【正文】 進(jìn)，也可將“單調(diào)區(qū)間”啃出來.【解答】 設(shè)x1x2，f (x1)f (x2)= .【插語】 x1，x2都在根號(hào)底下，將“分子有理化”.【續(xù)解】 [KF（S]3[]12x1[KF)][KF(S]3[]12x2[KF)]=易知=△0.故有原式=0.故f (x)= 的增區(qū)間為（∞,+∞).【點(diǎn)評(píng)】 耗子開門是一個(gè)“以小克大，以弱克強(qiáng)”的策略.，可靠，只要有“啃”的精神，則可以透過形式上的繁雜看到思維上的清晰和簡捷.【例2】 .（Ⅰ）求ξ的分布列； （Ⅱ）求ξ的數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）求“所選3人中女生人數(shù)ξ≤1”的概率.【思考】 本題設(shè)問簡單，方向明確，無須反推倒算，只要像耗子開門，牙啃立功就是了.【解答】 （Ⅰ）6人中任選3人，其中女生可以是0個(gè)，1個(gè)或2個(gè)，P（ξ=0）=。P(ξ=1)=；P (ξ=2)=，故ξ的分布列是：ξ012P（Ⅱ）ξ的數(shù)學(xué)期望是：Eξ=0+1+2=1.(Ⅲ)由（Ⅰ），所選3人中女生人數(shù)ξ≤1的概率是：P（ξ≤1）=P (ξ=0)+P(=1)=.【例3】 （04上海，20文）如圖，直線y=x與拋物線y=x2 4交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與直線y= 5交于點(diǎn)Q.(1)求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（2）當(dāng)P為拋物線上位于AB下方（含點(diǎn)A、B）的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，求△OPQ的面積的最大值.【思考】 同例1一樣，本題設(shè)問明確， 例3題圖思路并不復(fù)雜，只須按所設(shè)條件逐一完成就是，只是要嚴(yán)防計(jì)算失誤.【解答】 （1）由設(shè)AB中點(diǎn)為M（x0，y0），則x0 =，y0=x0=1.故有M（2，1），又AB⊥MQ，∴MQ的方程是：y1=2(x2)，令y=5，得x=5，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(5,5).(2)由（1）知|OQ|=5為定值.設(shè)P(x，x22)為拋物線上上一點(diǎn)，由（1）知x24x32≤0，得x∈［4,8］，又直線OQ的方程為：x+y=0，點(diǎn)P到直線OQ的距離：d=，顯然d≠0，(否則△POQ不存在)，即x≠44，為使△POQ面積最大只須d最大，當(dāng)x=8時(shí)，dmax =6.∴(S△POQ)max =|OQ|dmax=56=30.【例4】 O為銳角△ABC的外心，若S△BOC，S△COA，S△AOB成等差數(shù)列，求tanAtanC的值.【解答】 如圖，有：S△BOC+S△AOB=2S△COA.不妨設(shè)△ABC外接圓半徑為1，令∠BOC=α=2A,∠AOC=β=2B，∠AOB=r=2C，則有：sinα+sinγ=sinβ，即sin2A+sin2C=2sin2B.2sin(A+C)cos (AC)= 4sinBcosB. 例4題解圖∵sin(A+C)=sinB≠0,cosB= cos(A+C).∴cos (AC)+2cos (A+C)=0,cosAcosC +sinAsinC +2(cosA+cosC – sinAsinC )=0.3cosAcosC=sinAsinC，故tanAtanC=3.【點(diǎn)評(píng)】 本例中的“門”不少，其中“同圓半徑相等”是“門”，由此將面積關(guān)系轉(zhuǎn)換成有關(guān)角的關(guān)系；以下通過圓心角與圓周角的轉(zhuǎn)換，和差化積與倍角公式，誘導(dǎo)公式、和角公式、同角三角函數(shù)關(guān)系等依次轉(zhuǎn)換，這便是一連串的“門”，逐一啃來，從而最終達(dá)到解題目的.