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高等動力學ppt課件(參考版)

2025-05-07 18:06本頁面
  

【正文】 機械學院 剛 體 動 力 學 例:質量為 m、長為 l的均質細桿以柱鉸鏈 O與鉛垂軸相連,已知鉛垂軸以勻角速度?轉動,列出細桿的運動微分方程。 根據(jù)動量矩的定義 , 該剛體對 O點的動量矩 )]([)(1iiiiiiniO mmL rrvr ?????? ???二重矢積的性質 iiiii r rrrr )()( 2 ????? ???iiiiio mrm rrL )(2 ?? ????? 定點運動剛體的動量矩 機械學院 剛 體 動 力 學 建立一個隨 體 動 坐標系Ox?y?z?, Ox?、 Oy?、 Oz?軸上的單位矢量用: e e e3表示 , 則 321321eeeeeerzyxiiii zyx??? ?????????????iiiiio mrm rrL )(2 ?? ?????322222122])()()([])()()([])()()([ eeeLziiiyiiixiiiziiiyiiixiiiziiiyiiixiiiOyxmzymzxmzymxzmyxmzxmyxmzym???????????????????????????????????????????????????????????代入化簡得 機械學院 剛 體 動 力 學 322222122])()()([])()()([])()()([ eeeLziiiyiiixiiiziiiyiiixiiiziiiyiiixiiiOyxmzymzxmzymxzmyxmzxmyxmzym???????????????????????????????????????????????????????????)( 22 iiix zymI ?????? )(iiiyx yxmI ??????)( iiizx zxmI ??????)(22 iiiy xzmI ??????)( 22 iiiz yxmI ??????)( iiizy zymI ??????轉動慣量 慣性積 321 eeeL zyxO LLL ??? ???寫成矢量形式為 機械學院 剛 體 動 力 學 }]{[}{ ?OO IL ?寫成矩陣的形式為 ???????????????????????????????????????????zzyzyxzxzzzyyyxyxyzzxyyxxxxIIILIIILIIIL?????????321 eeeL zyxO LLL ??? ???式中 機械學院 剛 體 動 力 學 }]{[}{ ?OO IL ?式中 TzyxTzyxO}{}{}{}{????????????LLLL????????????????????????????????zzyzxzyyyxzxyxxOIIIIIIIIII ][剛體的慣性矩陣 機械學院 剛 體 動 力 學 定點運動剛體的動力學方程 設剛體繞定點 O運動,連體坐標系為 Ox?y?z?,設各坐標軸均為 慣性主軸 ,且 Oz?為中心慣性主軸,則剛體繞定點 O動量矩為 ????????????????????????????????????????zyxzyxzyxIIILLL???000000根據(jù)動量矩定理 OOt ML ?dd321 eeeL zzyyxxO III ?????? ??? ???或 機械學院 剛 體 動 力 學 動量矩 LO對時間的絕對導數(shù) 與其在連體坐標系中對時間的相對導數(shù) 之間的關系為 Ot LddOt Ldd~OOO tt LLL ??? ?dd~ddOOOt MLL ??? ?dd~代入動量矩定理 機械學院 剛 體 動 力 學 寫成矩陣形式或方程組的形式為 ? ? ? ?OOO II M?? ?]][~[}]{[ ??}]{[}{ ?OO IL ?寫成矩陣形式或方程組的形式為 ? ? ? ?OOO II M?? ?]][~[}]{[ ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????zyxzyxzyxxyxzyzzyxzyxMMMIIIIII????????????000000000000000即 zxyxyzzyzxzxyyxyzyzxxMIIIMIIIMIII???????????????????????????????????????)()()(或 剛體定點運動的動力學方程 歐拉動力學方程 機械學院 剛 體 動 力 學 由此可知:( 1)只有在選取剛體的三根慣性主軸為它的連體坐標系時,歐拉動力學方程才具有簡單的形式;( 2)力矩 Mx?、 My?和 Mz?是 歐拉角 ?、 ? 和 ?角速度 ?x? 