【正文】 個角在陀螺儀中有明確的物理意義。并且是通過隨體坐標(biāo)系和定坐標(biāo)系之間的夾角表示。角 ?、 ?、 ?完全確定了載體的姿態(tài)，因而稱為載體的 姿態(tài)角。 其中 機械學(xué)院 剛 體 動 力 學(xué) 剛體定點運動時，剛體內(nèi)任一點的 速度 等于繞瞬軸轉(zhuǎn)動的角速度與矢徑的 矢量積 ，該點的加速度等于繞瞬軸的向軸加速度與繞角加速度矢的轉(zhuǎn)動加速度的 矢量和 。而 M點相對于固結(jié)在剛體上的隨體坐標(biāo)系 Ox?y?z?是固定不動的，所以， M點的坐標(biāo) x?、 y?、z?為定值。 注意到瞬軸上任一點的瞬時速度為零，則角速度矢 ?必與瞬時軸重合。 機械學(xué)院 剛 體 動 力 學(xué) 這是一種特殊的定點運動 。 在剛體上取一點M， O點到 M點的矢徑為 r， 在剛體繞瞬軸的絕對轉(zhuǎn)動中 ， M點的絕對速度為 rv ?? aM ? 機械學(xué)院 剛 體 動 力 學(xué) 機械學(xué)院 剛 體 動 力 學(xué) 機械學(xué)院 剛 體 動 力 學(xué) 機械學(xué)院 剛 體 動 力 學(xué) 機械學(xué)院 剛 體 動 力 學(xué) 2. 角加速度合成定理 根據(jù)角速度合成定理，有 ?a = ?e + ?r 將式求導(dǎo)數(shù)，得 ttt dddddd rea ωωω ??ta dd reωεε ??即 rerrdd ωωεω ???trerea ωωεεε ???? 得到 由泊松公式 rerea ωωεεε ????角加速度合成定理： 剛體的絕對角加速度等于牽連角加速度加相對角加速度再加上牽連角速度與相對角速度的 叉積 。 機械學(xué)院 剛 體 動 力 學(xué) 解：瞬時軸應(yīng)為 OD軸，如圖所示。 ?e = ? 圓錐體在水平地平面上作純滾動 rea ωωω ??ra ωΩω ???? co ta ??由角速度圖所示的幾何關(guān)系 機械學(xué)院 剛 體 動 力 學(xué) 點 B的絕對速度 BBv rω ?? a矩陣形式為 }]{~[}{ a BB rv ????????????????00c o t000c o t00]~[ a??????????????????????????????????????????)c o s1(c o ss i nc o sc o tc o ss i nc o s)2/s i n (s i n)2/s i n ()2/c o s(c o sc o tc o s0}{?????????????????? RRRRRRr B??????????????????s i n0)c o s1(c o sc o t}{ Rv B 機械學(xué)院 剛 體 動 力 學(xué) 機械學(xué)院 剛 體 動 力 學(xué) 2． 求點 B的加速度 由角加速度合成定理 rerea ωωεεε ????BBB vωrεa ???? aa求點 B的加速度矢量式為 0e ?ε 0r ?ε由于 ?a = ? ?r 所以 ?????????? ??????????????????????????????????????????????????????00co tco t00000000s i nco s00000000}]{~[}{2rrra????????BBB vωrεa ???? aa 機械學(xué)院 剛 體 動 力 學(xué) ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????c o sc o t( si nc o s)1( c o sc o ssi nc o tc o tsi n0)c o s1(c o sc o t00c o t000c o t00)c o s1(c o ssi nc o sc o tc o ssi n0c o t0c o t00000}]{~[}]{~[}{222aaRRRvraBBB??????????????????s i n0)c o s1(c o sc o t}{ Rv B????????????????????????c o sc o t( s i nc o s)1( c o sc o ss i nc o tc o t}{ 2Ra B 機械學(xué)院 剛 體 動 力 學(xué) 例 15 剛體作定點運動的角速度在靜坐標(biāo)系上的投影為 在瞬時 t＝ 1s時，剛體內(nèi)點 M的坐標(biāo)為 x = 0、 y = 、 z = 。 機械學(xué)院 剛 體 動 力 學(xué) OC為圖示瞬時的瞬時轉(zhuǎn)動軸， 解：此機構(gòu)的幾何關(guān)系直觀明確 ， 可采用兩種方法求解 。 平行移動。動點 M在動坐標(biāo)系中的運動方程為 )(),(),( 321 tfztfytfx ??????M點的相對速度和相對加速度 kjiv ????????? tztytx ddddddrkjia ????????? 