高等動(dòng)力學(xué)ppt課件-展示頁(yè)
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【正文】 qL L L L Cq q q q q q??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ???即： ()m jjii jL L C qqq?????? ?()m jjii jL L C qqq?????? ?mjjjR L C q?? ?勞斯函數(shù) 勞斯函數(shù) 2022年 2月 17日 Page 20 勞斯函數(shù)與拉格朗日函數(shù)之間有如下關(guān)系： 。 導(dǎo)出系統(tǒng)仍然是拉格朗日系統(tǒng)。 隱運(yùn)動(dòng)：轉(zhuǎn)子的自轉(zhuǎn)。 例 6：勞斯函數(shù) 陀螺儀 2022年 2月 17日 Page 23 系統(tǒng)的動(dòng)能： 2 2 2 211( si n ) ( c o s )22T A C? ? ? ? ? ?? ? ? ?動(dòng)能中不顯含 ?，故 ?是循環(huán)坐標(biāo)，有循環(huán)積分： ( c o s )LP C C H? ? ? ? ???? ? ? ? ???為轉(zhuǎn)子角速度在其自轉(zhuǎn)軸的投影 mjjjR L C q?? ?勞斯函數(shù)： 2 2 2 211( sin )22L A C? ? ? ?? ? ?例 6：勞斯函數(shù) 陀螺儀 ?2022年 2月 17日 Page 24 mjjjR L C q?? ?勞斯函數(shù)： 2 2 2 211( sin )22L A C? ? ? ?? ? ?( c os )mjjjC q C ? ? ? ????2 2 2 211( sin ) c o s22R A C C? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?代入勞斯方程，得： 22s i n c os s i n( s i n ) s i nA A H MdA H Mdt??? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ???例 6：勞斯函數(shù) 陀螺儀 ?2022年 2月 17日 Page 25 高等動(dòng)力學(xué) ? 第一類拉氏方程 北京信息科技大學(xué) 戈新生（ ） 2022年 2月 17日 Page 26 問(wèn)題 1：如何確定系統(tǒng)的廣義坐標(biāo) ？ 問(wèn)題 2：如何計(jì)算約束反力 ？ 問(wèn)題 3：非完整系統(tǒng) ？ 內(nèi)容 1：第一類拉氏方程 內(nèi)容 2：拉氏乘子的物理意義 內(nèi)容 3：例 本節(jié)內(nèi)容 2022年 2月 17日 Page 27 ? ?*10l k k kkQ Q q?????達(dá)朗貝爾原理－拉格朗日原理 ： * ddk kkTTQt q q????? ? ???????1d 0dlkkkkkTTQqt q q ????????? ? ????????????廣義慣性力 ： 廣義坐標(biāo)形式的 達(dá)朗貝爾原理－拉格朗日原理 ： 310 ( 1 , 2 , )N j i iiA x j r s??? ? ??對(duì)于完整約束 ， ?qk獨(dú)立可導(dǎo)出第二類拉氏方程 。lN ij k k j k j iki kgB q j s B Aq????? ? ????引入 s個(gè)待定乘子，乘以約束方程后求和： 11d 0dlsk j j k kkkkjTTQ B qt q q ??????????? ? ? ?????????????110slj j k kjkBq???????110ls j jk kkjBq?????? ???????代入廣義坐標(biāo)形式的 達(dá)朗貝爾原理－拉格朗日原理 ： 10 ?ddsk j jkkk jTTQBt q q ??????? ? ? ??????? ?第一類拉氏方程 2022年 2月 17日 Page 29 系統(tǒng)具有 ls個(gè)獨(dú)立的廣義坐標(biāo)，設(shè)為 q1? qls: 1111d0dd0dlsk j jk kkkl s sk j jk kkkkjk l s jTTTQ B qt q qTQ B qt q q????? ? ? ????????????????? ? ? ?? ? ? ?????????????????????????1d 0 ( 1 , )dsk j jkkk jTTQ B k l st q q ??????? ? ? ? ? ??????? ?對(duì)于前 ls個(gè)獨(dú)立的廣義坐標(biāo)，有 : 第一類拉氏方程 2022年 2月 17日 Page 30 對(duì)于其余 s個(gè)非獨(dú)立的廣義坐標(biāo)， 可以選取合適的 待定 乘子，可得 : 1d 0 ( 1 , )dsk j jkkk jTTQ B k l s lt q q ??????? ? ? ? ? ? ??????? ?綜合上述兩式，可以得到 l個(gè)動(dòng)力學(xué)方程 : 1d 0 ( 1 , )dsk j jkkk jTTQ B k lt q q ??????? ? ? ? ??????? ?其中的待定乘子稱為 拉格朗日乘子 。這類方程也稱為 “ 微分 /代數(shù)混合方程組 ” 第一類拉氏方程 2022年 2月 17日 Page 31 jkB拉氏乘子的個(gè)數(shù)： 1d 0 ( 1 , )dskjkk jjkTTQ k lt q q B??????? ? ? ? ??????? ?約束方程的個(gè)數(shù) 虛位移約束方程的系數(shù) j對(duì)應(yīng)于第 j個(gè)約束方程， k對(duì)應(yīng)于第 k個(gè)廣義坐標(biāo) 對(duì)于 r個(gè)完整約束： 10 ( 1 , 2 , )l jk kkB q j s?????jjkkfBq???12( , , ) 0jlf q q q ?對(duì)于 s個(gè)非完整約束： 10l jk kkBq???第一類拉氏方程 2022年 2月 17日 Page 32 O x y v ? C 冰刀： 初始條件： 0( 0 ) 0 。 ( 0 ) 0( 0 ) 。 拉氏乘子的物理意義 2022年 2月 17日 Page 34 設(shè)在由 N個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)上作用有 r個(gè)完整約束和 s個(gè)非完整約束，將這些約束統(tǒng)一寫(xiě)成虛位移形式： 310 ( 1 , 2 , )N j i iiA x j r s??? ? ??定理 ：對(duì)于上述系統(tǒng)，約束是理想的充要條件為：系統(tǒng)的約束力可以表示為： 1( 1 , 2 , 3 )rsi j jijR A i N??????證明 ：充分性： 31NiiiW R x???? ? 311()N r s j j i iijAx?????? ?? 311()r s Nj j i ijiAx?????? ??0?拉氏乘子的物理意義 2022年 2月 17日 Page 35 必要性： 310 ( 1 , 2 , )N ji iiA x j r s??? ? ??310N iiiW R x??????331 1 10N r s Ni i j ji ii j iR x A x? ? ??? ? ??? ? ?－311( ) 0N r si j j i iijR A x??????? ??????
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