【正文】 ||.即：4上海，20文）如圖，直線y=x與拋物線y=x2 4交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與直線y= 5交于點(diǎn)Q.(1)求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（2）當(dāng)P為拋物線上位于AB下方（含點(diǎn)A、B）的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，求△OPQ的面積的最大值.【思考】 同例1一樣，本題設(shè)問(wèn)明確， 例3題圖思路并不復(fù)雜，只須按所設(shè)條件逐一完成就是，只是要嚴(yán)防計(jì)算失誤.【解答】 （1）由設(shè)AB中點(diǎn)為M（x0，y0），則x0 =，y0=x0=1.故有M（2，1），又AB⊥MQ，∴MQ的方程是：y1=2(x2)，令y=5，得x=5，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(5,5).(2)由（1）知|OQ|=5為定值.設(shè)P(x，x22)為拋物線上上一點(diǎn)，由（1）知x24x32≤0，得x∈［4,8］，又直線OQ的方程為：x+y=0，點(diǎn)P到直線OQ的距離：d=，顯然d≠0，(否則△POQ不存在)，即x≠44，為使△POQ面積最大只須d最大，當(dāng)x=8時(shí)，dmax =6.∴(S△POQ)max =g(x)的大致圖像為（ ） 第3題圖（1） 第3題圖（2） ●參考答案1.B 取特殊的對(duì)稱點(diǎn). ∵f (0)=1, ∴(0,1)在f (x)的圖像上，（1，0）在f (x)的圖像上，將（1，0）代入各選項(xiàng)，僅B適合， ∴選B.點(diǎn)評(píng) 題干和選項(xiàng)都那么復(fù)雜，（0，1）.就能找出（1，0），解題就需要這種悟性，說(shuō)到底，還是能力.2.D 取特殊值. 令c=0, 否定A；B、C都不能倒推，條件不必要.3.B 取特殊的區(qū)間. 由圖像知f (x)為偶函數(shù)（圖（1）中圖像關(guān)于y軸對(duì)稱），g(x)為奇函數(shù)（圖（2）中圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）. ∴y= f (x)湖南卷12題,是小題中的壓軸題，顯然，不懂得導(dǎo)數(shù)基本知識(shí)對(duì)待本例是無(wú)能為力的，高中 代數(shù)在導(dǎo)數(shù)中得到升華，導(dǎo)數(shù)也是初數(shù)的“極地”.本題還構(gòu)造了圖形，使問(wèn)題更有說(shuō)服力.●對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 ( ){an}和{bn}的極限都不存在，則{an+bn}的極值一定不存在{an}和{bn}的極限都存在，則{an+bn}的極限一定存在{an+bn}的極限不存在，則{an}和{bn}的極限都一定不存在{an+bn}的極限存在，則{an}和{bn}的極限要么都存在，要么都不存在 (1,0)且斜率為k的直線與圓x2+4x+y25=0在第一象限內(nèi)的部分有交點(diǎn)，則k的取值范圍是 （ ）k k0 k k5(12x )9展開(kāi)式的第3項(xiàng)為288，則的值是 ( ) C. D.●參考答案 (正反推證）若{an+bn}:1,1,1,1,…的極限存在而推出{an}:0,1,0,1,0,1…,{bn}:1,0,1,0,1,0…,極限都不存在，但若{an}:1,1,1,1…,{bn}:0,0,0,0…,極限又都存在，故D正確，同理可排除A、B、C. （數(shù)形并用）如圖，以C (2,0)為圓心，r=3為半徑的⊙C交x、y正半軸于A（1,0）,B (0,), 而M (1, 0)在⊙C內(nèi)部，當(dāng)N∈時(shí)，顯然，kMNkMA=0。