【正文】 ????kkkkrryyyy???????? 則如nkkyyn ?? ln21??設(shè) yk和 yk+n是相隔 n個周期的兩個振幅則 : 經(jīng)過一個周期后，相鄰兩振幅 yk和 yk+1的比值的對數(shù)為 : 工程中常用此方法測定阻尼 ② 阻尼對振幅的影響 . 振幅 ae ξω t 隨時間衰減，相鄰兩個振幅的比 常數(shù)?? ?? Tkk eyy ??1 振幅按等比級數(shù)遞減 . EI=∞ m 例 圖示一單層建筑物的計算簡圖。在測得周期 T= 及一個周期后的側(cè)移 A1=。 解 ： 1ln2 11???? ???kkyymNAPk / 430?????11 22 ???? sT???? ? ? k 2 ? ? ? m c 2 ? ? ? ? m 2 2 cmsNmsN /4????????臨界阻尼常數(shù) cr為 ξ =1時的阻尼常數(shù)。 (3)ξ 1 強(qiáng)阻尼： 不出現(xiàn)振動，實(shí)際問題不常見。 ? ? ? ? ? l ? ?? l tetCCy ???? )( 21tetvtyy ?? ???? ])1([ 0002 2 ??? yyy ??? ???t y y 0 θ0 00 vtg ??這條曲線仍具有衰減性， 但不具有波動性。 k y(t) y m ky ym??P(t ) m P(t ) P(t ) 彈性力－ ky、慣性力 ym???和荷載 P(t)之間的平衡方程為 : )()( atPkyym ???? ??mtPyy )(2 ?? ???簡諧荷載： tmFtA ???? s i ns i n)( 22 ???t m F t A t A ? ? ? ? ? sin sin sin 2 2 ? ? ? t A y ? sin ? m t F y y ? ? sin 2 ? ? ?? )( 22 ?? ???mFAt y t m F y st ? ? ? ? ? ? ? sin ) 1 ( 1 sin ) 1 ( 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ??FmFyst ?? 2單自由度體系強(qiáng)迫 振動的微分方程 特解 ： 167。 tyy st ???s i n1122??特解可寫為 ： 通解可寫為： tytCtCy st ????? s i n11c o ss i n2221 ????設(shè) t=0時的初始位移和初始速度均為零，則： 0,1 2221 ???? CyC st ?? ??)s i n( s i n1122 ttyy st ?????????過渡階段 ：振動開始兩種振動同時存在的階段； 平穩(wěn)階段 ：后來只按荷載頻率振動的階段。 ?當(dāng) 0 θ/ω 1時 ,β 1，并且隨θ/ω 的增大而增大。即當(dāng)荷載頻率接近于自振頻率時，振幅會無限增大。通常把 θ/ω 。當(dāng) θ 很大時，荷載變化很快，結(jié)構(gòu)來不及反應(yīng)。 例 11：已知 m=300kg， EI=90 ,k=48EI/l3 ,P=20kN,θ= 80s1 求梁中點(diǎn)的位移幅值及最大動力彎矩。 一般荷載 一般荷載作用下的動力反應(yīng)可利用瞬時沖量的動力反應(yīng)來推導(dǎo) 1)瞬時沖量的動力反應(yīng) P(t) t P 瞬時沖量 S引起的振動可視為由初始條件引起的自由振動。 t39。 )c o s1()( tyty st ???階段 Ⅱ( tu)：無荷載，體系以 t=u時刻的位移 和速度 為初始條件作自由振動。 P(t) t P P(t) t P u P(t) t P u )c o s1()( tyty st ???))(c o s1()( utyty st ??? ?當(dāng) 0t u )c o s1()( tyty st ???當(dāng) t u )c o s1()( tyty st ??? ))(c o s1( uty st ??? ?)c o s)(( c o s tuty st ?? ??? )2(s i n2s i n2utuyst ?? ??y st y(t) ωt 0 π 2π 3π ωT 最大動反應(yīng) 1） 當(dāng) u T/2 最大動位移發(fā)生在階段 Ⅰ )c o s1()( tyty st ???styy 2m ax ?2） 當(dāng) u T/2 最大動位移發(fā)生在階段 Ⅱ β =2 )2(s i n2s i n2)( utuyty st ?? ??2s i n2m a xuyyst??2s i n2u?? ?????????21,221,s i n2TuTuTu當(dāng)當(dāng)??Tuβ 1/6 1 1/2 2 動力系數(shù)反應(yīng)譜 (β 與 T和 u之間的關(guān)系曲線 ) (3）線性漸增荷載 ?????????rrrttPttttPtP當(dāng)當(dāng),0,)(00P(t) t P0 tr 這種荷載引起的動力反應(yīng)同樣可由 Duhamel積分來求 解 : ??????????????????????????rrrstrrstttttttytttttyty當(dāng)當(dāng),)}(s i n{ s i n11,s i n)(????? 對于這種線性漸增荷載 ,其動力反應(yīng)與升載時間的長短有很大關(guān)系。 如果升載很短， trT/4,則 β 接近于 2,即相當(dāng)于突加荷載情況。 常取外包虛線作為設(shè)計的依據(jù)。 （ 2） 簡諧荷載 P(t)=Fsinθt tmFyyy ???? s i n2 2 ??? ???