【正文】 (b) (c) 最后繞軸 Ox(OC)轉(zhuǎn)過(guò) 900（ ?）到達(dá)圖 (d)所示位置。由此可知，無(wú)限小位移 ?? 是矢量。 x1x?z1y?y?y1z?z?x?x x?zy y?z? 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 卡爾丹角的方向余弦矩陣 ? ? ? ? ? ? ? ??????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????c o sc o sc o ssi nsi nsi nsi nc o sc o ssi nsi nsi nsi nc o sc o ssi nc o sc o ssi nc o ssi nsi nc o ssi nsi nsi nc o sc o sc o s c o ssi n0si nc o s0001c o s0si n010si n0c o s1000c o ssi n0si nc o s , CCCC 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) ? ????????????????????????????1 1 0 0 1c o sc o sc o ss i ns i ns i nc o s0s i nc o ss i ns i nc o s,???????????????????C 工程上往往只關(guān)心 z?軸 (陀螺軸 )的運(yùn)動(dòng)，取隨體坐標(biāo)系 Ox?y?z?與內(nèi)環(huán)相固結(jié)，稱(chēng)為 陀螺坐標(biāo)系，令 ?=0， 即得陀螺坐標(biāo)系的方向余弦矩陣 C?(?,?,?)。 角加速度 ?也是一個(gè)矢量，其方向沿角速度矢量 ?的矢端曲線(xiàn)的切線(xiàn)方向 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 在任一瞬時(shí)，剛體的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)既然可以看作是繞瞬軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，就可以應(yīng)用速度、加速度矢量式求此瞬時(shí)定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)的速度和加速度。 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 幾何法 根據(jù)幾何關(guān)系，判斷剛體上除定點(diǎn) O以外速度為零的點(diǎn) C， OC連線(xiàn)即瞬軸。 因?yàn)镺點(diǎn)的速度為零 ， ve＝ ?e h2＝ 2?OAC面積 ， vr＝ ?r h2＝2△ OBC面積 ， OABC是平行四邊形 ， △ OAC面積＝△ OBC面積 ， 所以 C點(diǎn)的絕對(duì)速度為零 。已知中軸線(xiàn) OO?繞鉛直軸 Oz轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為 ?，求圓錐體底面圓周上任一點(diǎn) B的速度及加速度。齒輪繞瞬軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為 常量 ?????s in112 ?? lMEv M ???tdd?? ?rl21211 c t gs i n ??????? ???211 s i n ???lOMa ???轉(zhuǎn)動(dòng)加速度 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 2122si n2 ???lMEa????2co s2 )2180co s (22122212122212aaaaaaaaaa M??????? ?221 9 ????????rllaM ?矢徑法、幾何法求得的結(jié)果是一致 a= a1+a2 向軸加速度 M點(diǎn)的加速度 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 剛體的一般運(yùn)動(dòng) 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 剛體一般運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程 ??????????? ???)(),(),()(),(),(654321tftftftfztfytfx OOO???建立靜坐標(biāo)系 Oxyz。 本章將論述定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)和一般運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。則剛體在坐標(biāo)系 Cxyz和坐標(biāo)系 Ox?y?z?的慣性矩陣間的關(guān)系為 剛體在不同坐標(biāo)系下的慣性矩陣間的關(guān)系 （ 1）相對(duì)質(zhì)心坐標(biāo)系和非質(zhì)心坐標(biāo)系慣性矩陣間的關(guān)系 TCICI ][]][[][ 122121 ? 這就是剛體對(duì)兩個(gè)共原點(diǎn)坐標(biāo)系的慣性矩陣間的關(guān)系式，此式稱(chēng)為 轉(zhuǎn)軸公式 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 設(shè)坐標(biāo)系 Ox1y1z1和 Ox2 y2 z2是某剛體的兩套共原點(diǎn)連體坐標(biāo)系。此時(shí)，慣量橢球方程簡(jiǎn)化為 I x I y I zx y z1 1 112 12 12 1? ? ?x y z1三個(gè)軸稱(chēng)為剛體在 O點(diǎn)的慣量主軸。 根據(jù)動(dòng)量矩的定義 ， 該剛體對(duì) O點(diǎn)的動(dòng)量矩 )]([)(1iiiiiiniO mmL rrvr ?????? ???