222222r ddddddtztytx 機械學(xué)院 剛 體 動 力 學(xué) 點的速度合成定理 re vvv ??Mrvv ???? ? ee ?Ore vvv OM ????? ? r?)()(dd eereee rvrr ??????????? ?????trerdd vav ??? ?rtre dd)(dddddd vrvvattttOMM ?????? ?M點的加速度為 機械學(xué)院 剛 體 動 力 學(xué) rereeerereerere2)()(dd)(ddddddvarravarvravrvva??????????????????????????????????????????OeOOMMtttt)( eeee rraa ???????? ? ???Ore2 va ?? ?CCreM aaaa ??? 當(dāng)牽連運動為一般運動時，動點的絕對加速度等于牽連加速度、相對加速度和科氏加速度的矢量和。 本章的重點： 剛體繞定點轉(zhuǎn)動運動微分方程 繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動運動微分方程 機械學(xué)院 剛 體 動 力 學(xué) 剛體動力學(xué)是研究剛體的運動和作用在剛體上的力之間關(guān)系的。即 I mL i i? ? ? 2剛體對于 OL軸的轉(zhuǎn)動慣量 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?i i i i i i ii i i i i iy z z x x yy z z x x y2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2? ? ? ? ? ?? ? ?c o s c o s c o sc o s c o s c o s c o s c o s c o s 機械學(xué)院 剛 體 動 力 學(xué) ? i i iOM OP2 2 2? ?OM x y zi i i i2 2 2 2? ? ???? co sco sco s iiii zyxOP ???在三角形△ OMiPi中 其中 線段 OPi是矢徑在 OL軸上的投影 ? ? ? ?? ?iiiiiiiiiiiiiiiiiiLyxmxzmzymyxmxzmzymI????????????????????????co sco s2co sco s2 co sco s2co s co sco s222222222這就是轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)軸公式 iiiyziiizxiiixy zymIxzmIyxmI ?????? I I I I II IL x y z yzzx xy? ? ? ?? ?c o s c o s c o s c o s c o sc o s c o s c o s c o s2 2 2 22 2? ? ? ? ?? ? ? ?令 機械學(xué)院 剛 體 動 力 學(xué) 寫成矩陣形式： ? ?II I II I II I ILx xy xzyx y yzzx zy z?? ?? ?? ???????????????????????????c o s c o s c o sc o sc o sc o s? ? ???? 機械學(xué)院 剛 體 動 力 學(xué) ? ??????????????????zzyzxyzyyxxzxyxOIIIIIIIIII 稱為剛體對直角坐標(biāo)系的慣性矩陣， 或稱為剛體對點 O的慣性矩陣。 （ 2）剛體對兩個共原點坐標(biāo)系的慣性矩陣間的關(guān)系 xyzTCC CrRMICI ]) } []~[]~([]] { [[][ 12222121 ??? 機械學(xué)院 剛 體 動 力 學(xué) 設(shè)坐標(biāo)系 O1x1 y1 z1和 O2x2 y2 z2是某剛體上的任意兩個坐標(biāo)系及以質(zhì)心 C為原點的坐標(biāo)系 Cxyz，且使軸 O1x?、 O1y?、O1z?與軸 O2x O2y O2z2和軸Cx、 Cy、 Cz指向相同 ]~[ Cr ]~[ CR COCO 12 和和 分別表示有線段 在坐標(biāo)系 O2x2 y2 z2中的坐標(biāo)方陣 （ 3）剛體對 任意兩個坐標(biāo)系的慣性矩陣間 的關(guān)系 CrCRCr 機械學(xué)院 剛 體 動 力 學(xué) I x I y I z I xy I yz I zxx y z xy yz zx2 2 2 2 2 2 1? ? ? ? ? ?K點的軌跡方程 在 L軸上取一點 K，令 OK＝ 1/ IL K點的軌跡方程為 慣量橢球和慣量主軸 這是一個二次齊次方程。 機械學(xué)院 剛 體 動 力 學(xué) 由解析幾何