【正文】 2016高考數(shù)學(xué)解題方法第1計(jì) 芝麻開門 點(diǎn)到成功●計(jì)名釋義七品芝麻官，說的是這個(gè)官很小，就是芝麻那么小的一點(diǎn). 《阿里巴巴》用“芝麻開門”，講的是“以小見大”. 就是那點(diǎn)芝麻，竟把那個(gè)龐然大門給“點(diǎn)”開了. 數(shù)學(xué)中，以點(diǎn)成線、以點(diǎn)帶面、兩線交點(diǎn)、三線共點(diǎn)、還有頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、極限點(diǎn)等等，這些足以說明“點(diǎn)”的重要性. 因此，以點(diǎn)破題，點(diǎn)到成功就成了自然之中、情理之中的事了. ●典例示范［例題］將楊輝三角中的每一個(gè)數(shù)都換成分?jǐn)?shù)，就得到一個(gè)如下圖所示的分?jǐn)?shù)三角形，稱來萊布尼茨三角形. 從萊布尼茨三角形可以看出，其中 . 令，則 . ［分析］ 一看此題，圖文并舉，篇幅很大，還有省略號省去的有無窮之多，真乃是個(gè)龐然大物. 從何處破門呢？我們?nèi)匀辉凇包c(diǎn)”上打主意. 萊布三角形，它雖然沒有底邊，但有個(gè)頂點(diǎn)，我們就打這個(gè)頂點(diǎn)的主意. ［解Ⅰ］ 將等式與右邊的頂點(diǎn)三角形對應(yīng)（圖右），自然有 對此，心算可以得到：n =1，r =0，x=1對一般情況講，就是x = r+1 這就是本題第1空的答案. ［插語］ 本題是填空題，只要結(jié)果，不講道理. 因此沒有必要就一般情況進(jìn)行解析，而是以點(diǎn)帶面，點(diǎn)到成功. 要點(diǎn)明的是，這個(gè)頂點(diǎn)也可以不選大三角形的頂點(diǎn). 因?yàn)槿切沃腥我粋€(gè)數(shù)，都等于對應(yīng)的“腳下”兩數(shù)之和，所以選擇任何一個(gè)“一頭兩腳”式的小三角形，都能解出x = r+1. 第2道填空，仍考慮以點(diǎn)帶面，先抓無窮數(shù)列的首項(xiàng). ［解Ⅱ］ 在三角形中先找到了數(shù)列首項(xiàng)，并將和數(shù)列 中的各項(xiàng)依次“以點(diǎn)連線”（圖右實(shí)線），實(shí)線所串各數(shù)之和就是an . 這個(gè)an，就等于首項(xiàng)左上角的那個(gè). 因?yàn)樵谙蛳乱环譃槎M(jìn)行依次列項(xiàng)時(shí)，我們總是“取右舍左”，而舍去的各項(xiàng)（虛線所串）所成數(shù)列的極限是0. 因此得到 這就是本題第2空的答案. ［點(diǎn)評］ 解題的關(guān)鍵是“以點(diǎn)破門”，這里的點(diǎn)是一個(gè)具體的數(shù)，采用的方法是以點(diǎn)串線——三角形中的實(shí)線，實(shí)線上端折線所對的那個(gè)數(shù)就是問題的答案. 事實(shí)上，三角形中的任何一個(gè)數(shù)（點(diǎn)）都有這個(gè)性質(zhì). 例如從這個(gè)數(shù)開始，向左下連線（無窮射線），所連各數(shù)之和（的極限）就是這個(gè)數(shù)的左上角的那個(gè)數(shù). 用等式表示就是 ［鏈接］ 本題型為填空題，若改編成解答題，那就不是只有4分的小題，而是一個(gè)10分以上的大題. 有關(guān)解答附錄如下. ［法1］ 由知，可用合項(xiàng)的辦法，將的和式逐步合項(xiàng). ［法2］ 第二問實(shí)質(zhì)上是求萊布尼茨三角形中從第三行起每一行的倒數(shù)的和，即根據(jù)第一問所推出的結(jié)論只需在原式基礎(chǔ)上增加一項(xiàng)，則由每一行中的任一數(shù)都等于其“腳下”兩數(shù)的和，結(jié)合給出的數(shù)表可逐次向上求和為，故，從而［法3］ （2）將代入條件式，并變形得取令得 ， … … … 以上諸式兩邊分別相加，得 ［說明］ 以上三法，都是對解答題而言. 如果用在以上填空題中，則是殺雞動(dòng)用了牛刀. 為此我們認(rèn)識到“芝麻開門，點(diǎn)到成功”在使用對象上的真正意義. ●對應(yīng)訓(xùn)練1．