高等動(dòng)力學(xué)ppt課件(參考版)
2025-01-23 00:54本頁(yè)面
【正文】 ( )( ) 。 ( )( ) 。 ( )( ) 。 ( )( ) 。 ( 0 )xyxv???? ? ???2 2 21 ()2T m x y J ?? ? ?約束方程： c os si nyx???動(dòng)能： 10l jk kkBq????1d 0dsk j jkkk jTTQBt q q ??????? ? ? ??????? ?c os si n 0yx?? ????111si nc os0xyBBB ???????s i n 0cos 00mxmy??????????方程的物理意義！ 第一類(lèi)拉氏方程 （ 例 ） 2022年 2月 17日 Page 33 設(shè)一質(zhì)點(diǎn)在固定曲面上運(yùn)動(dòng)，約束方程為： 1 2 3( , , ) 0f x x x ?則第一類(lèi)拉氏方程為： ( ) 0 ( 1 , 2 , 3 )i i iifF m x ix??? ? ? ??或： ( ) ( 1 , 2 , 3 )i i iifm x F ix??? ? ??而牛頓第二定律： ( 1 , 2 , 3 )i i i im x F N i? ? ?故： ( ) ( 1 , 2 , 3 )iif Nix?? ???乘子正比于約束力。 ( 0 ) 0 。 方程是否可解？ 此時(shí)，系統(tǒng)的變量除各廣義坐標(biāo)外，還包括待定乘子，需補(bǔ)充約束方程聯(lián)立求解。 對(duì)于一階線性非完整約束 ： 3110 ( 1 , 2 , )lN iji kki kgA q j sq ???? ?????第一類(lèi)拉氏方程 2022年 2月 17日 Page 28 將虛位移形式的約束方程改寫(xiě)為： 3110 ( 1 , 2 , ) 。 顯運(yùn)動(dòng)：框架的轉(zhuǎn)動(dòng)。 用勞斯函數(shù)表示的拉氏方程 2022年 2月 17日 Page 21 系統(tǒng)的循環(huán)積分： ( c o s )ABL m x m x l Cx ??? ? ? ? ??可解出： 1 ( c o s )BABx C m lmm ?????mjjjR L C q?? ?2 2 2 211 ( 2 co s ) co s22 A B BL m x m x l l x m g l? ? ? ?? ? ? ? ?2 2 21( s in ) c o s2 ( )BA B BABmL l m m m g l Cmm ? ? ?? ? ? ??進(jìn)一步解出勞斯函數(shù) R，代入方程 ： d 0d iiRRt q q????????????22( s in ) c o s s in ( ) s in 0A B B A B gm m m m m l? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?例 5：勞斯函數(shù) 橢圓擺 2022年 2月 17日 Page 22 ?陀螺儀 : 轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為 A、 A、 C。i i i iL R L Rq q q q? ? ? ???? ? ? ?故有對(duì)應(yīng)于 lm個(gè)非循環(huán)坐標(biāo)的拉氏方程： d 0 , 1 , 2 , ,d iiRR i m m lt q q???? ? ? ? ? ???????當(dāng)系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)有循環(huán)坐標(biāo)時(shí)，借助于循環(huán)坐標(biāo)，產(chǎn)生了一個(gè)用 Routh函數(shù)描述的新系統(tǒng)，稱(chēng)之為“ 導(dǎo)出系統(tǒng) ”。 2 2 2 21 1 222121 1 1 12 2 2 231222 [ ( ) ] ( )()rrxrT m x m r m x xm x m x x? ? ? ? ? ? ?? ? ?212 rV k x?2 2 2123 1 12 2 2() rrL m x m x x k x? ? ? ?廣義能量積分為 2 2 22 0 1 23 1 12 2 2() rrT T V m x m x x k x E?? ? ? ? ? ?循環(huán)積分為 123 ( )rT m x m x x Cx? ? ? ? ??討論：廣義動(dòng)量守恒 ， 但動(dòng)量不守恒 。 試分析拉格朗日方程的首次積分 。 例 2 2022年 2月 17日 Page 14 取 ?為廣義坐標(biāo) 2 2 2 2 2 211 ( s i n )22T J m R R? ? ? ?? ? ?2 2 2 2 22022 ( s i n )22T m R T J m R? ? ?? ? ?，c o sV m g R ???2 2 2 2 211 ( s i n ) co s22L m R J m R m g R? ? ? ?? ? ? ?2 2 2 2 220 11 ( si n ) c o s22T T V m R J m R m g R E? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?例 2 2022年 2月 17日 Page 15 2 2 2 2 211( sin ) c o s22L J m R m R m g R? ? ? ?? ? ? ?1. 勻速轉(zhuǎn)動(dòng)約束為理想約束 2. 廣義能量守恒，但機(jī)械能不守恒 3. 無(wú)外力矩作用情況 系統(tǒng)動(dòng)量矩守恒 a) ?為循環(huán)坐標(biāo)，存在循環(huán)積分 22si nL J m R C? ? ??? ? ? ? ??b) L不顯含 t，存在能量積分 (系統(tǒng)能量守恒 ) 2 2 2 2 211( sin ) c o s22J m R m R m g R E? ? ? ?? ? ? ?例 2 2022年 2月 17日 Page 16 小車(chē)的車(chē)輪在水平地面上作純滾動(dòng) ， 每個(gè)輪子的質(zhì)量為 m1，半徑為 r， 車(chē)架質(zhì)量不計(jì) 。 已知圓環(huán)對(duì) y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 J， 忽略摩擦力 。 l l li i ij j ii i jQ q g q q??? ????? ? ?0ji ijgg??如果廣義力是廣義速度的線性函數(shù)時(shí)，不作功的力必為陀螺力。2022年 2月 17日 Page 1 高等動(dòng)力學(xué) ? 第二類(lèi)拉氏方程的古典研究 北京信息科技大學(xué) 戈新生（ ） 2022年 2月 17日 Page 2 問(wèn)題 1： T是否僅為廣義速度的平方 ？ d ,dLL Q L T Vt q q???? ? ? ? ???????問(wèn)題 2：為什么 L＝ T－ V？ 問(wèn)題 3：系統(tǒng)是否有守恒量 ， 是哪些 ？ d ,dTT Qt q q????????????內(nèi)容 1：陀螺力 、 耗散力 內(nèi)容 2：第一積分 本節(jié)內(nèi)容 2022年 2月 17日 Page 3 222 1 ()2T m x y?? mxmy???1 ()T m xy yx???22ddTTt q q???? ???????11ddTTt q q???? ???????22mymx??????2 2 20 1 ()2T m x y??? 00ddTTt q q???? ???????22mxmy???????220200 000 20m x m xmymxm yy m? ????? ? ? ???????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ?陀螺力 陀螺力
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