f(x)0的解集為{x|0x3或3x0},故選D.解析三 借助圖（1）或圖（2）,取特殊值x=2,知適合不等式x(cosα,sinα)= cosα+sinα= sin(60176。時(shí)，（S⊙H）min=4πp2,相應(yīng)的直線AB的方程為：x=2p.別解：由（1）知恒有∠AOB=90176。②A,B兩點(diǎn)都在橢圓內(nèi).若借用補(bǔ)集思想則避免了分情況討論,使計(jì)算簡(jiǎn)潔.設(shè)a的允許值的集合為全集I={a|a∈R,a0},先求橢圓和線段AB有公共點(diǎn)時(shí)的取值范圍.易得線段AB的方程為y=x+1,x∈［1,3］,由方程組,x∈［1,3］,a2的值在［1,3］內(nèi)遞增,且x=1和x=3時(shí)分別得a2=或a2=,故≤a2≤.∵a0,∴≤a≤.故當(dāng)橢圓與線段AB無(wú)公共點(diǎn)時(shí),a的取值范圍為0a或a.第4計(jì) 關(guān)羽開(kāi)門(mén) 刀舉成功●計(jì)名釋義關(guān)羽不同于諸葛. 諸葛是智星，靠著扇子；關(guān)羽是武士，用的大刀. “過(guò)關(guān)斬將”用這大刀，“水淹七軍”用這大刀. 數(shù)學(xué)上的“分析”、“分解”、“分割”等，講的都是刀工. 關(guān)羽的“切瓜分片”是什么意思？切者，七刀也，分者，八刀也！再難的數(shù)學(xué)題，經(jīng)過(guò)這七刀、八刀，最后不就粉碎了嗎！●典例示范［例1］ 如圖，在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，E、P分別是BC、A1D1的中點(diǎn)，M、N分別是AE、CD1的中點(diǎn)，AD=AA1=a，AB=2a.（Ⅰ）求證：MN∥面ADD1A1；（Ⅱ）求二面角P—AE—D的大?。唬á螅┣笕忮FP—DEN的體積.［分析］ 這是個(gè)長(zhǎng)方體，而“長(zhǎng)”正好是“寬”和“高”的2倍，這正是“關(guān)羽開(kāi)門(mén)”的對(duì)象：用刀從中一劈，則分成2個(gè)相等的正方體. 對(duì)于正方體，我們?cè)摱嗝词煜ぐ。∮嘘P(guān)線段的長(zhǎng)度，各線段間的位置關(guān)系，我們都了如指掌.［解Ⅰ］ 取D1C1的中點(diǎn)Q ，過(guò)Q和MN作平面QRST. 顯然，M、N都在這平面里.易知QN和SM都平行于平面BCC1B1MN∥BCC1B1MN∥面ADD1A1（證畢）.［插語(yǔ)］ 其所以這么簡(jiǎn)單，是因?yàn)槲覀儗?duì)正方體熟悉. 正方體從何而來(lái)，感謝關(guān)羽的大刀之功. 以后的（Ⅱ）和（Ⅲ），都可轉(zhuǎn)化到正方體里進(jìn)行（從略）.【例2】 設(shè)p0是一常數(shù)，過(guò)點(diǎn)Q（2p，0）的直線與拋物線y2=2px交于相異兩點(diǎn)A、B，以線段AB為直徑作圓H（H為圓心）.（Ⅰ）試證：拋物線頂點(diǎn)在圓H的圓周上；（Ⅱ）并求圓H的面積最小時(shí)直線AB的方程.【分析】 （Ⅰ）AB是圓H的直徑，欲證拋物線的頂點(diǎn)在圓上，有如下各種對(duì)策：（1）證|OH|=|AB|.(2)證|OA|2+|OB|2=|AB|2（3）證∠AOB=90176。（x）≥0若f (0)= f (2) f (1)對(duì)應(yīng)選項(xiàng)C，D（右圖下拱曲線）. 則滿足條件(x1) f 162。0，則必有A. f（0）＋f（2） 2f（1） B. f（0）＋f（2）≤2 f（1）C. f（0）＋f（2）≥ 2f（1） D. f（0）＋f（2）2f（1）［分析］　用五種數(shù)學(xué)思想進(jìn)行“滾動(dòng)”，最容易找到感覺(jué)應(yīng)是③：分類討論思想.　