、 ?y? 和 ?z? 的函數(shù)。 三種情形的中心慣性主軸的位置 剛體的定點運動微分方程 機械學院 剛 體 動 力 學 剛體繞固定點 O運動 。 情形二:如剛體有對稱軸 , 則此對稱軸就是中心慣量主軸 。如果已知剛體對于中心慣量主軸的轉動慣量,剛體對于任意軸的轉動慣量就不難求出了。此時,慣量橢球方程簡化為 I x I y I zx y z1 1 112 12 12 1? ? ?x y z1三個軸稱為剛體在 O點的慣量主軸。 機械學院 剛 體 動 力 學 由解析幾何知道,任何橢球面都有三個互相垂直的對稱軸。此橢球面稱為剛體對于 O點的 慣量橢球 。 ( 2)剛體對兩個共原點坐標系的慣性矩陣間的關系 xyzTCC CrRMICI ]) } []~[]~([]] { [[][ 12222121 ??? 機械學院 剛 體 動 力 學 設坐標系 O1x1 y1 z1和 O2x2 y2 z2是某剛體上的任意兩個坐標系及以質心 C為原點的坐標系 Cxyz,且使軸 O1x?、 O1y?、O1z?與軸 O2x O2y O2z2和軸Cx、 Cy、 Cz指向相同 ]~[ Cr ]~[ CR COCO 12 和和 分別表示有線段 在坐標系 O2x2 y2 z2中的坐標方陣 ( 3)剛體對 任意兩個坐標系的慣性矩陣間 的關系 CrCRCr 機械學院 剛 體 動 力 學 I x I y I z I xy I yz I zxx y z xy yz zx2 2 2 2 2 2 1? ? ? ? ? ?K點的軌跡方程 在 L軸上取一點 K,令 OK= 1/ IL K點的軌跡方程為 慣量橢球和慣量主軸 這是一個二次齊次方程。則剛體在坐標系 Cxyz和坐標系 Ox?y?z?的慣性矩陣間的關系為 剛體在不同坐標系下的慣性矩陣間的關系 ( 1)相對質心坐標系和非質心坐標系慣性矩陣間的關系 TCICI ][]][[][ 122121 ? 這就是剛體對兩個共原點坐標系的慣性矩陣間的關系式,此式稱為 轉軸公式 機械學院 剛 體 動 力 學 設坐標系 Ox1y1z1和 Ox2 y2 z2是某剛體的兩套共原點連體坐標系。即 I mL i i? ? ? 2剛體對于 OL軸的轉動慣量 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?i i i i i i ii i i i i iy z z x x yy z z x x y2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2? ? ? ? ? ?? ? ?c o s c o s c o sc o s c o s c o s c o s c o s c o s 機械學院 剛 體 動 力 學 ? i i iOM OP2 2 2? ?OM x y zi i i i2 2 2 2? ? ???? co sco sco s iiii zyxOP ???在三角形△ OMiPi中 其中 線段 OPi是矢徑在 OL軸上的投影 ? ? ? ?? ?iiiiiiiiiiiiiiiiiiLyxmxzmzymyxmxzmzymI????????????????????????co sco s2co sco s2 co sco s2co s co sco s222222222這就是轉動慣量的轉軸公式 iiiyziiizxiiixy zymIxzmIyxmI ?????? I I I I II IL x y z yzzx xy? ? ? ?? ?c o s c o s c o s c o s c o sc o s c o s c o s c o s2 2 2 22 2? ? ? ? ?? ? ? ?令 機械學院 剛 體 動 力 學 寫成矩陣形式: ? ?II I II I II I ILx xy xzyx y yzzx zy z?? ?? ?? ???????????????????????????c o s c o s c o sc o sc o sc o s? ? ???? 機械學院 剛 體 動 力 學 ? ??????????????????zzyzxyzyyxxzxyxOIIIIIIIIII 稱為剛體對直角坐標系的慣性矩陣, 或稱為剛體對點 O的慣性矩陣。在講述這些內容時,需用到轉動慣量這一概念。 本章的重點: 剛體繞定點轉動運動微分方程 繞質心轉動運動微分方程 機械學院 剛 體 動 力 學 剛體動力學是研究剛體的運動和作用在剛體上的力之間關系的。 本章將論述定點轉動和一般運動剛體的動力學問題。動點 M在動坐標系中的運動方程為 )(),(),( 321 tfztfytfx ??????M點的相對速度和相對加速
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