【正文】 522021????????????????????????????iiiiiYY???0)3(303)8(5221 ???? ?????iiiii Y YY ??21????????? ?? ?YYY? ? ????????????15 6 1 6 )1(Y22????????? ?? ?YYY? ? ??????????????12 2 9 2 )2(Y002 0302 21????????? ?? ?YYY? ? ?????????????13 4 7 6 )1(Y1 1 1 Yij為正時(shí)表示質(zhì)量mi的運(yùn)動方向與單位位移方向相同，為負(fù)時(shí)，表示與單位位移方向相反。 例 18 試求圖示梁的自振頻率和主振型，梁的 EI已知。 1 2 a a a m m 解：（ 1）計(jì)算頻率 1 a 1M1 2MEIaEIaEIa6,4,32232112311 ????? ????3231 maEImaEI ?? ??（ 2）振型 1122122111 ???YYYY1 1 第一振型 第二振型 主振型及主振型的正交性 m1 m2 11121 Ym? 11221 Ym?Y11 Y21 12122 Ym?22222 Ym?由功的互等定理： 整理得： m1 m2 Y12 Y22 2122222111222122212121211211 )()()()( YYmYYmYYmYYm ???? ???0))(( 22212121112221 ??? YYmYYm??21 ?? ?因 ，則存在： 02221212111 ?? YYmYYm兩個(gè)主振型相互正交，因與質(zhì)量有關(guān)，稱為第一正交關(guān)系 。 由功的互等定理： 2122222111222122212121211211 )()()()( YYmYYmYYmYYm ???? ???02221212111 ?? YYmYYm上式分別乘以 ω 1 ω 22，則得： 0)()(0)()(2122222111222122212121211211????YYmYYmYYmYYm????第一主振型慣性力在第二主振型位移上所做的功等于零；第二主振型慣性力在第一主振型位移上所做的功等于零； 某一主振型的慣性力在其它主振型位移上不做功，其能量不會轉(zhuǎn)移到其它主振型上，不會引起其它主振型的振動； 各個(gè)主振型能單獨(dú)存在，而不相互干擾。 柔度法（忽略阻尼） 因?yàn)樵诤喼C荷載作用下， 荷載頻率在共振區(qū)之外，阻尼 影響很??；在共振區(qū)之內(nèi)時(shí)， 計(jì)不計(jì)阻尼，雖對振幅影響很大，但都能反映共振現(xiàn)象。 t P ? sin t P ? sin y1 y2 11ym?.. 22ym?.. P P1? P2?tymymytymymyPP??????s i n)()(s i n)()(22222211121122211111????????????????????（ 2）動位移的解答及討論 通解包含兩部分：齊次解對應(yīng)按自振頻率振動的自由振動， 由于阻尼而很快消失；特解對應(yīng)按荷載頻率振動的簡諧振 動是平穩(wěn)階段的純強(qiáng)迫振動。 （ 1）建立振動微分方程 tyymymtyymymPP??????s i ns i n22222221111112221111????????????????各簡諧荷載頻率相同相位相同，否則用其他方法 167。 兩自由度體系的 受迫 振動 tYtytYty ?? s i n)(,s i n)( 2211 ??0)1(0)1(2222221212112122211121??????????PPYmYmYmYm????????)1()1(22222121122211210 ???????????mmmmD )1(22222122211 ??????????mmDPPPPmmD22121111212)1(??????????022011DDYDDY ??解得振幅：產(chǎn)生的位移。位移幅值相當(dāng)于靜荷載時(shí)，①當(dāng) ,D,D,1D0 22110 PP ???????位移幅值很小。時(shí)，②當(dāng) ,0,0, 21222140 ??????? YY???? DDD共振現(xiàn)象。不全為零時(shí)，時(shí)，或③當(dāng) ,0 2121021 ????? YYDDD????n各自由度體系，存在 n個(gè)可能的共振點(diǎn) 設(shè)純強(qiáng)迫振動解答為： 代入： tyymymtyymymPP??????s i ns i n22222221111112221111????????????????（ 3）動內(nèi)力幅值的計(jì)算 tYtytYty ?? s i n)(s i n)( 2211 ?? tPtP ?s in)( ?tYmymtYmym ???? s i n,s i n 2222212111 ????.. .. 荷載、位移、慣性力同頻、同相、同時(shí)達(dá)到最大。位移達(dá)到最大時(shí)，內(nèi)力也達(dá)到最大。