如圖把橢圓的長軸AB分成8份，過每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓的上半部分于P1，P2，…，P7七個(gè)點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則|P1F|+|P2F|+……+|P7F|=_______.2．如圖所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，P，Q分別是側(cè)棱AA1，CC1上的點(diǎn)，且A1P=CQ，則四棱錐B1—A1PQC1的體積與多面體ABC—PB1Q的體積比值為 . ●參考解答1．找“點(diǎn)”——橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F2. 連接P1F2 、P2F2 、…、P7F2，由橢圓的定義FP5+P5 F2 = 2a =10如此類推FP1+P1F2 = FP2 + P2F2 = … =FP7 + P7F2 = 710 = 70由橢圓的對稱性可知，本題的答案是70的一半即35.2．找“點(diǎn)”——?jiǎng)狱c(diǎn)P、Q的極限點(diǎn). 如圖所示，令A(yù)1P = CQ = 0. 即動(dòng)點(diǎn)P與A1重合，動(dòng)點(diǎn)Q與C重合.則多面體蛻變?yōu)樗睦忮FC—AA1B1B，四棱錐蛻化為三棱錐C—A1B1C1 .顯然V棱柱.∴∶=于是奇兵天降——答案為.［點(diǎn)評］ “點(diǎn)到成功”的點(diǎn)，都是非一般的特殊點(diǎn)，它能以點(diǎn)帶面，揭示整體，制約全局. 這些特殊點(diǎn)，在沒被認(rèn)識之前，往往是人們的盲點(diǎn)，只是在經(jīng)過點(diǎn)示之后成為亮點(diǎn)的. 這個(gè)“點(diǎn)”字，既是名詞，又是動(dòng)詞，是“點(diǎn)亮”和“亮點(diǎn)”的合一.第2計(jì) 西瓜開門 滾到成功●計(jì)名釋義比起“芝麻”來，“西瓜”則不是一個(gè)“點(diǎn)”，而一個(gè)球. 因?yàn)樗軌颉皾L”，所以靠“滾到成功”. 球能不斷地變換碰撞面，在滾動(dòng)中能選出有效的“觸面”.數(shù)學(xué)命題是二維的. 一是知識內(nèi)容，二是思想方法. 基本的數(shù)學(xué)思想并不多，只有五種：①函數(shù)方程思想，②數(shù)形結(jié)合思想，③劃分討論思想，④等價(jià)交換思想，⑤特殊一般思想. 數(shù)學(xué)破題，不妨將這五種思想“滾動(dòng)”一遍，總有一種思想方法能與題目對上號.●典例示范［題1］ 對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f（x），若滿足（x－1）f 162。（x）179。0，則必有A. f（0）＋f（2） 2f（1） B. f（0）＋f（2）≤2 f（1）C. f（0）＋f（2）≥ 2f（1） D. f（0）＋f（2）2f（1）［分析］　用五種數(shù)學(xué)思想進(jìn)行“滾動(dòng)”，最容易找到感覺應(yīng)是③：分類討論思想.　這點(diǎn)在已條件（x1）f＇(x)≥0中暗示得極為顯目.其一，對f＇(x)有大于、等于和小于0三種情況；其二，對x1，也有大于、等于、小于0三種情況.因此，本題破門，首先想到的是劃分討論.［解一］ （i）若f＇(x) ≡ 0時(shí)，則f(x)為常數(shù)：此時(shí)選項(xiàng)B、C符合條件.（ii）若f＇(x)不恒為0時(shí). 則f＇(x)≥0時(shí)有x≥1，f（x）在上為增函數(shù)；f＇(x)≤0時(shí)x ≤1. 即f（x）在上為減函數(shù). 此時(shí)，選項(xiàng)C、D符合條件.綜合（i），（ii），本題的正確答案為C.［插語］ 考場上多見的錯(cuò)誤是選D. 忽略了f＇(x) ≡ 0的可能. 以為（x1）f＇(x) ≥0中等號成立的條件只是x1=0，其實(shí)x1=0與f＇(x)=0的意義是不同的：前者只涉x的一個(gè)值，即x=1，而后是對x的所有可取值，有f＇(x) ≡ 0.［再析］ 本題f（x）是種抽象函數(shù)，或者說是滿足本題條件的一類函數(shù)的集合. 而選擇支中，又是一些具體的函數(shù)值f（0），f（1），f（2）.　因此容易使人聯(lián)想到數(shù)學(xué)⑤：一般特殊思想.［解二］ （i）若f＇(x)=0，可設(shè)f（x）=１.　選項(xiàng)Ｂ、Ｃ符合條件.