●對(duì)應(yīng)訓(xùn)練—A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，點(diǎn)P在棱CC1上，且CC1= 4CP.(Ⅰ)求直線AP與平面BCC1B1所成的角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；（Ⅱ）設(shè)O點(diǎn)在平面D1AP上的射影是H，求證：D1H⊥AP；（Ⅲ）求點(diǎn)P到平面ABD1的距離. 第1題圖： (n∈N+).∈，f (x)=，求f (x)的最大值與最小值.，y，z∈R+，且x+y+z=1，求函數(shù)u=的最小值.●參考答案，有：A(4,0,0)，P(0,4,1)，B(4,4,0)，B1(4,4,4)，D1(0,0,4).(Ⅰ)連BP，∵AB⊥平面BCC1B1.∴AB⊥BP，∠APB是直線AP與平面BB1C1C的夾角，∵=∴tan∠APB=.∴AP與平面BB1C1C所成角為arctan.(Ⅱ)連D1B1，則O∈DB1.∵=（4,4,0)，=（4,4,1）,∴=16+16+0=0.即⊥，也就是⊥. 第1題解圖已知OH⊥面AD1P，∴AP⊥D1O(三垂線定理)（Ⅲ）在DD1上取||=1，有Q(0,0,1)，作QR⊥AD1于R，∵RQ∥AB，∴PQ∥面ABD1，∵AB⊥面AA1D1D，∴AB⊥QR，則QR⊥面ABD1，QR之長是Q到平面ABD1的距離，∵S△ADQ =||||=]||||.即：4||= 43，∴||=.已證PQ∥ABD1，∴點(diǎn)P到平面ABP1的距離為.點(diǎn)評(píng)：雖是“綜合法”證題，但也并非“巷子里趕豬，直來直去”，特別（Ⅱ）,(Ⅲ)兩問，本解都用到了若干轉(zhuǎn)換手法.右式===.∴成立，從而1+ (x)化為同一個(gè)角的單一三角函數(shù)，得f (x)= sin+.當(dāng)x∈時(shí),2x，故f (x)為，上的減函數(shù),當(dāng)x=時(shí),［f(x)］min =，當(dāng)x=時(shí),［f (x)］max =.，同理：，∴u≥=8.第12計(jì) 小刀開門 切口啟封●計(jì)名釋義西餐宴上，擺著漂亮的什錦比薩. 眾人雖然都在稱好，但沒有一人動(dòng)手. 原來這東西罩在一個(gè)透明的“玻璃盒”里，不知從哪兒打開，大家只好故作謙讓，互相叫“請”.一小孩不顧禮節(jié)，拿著餐刀往“盒”上直戳，七戳，八戳，戳到了“玻璃盒”的花紋處，此時(shí)盒子竟像蓮花一樣自動(dòng)地啟開了. 大家驚喜，夸這孩子有見識(shí). 其實(shí)，這孩子的成功在他的“敢于一試”，在試試中碰到了盒子的入口.數(shù)學(xué)解題何嘗沒遇上這種情境？我們有時(shí)苦心焦慮地尋找破題的入口，其實(shí)，自己此時(shí)正站在入題的大門口前，只是不敢動(dòng)手一試.●典例示范【例1】 已知5sinβ=sin(2α+β)，求證：【分析】 題型是條件等式的證明，正宗解法（大刀開門），？比如說“拋開函數(shù)看常數(shù)”，我們找到了這個(gè)數(shù)，試一試，就打的主意！【解答】 化條件為考察結(jié)論的右式與的數(shù)量關(guān)系知，那么由合分比定理能使問題獲得解決，即而左端分子、分母分別進(jìn)行和差化積即為于是等式成立.【點(diǎn)評(píng)】 這才是真正的“小刀開門”，首先考慮了常數(shù)，而常數(shù)在函數(shù)面前自然是“小玩意”；首先考慮比例變換，比例變換在三角變換的面前也是“小玩意”！數(shù)學(xué)解題時(shí)，在“入口對(duì)號(hào)”的情況下，小刀比大刀更管用.【例2】 設(shè)m為正整數(shù), 方程mx2+2(2m1)x+4m7=0(x為未知量)至少有一個(gè)整數(shù)根, 求m的值.【分析】 若根據(jù)求根公式得到x=, (m是一個(gè)待求的常量)與變量x相互轉(zhuǎn)化,則解決此問題就簡單了.