設(shè)特解為 ： y=Asin θt +Bcos θt代入得 ： 222222222222224)(2,4)( ?????? ? ????????????????mFBmFA? ?}s i nc o s{ 21 tCtCey rrt ???? ?? ? +{Asin θt +Bcos θt } 齊次解加特解得到通解： 自由振動，因阻尼作用， 逐漸衰減、消失。 結(jié)論：在簡諧荷載作用下，無論是否計入阻尼的作用，純強(qiáng)迫振動部分總是穩(wěn)定的周期運(yùn)動，稱為平穩(wěn)振動。 ? ? 2 1 ? 共振時 ② 當(dāng) θ 接近 ω 時， β 增加很快， ξ 對 β 的數(shù)值影響也很大。在共振區(qū)之外阻尼對 β的影響較小，可按無阻尼計算。 體系振動得很慢， FI、 R較小，動荷主要由 S平衡，S與 y反向， y與 P基本上同步；荷載可作靜荷載處理。 體系振動得很快， FI很大， S、 R相對說來較小，動荷主要由 FI 平衡， FI 與 y同向， y與 P反向； )c os (),s i n (),s i n (),s i n (2 ??????????????????????????tycycRtymymFtkykyStyyPPIPP???彈性力 S，慣性力 FI， 阻尼力 R分別為： t ? sin ? 2 1 t F ? sin ? ? m ? ? 2 2 ? ? ?當(dāng) θ=ω時 ,α→90 176。動荷恰與阻尼力平衡，故運(yùn)動呈現(xiàn)穩(wěn)態(tài)故不會出現(xiàn)內(nèi)力為無窮大的情況。 k=mω2=mθ2 2?mF)90s i n ( 0??? tkyS P ? )90s i n ( 02 ?? tymF PI ??)90c os ( 0????? ? tycycR P ?? tym P ???? s i n2??例 14 圖示塊式基礎(chǔ) .機(jī)器與基礎(chǔ)的質(zhì)量為 。豎向振動時的阻尼比為 機(jī)器轉(zhuǎn)速為 N=800r/min,其偏心質(zhì)量引起的離心力為 P= 振動時的振幅。 m )(tP )(tyP)(tPt????? dtmPty t )(s i n)()( 0 ?? ?解 ： ???? dtm Pt )(s i n0 ?? ?)c os1(2 tm P ?? ??)c o s1( ty st ???動力系數(shù)為 2 ??????000)(tPttPm1 m2 y1(t) y2(t) m1 m2 11ym??22ym ??K2 K1 K2 K1 y1(t) y2(t) 1 21k11k1 12k22k0111 ?? Kym ??0222 ?? Kym ?? ?2121111 ykykK ??2221212 ykykK ?? ?0)()()(0)()()(2221212221211111??????tyktyktymtyktyktym????? 167。 ? ?? ? ? ?? ? ? ?0?? ykym ??或 設(shè)方程的特解為 ???????)s in (Y)s in (Y2211????tyty代入方程 ,得 0YYY 121212111 ??? ?mkk0YYY 222222121 ??? ?mkk??????????????????????????00YY)00(2122122211211 ?mmkkkk0YY)( 21212111 ??? kmk ?0Y)(Y 22222121 ??? ?mkk? ? ? ? ? ? ? ?0Y)( 2 ?? mk ?? ? ? ? 02 ?? mk ?頻率方程 — 振型方程 m1 m2 y1(t) y2(t) 0))(( 211222221211 ???? kkmkmk ??顯然 Y1=Y2=0 為其解，為了求得不全為零的解，令 0)()(222221121211 ????mkkkmkD??2121122211222211122211122121mmkkkkmkmkmkmk ???????????????? ?????????? ???解頻率方程得 的兩個根 2?值小者記作 2?1?稱作第一頻率 也稱作基本頻率 。 體系按特解振動時有如下特點(diǎn) 1)各質(zhì)點(diǎn)同頻同步 。 2111111211111121YY)c os (Y)c os (Y)()( ??????????tttyty??2)發(fā)生按振型的自由振動是有條件的 . 211121211121YY)0()0(,YY)0()0( ??yyyy??4)N自由度體系有 N個頻率和 N個振型 ? ? ? ? 02 ?? mk ?頻率方程 解頻率方程得 ,從小到大排列 ?N??? ?21 ,依次稱作第一頻率 ,第二頻率 ... 第一頻率稱作基本頻率 ,其它為高階頻率 . 將頻率代入振型方程 ? ? ),2,1(Y Nii ??得 N個振型 ? ? ? ? ? ? ? ?0Y)( 2 ?? mk ?N個振型是線性無關(guān)的 . 3)振型與頻率是體系本身固有的屬性 ,與外界因素?zé)o關(guān) . 5)柔度法 m1 m2 y1(t) y2(t) 22 ym ???11 ym ???122211111 )()()( ?? tymtymty ???? ???222221112 )()()( ?? tymtymty ???? ???設(shè)解為 ???????)s i n()()s i n()(2211????tYtytYty?此時慣性力 ???????????)s i n()()s i n()(2222212111??????tYmtymtYmtym????幅值 ?????222112YmYm??12222111121 )()( ???? YmYmY ??22222211122 )()( ???? YmYmY ?? ?在自由振動過程中任意時刻 t，