【正文】 中懸浮的流體陀螺、 振動(dòng)陀螺、原子陀螺、激光陀螺、液浮陀螺、靜電陀螺、 動(dòng)壓陀螺及定向精度高的動(dòng)力調(diào)諧陀螺儀等 陀螺理論也在飛速發(fā)展。 ＊ 魚雷上的“陀螺自動(dòng)操縱舵”。 機(jī)械學(xué)院 機(jī)械學(xué)院剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 玩具陀螺 剛體的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 第 1章 剛體運(yùn)動(dòng)學(xué) 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 行星錐齒輪 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 玩具陀螺 陀螺儀 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 玩具陀螺 科學(xué)家稱之為陀螺的“定軸性”。 目前，研究多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的各種方法很多，研究的課題多在帶有撓性部件的多體系統(tǒng)上。 剛體動(dòng)力學(xué)的范疇的實(shí)例包括 機(jī)器人、航天器、跳高運(yùn)動(dòng)員、體操及跳水運(yùn)動(dòng)員 的空翻動(dòng)作模擬及 宇航員在太空的動(dòng)作規(guī)范 等，因此，通常將以上研究對(duì)象簡(jiǎn)化成若干剛體鉸接而成的樹狀結(jié)構(gòu)。 機(jī)械學(xué)院 機(jī)械學(xué)院剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 自從 1957年人類首次發(fā)射人造地球衛(wèi)星以來，航天技術(shù) ( 衛(wèi)星、飛船、空間站等 ) 發(fā)展得十分迅速，因而形成了一門新的新興學(xué)科，它主要 包括軌道力學(xué)及姿態(tài)動(dòng)力學(xué) 。 陀螺儀作為控制系統(tǒng)中的量測(cè)元件或執(zhí)行元件已廣泛用于航空、航海與航天技術(shù)中。 剛體繞定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)是從十八世紀(jì)開始研究的。 研究多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)主要基礎(chǔ)工作是 剛體動(dòng)力學(xué) 。 多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué) 是 60年代在經(jīng)典力學(xué)基礎(chǔ)上發(fā)展起來的力學(xué)新分支。它是航空航天器、機(jī)器人、車輛、兵器與機(jī)構(gòu)等復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)的力學(xué)模型。通常所說的剛體動(dòng)力學(xué)，其主要內(nèi)容是研究剛體繞定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。由于航海事業(yè)的發(fā)展，首先提出了關(guān)于 船舶搖擺運(yùn)動(dòng)規(guī)律 的問題。 此外，剛體動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域還重點(diǎn)研究了含有陀螺效應(yīng)的各種系統(tǒng)的共同特性，從而形成了 陀螺耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué) 和轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué) 。其研究對(duì)象從剛體動(dòng)力學(xué)模型過渡到變形體或混合系統(tǒng)的力學(xué)模型。形成了多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問題。并且進(jìn)展很快。 ＊ 飛機(jī)上的方向儀就叫“陀螺羅盤”。 ＊ 軍艦艇上的航海陀螺羅盤 ＊ 火箭上的陀螺導(dǎo)航儀 ＊ 現(xiàn)在的各種導(dǎo)彈中的控制系統(tǒng)或自動(dòng)駕駛儀，也是采用了類似的陀螺儀來使導(dǎo)彈保持 “ 平衡 ” 狀態(tài)。 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程 研究剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)首先要確定剛體在 空間的位置 。隨體坐標(biāo)系的任一根軸 (軸 Oz?)相對(duì) Oxyz的位置，可由三個(gè)方向角 ? ? ?3確定，此三個(gè)角不是獨(dú)立的 4? 圖 12 圖 13 1c o sc o sc o s 322212 ??? ??? 再確定隨體坐標(biāo)系相對(duì)定坐標(biāo)系 繞 Oz軸的轉(zhuǎn)角 ?4，則隨體參考系相對(duì)固定參考系的位置將唯一地確定。Ox?y?z?系的 Ox?y?平面與 Oxyz系的 Oxy平面的交線 ON稱 為節(jié)線。 ?、 ? 和 ?統(tǒng)稱為 歐拉角。 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體從某一位置移動(dòng)到另一位置的位置變化稱為有限位移。 這三個(gè)有限位移的順序是不能改變的。 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的有限位移與無限小位移 1．剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的有限位移 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 定量分析，隨體坐標(biāo)系 Oz軸轉(zhuǎn)過 ?角后，此時(shí)，剛體上任意一點(diǎn) M?在固定參考系 Oxyz中的坐標(biāo)為 1000c o ss in0s inc o s111111111???????????????????????zyxzzyxyzyxx????1x?1y? M?寫為矩陣形式 ??????????????????????? ????????????1111000c o ss i n0s i nc o szyxzyx????令 ? ??????????? ??1000c o ssi n0si nc o s?????C稱為 方向余弦矩陣 。 