求內(nèi)力時(shí)可將動荷載和慣性力的幅值作為靜荷載作用于結(jié)構(gòu)，用靜力法求出內(nèi)力，即為動內(nèi)力幅值?；蛴茂B加公式求： 由 Y1 ， Y2值可求得位移和慣性力。 ? ? PMIMIMtM ??? 2211m a x慣性力的幅值為： 22221211 , YmIYmI ???? ?? ??代入位移幅值方程 0)1(0)1(2222221212112122211121??????????PPYmYmYmYm????????可得求慣性力幅值的方程 （直接求慣性力幅值） 0)1(0)1(222222121121212111??????????PPImIIIm??????y1(t) y2(t) P1(t) P2(t) tPtPtPtP??s i n)(s i n)(2211??如在平穩(wěn)階段，各質(zhì)點(diǎn)也作簡諧振動： tYtytYty??s i n)(s i n)(2211??222222121121211211)()(PYmkYkPYkYmk????????0222221121211 ????mkkkmkD??Y1=D1/D0 Y2=D2/D0 2222211212110 mkkkmkD?????? ? 212222211 PkmkPD ??? ?如果荷載頻率 θ與任一個(gè)自振頻率 ω ω2重合，則 D0=0, 當(dāng) D D2 不全為零時(shí)，則出現(xiàn)共振現(xiàn)象 ? ? 121121122 PkmkPD ??? ?002221212221211111??????ykykymykykym.. .. )()(21tPtP 2222211212110 mkkkmkD?????? ? 212222211 PkmkPD ??? ?? ? 121121122 PkmkPD ??? ?m2 m1 k2 k1 例 19 質(zhì)量集中在樓層上 m m2 ，層間側(cè)移剛度為 k k2 解：荷載幅值： P1=P， P2=0， 求剛度系數(shù)： k11=k1+k2 , k21=－ k2 , k22=k2 , k12=－ k2 當(dāng) m1=m2=m， k1=k2=k tP ?sin? ?021222221011 DPkmkPDDY ???? ?0222 )(DmkP ??012112112022)(DPkmkPDDY ???? ?02DPk? ?? ? 2222212210 kmkmkkD ????? ??? ?021222221011 DPkmkPDDY ???? ?? ?021222221DPkmkP ?? ?? ?02DmP ?? ? ?01211211022 DPkmkPDDY ???? ?0DPk ? ?? ? 2220 2 kmkmkD ???? ??2222212221 3mkmk???????2242 3 kkmm ?? ?? )3(22242mkmkm ?? ??))(( 22212222142 ?????? ???? m ))(( 2222122 ???? ??? m)1)(1( 22221222212?????? ??? m)1)(1( 222212222???? ???mkm)1)(1(122221221????????? kmkPY)1)(1(12222122???? ???kPY121)1)(1(1222212 ??????????? kmkPY 22)1)(1(1222212 ?????????kPY 0 0.618 1.618 kPY1mk? 0 0.618 1.618 kPY2mk?兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的 位移動力系 數(shù)不同。 當(dāng) 2121 , YYmkmk 和時(shí)和 ???? ???? 趨于無窮大。 可見在兩個(gè)自由度體系中，在兩種情況下可能出現(xiàn)共振。 也有例外情況 ? k k P yst1 yst2=P/k 荷載幅值產(chǎn)生的靜位移和靜內(nèi)力 yst1= yst2=P/k 層間剪力 : Qst1= P 動荷載產(chǎn)生的位移幅值和內(nèi)力幅值 θ2mY2 θ2mY1 ))(1()(2122121??????????kmPYYmPQ121)1)(1(1222212 ??????????? kmkPY22)1)(1(1222212 ?????????kPY)(1 2121???? ??? k mQ由此可見，在多自由度體系中，沒有一個(gè)統(tǒng)一的動力系數(shù)。 層間動剪力 : 例 20 m2 m1 k2 k1 質(zhì)量集中在樓層上 m m2 ， 層間側(cè)移剛度為 k k2 k11=k1+k2 , k21=－ k2 , k22=k2 , k12=－ k2 tP ?sin? ?02221 DmkPY ???022 DPkY ?2222212210 ))(( kmkmkkD ????? ??222202222 ,0, kPYkDYmk ?????? ?當(dāng)m1 k1 tP ?sinm2 k2 這說明在右圖結(jié)構(gòu)上， 適當(dāng)增加 m k2系統(tǒng) 可以消除 m1