 、 z = 。 平行移動。 本章的重點： 剛體繞定點轉(zhuǎn)動運動微分方程 繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動運動微分方程 機械學(xué)院 剛 體 動 力 學(xué) 剛體動力學(xué)是研究剛體的運動和作用在剛體上的力之間關(guān)系的。 （ 2）剛體對兩個共原點坐標(biāo)系的慣性矩陣間的關(guān)系 xyzTCC CrRMICI ]) } []~[]~([]] { [[][ 12222121 ??? 機械學(xué)院 剛 體 動 力 學(xué) 設(shè)坐標(biāo)系 O1x1 y1 z1和 O2x2 y2 z2是某剛體上的任意兩個坐標(biāo)系及以質(zhì)心 C為原點的坐標(biāo)系 Cxyz，且使軸 O1x?、 O1y?、O1z?與軸 O2x O2y O2z2和軸Cx、 Cy、 Cz指向相同 ]~[ Cr ]~[ CR COCO 12 和和 分別表示有線段 在坐標(biāo)系 O2x2 y2 z2中的坐標(biāo)方陣 （ 3）剛體對 任意兩個坐標(biāo)系的慣性矩陣間 的關(guān)系 CrCRCr 機械學(xué)院 剛 體 動 力 學(xué) I x I y I z I xy I yz I zxx y z xy yz zx2 2 2 2 2 2 1? ? ? ? ? ?K點的軌跡方程 在 L軸上取一點 K，令 OK＝ 1/ IL K點的軌跡方程為 慣量橢球和慣量主軸 這是一個二次齊次方程。如果已知剛體對于中心慣量主軸的轉(zhuǎn)動慣量，剛體對于任意軸的轉(zhuǎn)動慣量就不難求出了。 機械學(xué)院 剛 體 動 力 學(xué) 例：