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 例 11 設(shè)有一△ OAB由圖 (a)所示的位置繞點(diǎn) O運(yùn)動(dòng)至圖 (b)所示的位置，圖中固定坐標(biāo)系為 Oxyz和 隨體 坐標(biāo)系為 Ox?y?z?。 x x?yy?z z?xx?yy?zz? 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) ?????????????001100010][ C11s i n,0c os 23333 ????? cc ??解：由圖 (b)所示的幾何關(guān)系可以看出，其連體坐標(biāo)系相對(duì)固定坐標(biāo)系的方向余弦矩陣為 由式中的第一、二式，得到 xx?yy?zz?2?? ?章動(dòng)角為 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 010s i ns i n,111s i nc o s 1323 ????????? ???? cc11 1s i ns i n,010s i nco s 3132 ???????? ???? cc2?? ??22?????? ???? 、進(jìn)動(dòng)角為 ? =? 自轉(zhuǎn)角為 歐拉角為 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 2。 位移定理：定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的剛體，從某一位置到達(dá)另一位置的任何位移，可以繞著通過其定點(diǎn)的某一軸作一次有限轉(zhuǎn)動(dòng)而實(shí)現(xiàn)。 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 例 12 如圖 (a)所示為一長(zhǎng)方體，初始時(shí)其棱邊 OA， OE，OC分別與 Ox， Oy， Oz三軸重合。顯然，長(zhǎng)方體通過三次轉(zhuǎn)動(dòng)所到達(dá)的最終位置也可由繞 Ol軸一次轉(zhuǎn)過1800而達(dá)到，如圖 (e)所示（其方向矢量 l=i+k） 。 ? ????????????????????????????zyxCzyx??? ,當(dāng) ?=?=?=900時(shí)， C(?,?, ?)為 ? ?????????????0 0 10 1 01 0 0, ???C代入上式可得 確定的直線方程為 (x?=z?， y?=0) 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 當(dāng)剛體從某一位置作微小位移 ??， ??， ??中到達(dá)新的位置時(shí)，可以認(rèn)為 1c os ,1c os ,1c oss i n,s i n,s i n????????????????????????變換矩陣可寫為 ? ???????????????????????????????1 1 1,?????????????????C略去矩陣中的二階微量 為 ? ??????????????????????1 0 1 0 1 ,?????????C 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的無限小位移 ? ???????????????1 0 0 0 1 0 1 ???C? ???????????????1 0 1 00 0 1???C ? ???????????????1 0 00 1 0 1???C 相應(yīng)地，矩陣C(??)， C(??)， C(??)可分別表示為 由此可知，無論按怎樣的順序進(jìn)行矩陣 C(??)， C(??)，C(??)的乘法運(yùn)算，其乘積在 略去二階微量后均相等 。這一位置同樣可以繞過 O點(diǎn)某一軸轉(zhuǎn)動(dòng)一微小角度 ??達(dá)到。 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) M點(diǎn)到達(dá) M?點(diǎn)， M?點(diǎn)的矢徑為 )( 11 rαrrrr ????????M?點(diǎn)到達(dá) M?點(diǎn)，其矢徑為 r? = r?+?r2 = r?+(??2 r?) = r + ??1 r + ??2 (r +??1 r ) = r +(??1+??2) r + ??2 (??1 r ) 略去二階微量，則有 r? = r+(??1+??2) r (A) 根據(jù)歐拉定理，由 M點(diǎn)到達(dá) M?點(diǎn)可以通過一次轉(zhuǎn)動(dòng)無限小角位移 ??來實(shí)現(xiàn)，即有 r? = r+?? r (B) 比較式 (A)、式 (B)，得 ??=??1+??2 1??2???? 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 同理可得 ?? = ??1+??2 = ??2+??1 (F) 故無限小轉(zhuǎn)動(dòng)的合成，遵守加法的交換律。 設(shè) M為剛體上某一點(diǎn)，其矢徑為 r，當(dāng)剛體繞軸 OA轉(zhuǎn)過 ??時(shí)， M的微小位移 ?r可近似地表示為 rr ???? ?? ? rΔΔθΔψ rΔαΔr ?????? ? 同時(shí)， M點(diǎn) 繞 Oz， ON， Oz?三軸分別轉(zhuǎn)過微小轉(zhuǎn)角 ??，??， ?? ， 達(dá)到同一位置，因此 M點(diǎn)的位移為 ?r ，則有 由此得到 ?? ??????? θψ 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體的角速度及角加速度 剛體的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)可以看成按時(shí)間順序，繞通過定點(diǎn) O的一系列瞬軸的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)。 x?y?z?根據(jù)無限小角位移合成定理 ??＝ ??＋ ??＋ ?? 即 ???? ??? ??? 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) x?y?z?????????????????????????????c o ss i ns i nc o sc o ss i ns i n??????zyxkji zyx ??? ????向靜坐標(biāo)系各軸投影的矢量形式為 瞬時(shí)角速度公式向靜坐標(biāo)系 Oxyz投影與歐拉角速度的關(guān)系為 ???? ??? ??? 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體的瞬時(shí)角速度公式