這點(diǎn)在已條件（x1）f＇(x)≥0中暗示得極為顯目.其一，對(duì)f＇(x)有大于、等于和小于0三種情況；其二，對(duì)x1，也有大于、等于、小于0三種情況.因此，本題破門(mén)，首先想到的是劃分討論.［解一］ （i）若f＇(x) ≡ 0時(shí)，則f(x)為常數(shù)：此時(shí)選項(xiàng)B、C符合條件.（ii）若f＇(x)不恒為0時(shí). 則f＇(x)≥0時(shí)有x≥1，f（x）在上為增函數(shù)；f＇(x)≤0時(shí)x ≤1. 即f（x）在上為減函數(shù). 此時(shí)，選項(xiàng)C、D符合條件.綜合（i），（ii），本題的正確答案為C.［插語(yǔ)］ 考場(chǎng)上多見(jiàn)的錯(cuò)誤是選D. 忽略了f＇(x) ≡ 0的可能. 以為（x1）f＇(x) ≥0中等號(hào)成立的條件只是x1=0，其實(shí)x1=0與f＇(x)=0的意義是不同的：前者只涉x的一個(gè)值，即x=1，而后是對(duì)x的所有可取值，有f＇(x) ≡ 0.［再析］ 本題f（x）是種抽象函數(shù)，或者說(shuō)是滿足本題條件的一類函數(shù)的集合. 而選擇支中，又是一些具體的函數(shù)值f（0），f（1），f（2）.　因此容易使人聯(lián)想到數(shù)學(xué)⑤：一般特殊思想.［解二］ （i）若f＇(x)=0，可設(shè)f（x）=１.　選項(xiàng)Ｂ、Ｃ符合條件.（ii）f＇(x)≠0. 可設(shè)f(x) =（x1）2 又　f＇(x)=2（x1）.滿足　(x1) f＇(x) =2 (x1)2≥0，而對(duì) f (x)= (x1)2. 有f（0）= f（2）=1，f（1）=0選項(xiàng)C，D符合條件. 綜合（i），（ii）答案為C.［插語(yǔ)］ 在這類f (x)的函數(shù)中，我們找到了簡(jiǎn)單的特殊函數(shù)(x1)2. 如果在同類中找到了(x1)4 ，(x1) ，自然要麻煩些. 由此看到，特殊化就是簡(jiǎn)單化.［再析］ 本題以函數(shù)（及導(dǎo)數(shù)）為載體. 數(shù)學(xué)思想①——“函數(shù)方程（不等式）思想”. 貫穿始終，如由f 162。（x）=(x1) ，其中m，n都是正整數(shù)，且n≥m.［點(diǎn)評(píng)］ 解決抽象函數(shù)的辦法，切忌“一般解決”，只須按給定的具體性質(zhì)“就事論事”，抽象函數(shù)具體化，這是“一般特殊思想”在解題中具體應(yīng)用.［題2］ 已知實(shí)數(shù)x，y滿足等式 ，試求分式的最值。y22py4p2tanα=0.此方程有不同二實(shí)根y1y2,∴y1+y2=,y1y2=4p2.∵ =x1x2+y1y2=+y1y2=4p2=0.∴,故點(diǎn)O仍在以AB為直徑的圓上.【分析】 (Ⅱ)為使圓面積最小只須圓半徑取到最小值，為此不可避免的要給出直徑AB之長(zhǎng)的函數(shù)表達(dá)式，直觀上我們已可推測(cè)到當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，弦AB之長(zhǎng)最短(這就是論證方向)，為此又有多種途徑:(1)用直線的點(diǎn)斜式與拋物線方程聯(lián)立，得關(guān)于x（或y）的一元二次方程，利用韋達(dá)定理寫(xiě)出|AB|2的函數(shù)式，再用二次函數(shù)或均值不等式的知識(shí)求其最值.(2)用直線的參數(shù)方程與拋物線方程聯(lián)立，得關(guān)于參數(shù)t的一元二次方程，利用韋達(dá)定理寫(xiě)出|AB|2=（t1t2）2的函數(shù)表達(dá)式，再依正、余弦函數(shù)的有界性求其最值.