【解答】 原方程可化為(x2+4x+4)m=2x+7,即m=,【插語】 m是本題的破題小刀，因?yàn)樗o方程中m的最高次數(shù)是1，使得問題簡化了.【續(xù)解】 由于x為整數(shù)且m為正整數(shù), 則x≠2且≥1,得3≤x≤1,于是x=3, 1, 0, 1, 代入原方程求出符合條件的m值為1或5,即m=1或m=5時(shí),原方程至少有一個(gè)整數(shù)根.【點(diǎn)評(píng)】 有些數(shù)學(xué)問題中的常量具有特殊性,常常暗示著某種巧妙的解題思路,如能充分挖掘,巧妙轉(zhuǎn)化,便可以將問題輕松解決.【例3】 設(shè)函數(shù)f (x)=x2+x+a(a∈R*)滿足f (n)0, 試判斷f (n+1)的符號(hào).【分析】 這道題看似代數(shù)題，但如果打開幾何的大門，就可以找到條件與結(jié)論的聯(lián)系，思路才會(huì)應(yīng)運(yùn)而生.【解答】 因?yàn)閒 (n)0，所以函數(shù)f (x)=x2+x+a的圖像與與x軸有2個(gè)相異交點(diǎn)，如圖所示，設(shè)橫坐標(biāo)為xx2且x1x2，方程x2+x+a=0有2個(gè)不等的實(shí)根xx2，則所以1x1nx20, 從而n+10, 例3題圖于是f (n+1)=(n+1)2 +(n+1)+a0(a0).【點(diǎn)評(píng)】 利用數(shù)形結(jié)合,數(shù)形結(jié)合是構(gòu)建解題思路的重要立足點(diǎn)，靈活運(yùn)用常使解題化難為易，化繁為簡.【例4】 過拋物線y2=2px的頂點(diǎn)O作2條互相垂直的弦OA、OB，求證：直線AB過定點(diǎn).【解答】 因?yàn)镺A⊥OB，所以O(shè)A與OB的斜率成負(fù)倒數(shù)關(guān)系.設(shè)OA的斜率為k，將OA的方程：y=kx代入拋物線y2=2px中，求得A點(diǎn)坐標(biāo)為,將OB方程代入拋物線方程求B點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，以置換A點(diǎn)坐標(biāo)中的k, 即得B點(diǎn)坐標(biāo)為(2pk2, 2pk).因而lAB：y=故直線AB過定點(diǎn)(2p, 0).容易驗(yàn)證，斜率k=177。1時(shí)，結(jié)論也成立.【點(diǎn)評(píng)】 找尋對(duì)等關(guān)系,挖掘命題中元素之間的對(duì)等關(guān)系，常能找到簡潔的解題思路.【例5】 已知x、y、z∈R, x+y+z=1，求證:x2+y2+z2≥【解答】 =, 則α+β+γ=0, 所以x2+y2+z2=(當(dāng)且僅當(dāng)α=β=γ=0，即x=y=z=時(shí)“=”成立).【點(diǎn)評(píng)】 運(yùn)用等價(jià)代換,運(yùn)用等價(jià)代換作切入點(diǎn)探究解題思路，是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要技能.●對(duì)應(yīng)訓(xùn)練，橢圓內(nèi)有一定點(diǎn)A(2,), F是橢圓的右焦點(diǎn)，試求|MA|+2|MF|的最小值，并求這時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo). (x)=ax, 其中a0. 求a的取值范圍，使函數(shù)f (x)在區(qū)間［0,+∞)上是單調(diào)函數(shù).，已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|,點(diǎn)E分有向線段所成的比為λ，雙曲線過C,D,E三點(diǎn)，且以A，B為，求雙曲線離心率e的取值范圍. 第3題圖、b0,并且a+b=1,求證：5．如圖所示，三棱柱ABC—A1B1C1中，側(cè)面ABB1A1的面積為S，側(cè)棱CC1到此面的距離為a，求這個(gè)三棱柱的體積. 第5題圖●參考答案1．