二重矢積的性質(zhì) iiiii r rrrr )()( 2 ????? ???iiiiio mrm rrL )(2 ?? ????? 定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)量矩 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 建立一個(gè)隨 體 動(dòng) 坐標(biāo)系Ox?y?z?， Ox?、 Oy?、 Oz?軸上的單位矢量用： e e e3表示 ， 則 321321eeeeeerzyxiiii zyx??? ?????????????iiiiio mrm rrL )(2 ?? ?????322222122])()()([])()()([])()()([ eeeLziiiyiiixiiiziiiyiiixiiiziiiyiiixiiiOyxmzymzxmzymxzmyxmzxmyxmzym???????????????????????????????????????????????????????????代入化簡(jiǎn)得 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 322222122])()()([])()()([])()()([ eeeLziiiyiiixiiiziiiyiiixiiiziiiyiiixiiiOyxmzymzxmzymxzmyxmzxmyxmzym???????????????????????????????????????????????????????????)( 22 iiix zymI ?????? )(iiiyx yxmI ??????)( iiizx zxmI ??????)(22 iiiy xzmI ??????)( 22 iiiz yxmI ??????)( iiizy zymI ??????轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 慣性積 321 eeeL zyxO LLL ??? ???寫(xiě)成矢量形式為 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) }]{[}{ ?OO IL ?寫(xiě)成矩陣的形式為 ???????????????????????????????????????????zzyzyxzxzzzyyyxyxyzzxyyxxxxIIILIIILIIIL?????????321 eeeL zyxO LLL ??? ???式中 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) }]{[}{ ?OO IL ?式中 TzyxTzyxO}{}{}{}{????????????LLLL????????????????????????????????zzyzxzyyyxzxyxxOIIIIIIIIII ][剛體的慣性矩陣 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)力學(xué)方程 設(shè)剛體繞定點(diǎn) O運(yùn)動(dòng)，連體坐標(biāo)系為 Ox?y?z?，設(shè)各坐標(biāo)軸均為 慣性主軸 ，且 Oz?為中心慣性主軸，則剛體繞定點(diǎn) O動(dòng)量矩為 ????????????????????????????????????????zyxzyxzyxIIILLL???000000根據(jù)動(dòng)量矩定理 OOt ML ?dd321 eeeL zzyyxxO III ?????? ??? ???或 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 動(dòng)量矩 LO對(duì)時(shí)間的絕對(duì)導(dǎo)數(shù) 與其在連體坐標(biāo)系中對(duì)時(shí)間的相對(duì)導(dǎo)數(shù) 之間的關(guān)系為 Ot LddOt Ldd~OOO tt LLL ??? ?dd~ddOOOt MLL ??? ?dd~代入動(dòng)量矩定理 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 寫(xiě)成矩陣形式或方程組的形式為 ? ? ? ?OOO II M?? ?]][~[}]{[ ??}]{[}{ ?OO IL ?寫(xiě)成矩陣形式或方程組的形式為 ? ? ? ?OOO II M?? ?]][~[}]{[ ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????zyxzyxzyxxyxzyzzyxzyxMMMIIIIII????????????000000000000000即 zxyxyzzyzxzxyyxyzyzxxMIIIMIIIMIII???????????????????????????????????????)()()(或 剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程 歐拉動(dòng)力學(xué)方程 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 由此可知：（ 1）只有在選取剛體的三根慣性主軸為它的連體坐標(biāo)系時(shí)，歐拉動(dòng)力學(xué)方程才具有簡(jiǎn)單的形式；（ 2）力矩 Mx?、 My?和 Mz?是 歐拉角 ?、 ? 和 ?角速度 ?x? 、 ?y? 和 ?z? 的函數(shù)。 三種情形的中心慣性主軸的位置 剛體的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 剛體繞固定點(diǎn) O運(yùn)動(dòng) 。 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 由解析幾何知道，任何橢球面都有三個(gè)互相垂直的對(duì)稱(chēng)軸。即 I mL i i? ? ? 2剛體對(duì)于