這兩種方法各有優(yōu)長(zhǎng)，但都須牽涉到兩個(gè)變量x,y,以下我們推薦，利用投影公式得出的|AB|函數(shù)式，只牽涉一個(gè)變量.【解答】（Ⅱ）直線AB的傾角為α,當(dāng)α=90176。b=，則b= ( )A．(，) B．(,) C.() D．（1，0）【特解】 由|b|=1，排除C；又b與x軸不平行，排除D；易知b與a不平行，.【評(píng)說(shuō)】 本解看似簡(jiǎn)單，但想時(shí)不易，要看出向量b與A()是平行向量，一般考生不能做到.【別解】 因?yàn)閎是不平行于x軸的單位向量，可排除C、D兩項(xiàng). 又af(x)0的解集為{x|0x3或3x0},選D. (1) (2)解析二 由f(3)=0得f(3)=0,又f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),∴作出y=f(x)(x0)的草圖(如圖（2）),∵x、f(x)均為R上的奇函數(shù),∴x奇(偶)=奇(偶),奇(偶), B= 45176。 ②f (x)是R上的增函數(shù)；③對(duì)任意x∈R, 都有f (x)+f (x)=0成立，其中正確命題的序號(hào)是 (注：把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上).【解答】 由y(2x)2ytanC的值.【解答】 如圖，有：S△BOC+S△AOB=2S△COA.不妨設(shè)△ABC外接圓半徑為1，令∠BOC=α=2A,∠AOC=β=2B，∠AOB=r=2C，則有：sinα+sinγ=sinβ，即sin2A+sin2C=2sin2B.2sin(A+C)cos (AC)= 4sinBcosB. 例4題解圖∵sin(A+C)=sinB≠0,cosB= cos(A+C).∴cos (AC)+2cos (A+C)=0,cosAcosC +sinAsinC +2(cosA+cosC – sinAsinC )=0.3cosAcosC=sinAsinC，故tanAtanC=3.【點(diǎn)評(píng)】 本例中的“門(mén)”不少，其中“同圓半徑相等”是“門(mén)”，由此將面積關(guān)系轉(zhuǎn)換成有關(guān)角的關(guān)系；以下通過(guò)圓心角與圓周角的轉(zhuǎn)換，和差化積與倍角公式，誘導(dǎo)公式、和角公式、同角三角函數(shù)關(guān)系等依次轉(zhuǎn)換，這便是一連串的“門(mén)”，逐一啃來(lái)，從而最終達(dá)到解題目的.●對(duì)應(yīng)訓(xùn)練—A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，點(diǎn)P在棱CC1上，且CC1= 4CP.(Ⅰ)求直線AP與平面BCC1B1所成的角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；（Ⅱ）設(shè)O點(diǎn)在平面D1AP上的射影是H，求證：D1H⊥AP；（Ⅲ）求點(diǎn)P到平面ABD1的距離. 第1題圖： (n∈N+).∈，f (x)=，求f (x)的最大值與最小值.，y，z∈R+，且x+y+z=1，求函數(shù)u=的最小值.●參考答案，有：A(4,0,0)，P(0,4,1)，B(4,4,0)，B1(4,4,4)，D1(0,0,4).(Ⅰ)連BP，∵AB⊥平面BCC1B1.∴AB⊥BP，∠APB是直線AP與平面BB1C1C的夾角，∵=∴tan∠APB=.∴AP與平面BB1C1C所成角為arctan.(Ⅱ)連D1B1，則O∈DB1.∵=（4,4,0)，=（4,4,1）,∴因?yàn)楠缘? 注意到x1x20, 所以只要a≥1，就有f (x1)f (x2)0. 即a≥1時(shí)，函數(shù)f (x)在區(qū)間［0