解析 挖掘隱含條件的數(shù)量關(guān)系即可與結(jié)論中線段|MF|的系數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，作MB垂直于右準(zhǔn)線l，垂足為B，即|MB|=2|MF|, 所以|MA|+2|MF|=|MA|+|MB|. 第1題解圖易知點(diǎn)M在線段AB上時(shí)，|MA|+2|MF|取最小值8，這時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2）. 探究a的值，應(yīng)倒過來思考.設(shè)x1x2, 且xx2∈［0,+∞),f (x1) f (x2)= (x1x2)因?yàn)楠缘? 注意到x1x20, 所以只要a≥1，就有f (x1)f (x2)0. 即a≥1時(shí)，函數(shù)f (x)在區(qū)間［0,+∞)a1時(shí)，f (x)在區(qū)間［0,+∞)上不是單調(diào)函點(diǎn)評(píng) 運(yùn)用逆向思維,當(dāng)直接由條件探究結(jié)果難以湊效時(shí)，那就反過來，由果索因，這是建立解題思路的一個(gè)重要策略. 很多學(xué)生對(duì)本題無從下手，然而注意題中圖案給予的啟示，解題思路的就赫然可見了.事實(shí)上，由圖形的對(duì)稱性，可設(shè)直線AB為x軸，AB得中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy.注意到|AB|=2|CD|，設(shè)OC=依題意記A(c,0)，C, E(x0, y0).由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得設(shè)雙曲線方程為將點(diǎn)C，E坐標(biāo)代入方程，得 ① ②將①代入②且用e代入，得e2=又由題設(shè)可知e2∈［7, 10］， 所以離心率e的范圍是點(diǎn)評(píng) 挖掘題圖信息,從題中圖案的啟示切入，往往易得解題靈感. 容易估計(jì)a=b=時(shí)等號(hào)成立. 由此可以獲得巧妙的證法.構(gòu)造同理兩式相乘注意到ab≤所以≥4, 故(a+)(b+)≥(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)取“=”號(hào)).從等號(hào)成立的條件切入是獨(dú)具匠心的思考方法.點(diǎn)評(píng) 啟用特例聯(lián)想,從數(shù)學(xué)命題成立的特殊情形入手，?？烧业角擅畹慕忸}思路. 將這個(gè)三棱柱補(bǔ)成如圖所示的平行六面體，—A1B1C1與三棱柱ACD——A1B1C1的體積等于用這種方法求解一些幾何問題，效果十分明顯.點(diǎn)評(píng) 看清分分合合,通過分割或整合，將數(shù)學(xué)問題化為熟悉的結(jié)論或易于解決的形式，也是建立解題思路的重要途徑.第13計(jì) 鑰匙開門 各歸各用●計(jì)名釋義開門的鑰匙應(yīng)有“個(gè)性”，如果你的鑰匙有“通性”，則將把所有的鄰居嚇跑.所有的知識(shí)具有個(gè)性，一切犯有“相混癥”的人，都因沒有把握知識(shí)的個(gè)性.數(shù)學(xué)知識(shí)的根基是數(shù)學(xué)定義，它的個(gè)性在于，只有它揭示了概念的本質(zhì)，介定了概念的范疇，在看似模糊的邊緣，它能判定是與非.定義本身蘊(yùn)含著方法，由“線面垂直的定義直接導(dǎo)出線面垂直的判定定理，判定定理也好，方程也好，只不過是其對(duì)應(yīng)的定義在定義之外開設(shè)的一個(gè)“代辦處”，當(dāng)你的問題本身離定義很近時(shí)，何必要跑到遙遠(yuǎn)的地方去找“代辦處”呢？由此，引出了“回歸定義”的解題之說.●典例示范【例1】 FF2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，|F1F2|=2c, 橢圓上的點(diǎn)P（x, y)到F1（c, 0), F2 (c, 0)的距離之和為2a. 求證：|PF1|=|P