（ii）f＇(x)≠0. 可設(shè)f(x) =（x1）2 又　f＇(x)=2（x1）.滿足　(x1) f＇(x) =2 (x1)2≥0，而對 f (x)= (x1)2. 有f（0）= f（2）=1，f（1）=0選項(xiàng)C，D符合條件. 綜合（i），（ii）答案為C.［插語］ 在這類f (x)的函數(shù)中，我們找到了簡單的特殊函數(shù)(x1)2. 如果在同類中找到了(x1)4 ，(x1) ，自然要麻煩些. 由此看到，特殊化就是簡單化.［再析］ 本題以函數(shù)（及導(dǎo)數(shù)）為載體. 數(shù)學(xué)思想①——“函數(shù)方程（不等式）思想”. 貫穿始終，如由f 162。（x）= 0找最值點(diǎn)x =0，由f 162。（x）0（0）找單調(diào)區(qū)間，最后的問題是函數(shù)比大小的問題.由于函數(shù)與圖象相聯(lián)，因此數(shù)形結(jié)合思想也容易想到.［解三］ （i）若f (0)= f (1)= f (2)，即選B，C，則常數(shù)f (x) = 1符合條件. （右圖水平直線）（ii）若f (0)= f (2) f (1)對應(yīng)選項(xiàng)A.（右圖上拱曲線），但不滿足條件(x1) f 162。（x）≥0若f (0)= f (2) f (1)對應(yīng)選項(xiàng)C，D（右圖下拱曲線）. 則滿足條件(x1) f 162。（x）≥0.［探索］ 本題涉及的抽象函數(shù)f (x)，沒有給出解析式，只給出了它的一個(gè)性質(zhì)：(x1) f 162。（x）≥0，并由此可以判定f (0)+ f (2) ≥ f (1). 自然，有這種性質(zhì)的具體函數(shù)是很多的，我們希望再找到一些這樣的函數(shù).［變題］ 以下函數(shù)f (x)，具有性質(zhì)(x1) f 162。（x）≥0從而有f (0)+ f (2) ≥2 f (1)的函數(shù)是A. f（x）= (x1)3 B. f（x）= (x1) C. f（x）= (x1) D. f（x）= (x1)［解析］ 對A，f (0)= 1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求；對B，f (0)無意義； 對C，f (0)= 1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求；答案只能是D. 對D， f (0)= 1， f (1) =0，f (2)=1.且f 162。（x）=(x1) 使得 (x1) f＇(x) =(x1)(x1) ≥0.［說明］ 以x=1為對稱軸、開口向上的函數(shù)都屬這類抽象函數(shù). 如f162。（x）=(x1) ，其中m，n都是正整數(shù)，且n≥m.［點(diǎn)評］ 解決抽象函數(shù)的辦法，切忌“一般解決”，只須按給定的具體性質(zhì)“就事論事”，抽象函數(shù)具體化，這是“一般特殊思想”在解題中具體應(yīng)用.［題2］ 已知實(shí)數(shù)x，y滿足等式 ，試求分式的最值。［分析］ “最值”涉及函數(shù)，“等式”連接方程，函數(shù)方程思想最易想到.［解一］ （函數(shù)方程思想運(yùn)用）令 y = k (x5) 與方程聯(lián)立消y，得： 根據(jù)x的范圍應(yīng)用根的分布得不等式組：解得 即 ≤≤ 即所求的最小值為，最大值為.［插語］ 解出≤≤，談何易！十人九錯(cuò)，早就應(yīng)該“滾開”，用別的思想方法試試.［解二］ （數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用）由得橢圓方程 ，0看成是過橢圓上的點(diǎn)（x，y），(5，0)的直線斜率（圖右）.聯(lián)立 得 令得，故 的最小值為，最大值為.［插語］ 這就是“滾動(dòng)”的好處，解二比解一容易多了. 因此，滾動(dòng)開門，不僅要善于“滾到”，還要善于“滾開”.［點(diǎn)評］ “西瓜開門”把運(yùn)動(dòng)學(xué)帶進(jìn)了考場解題. 滾動(dòng)能克服解題的思維定勢.解題時(shí)，要打破思維固化，在思想方法上要“滾動(dòng)”，在知識鏈接上要“滾動(dòng)”，在基本技能技巧上也要“滾動(dòng)”. 總之，面對考題，在看法、想法和辦法上要注意“滾動(dòng)”.●對應(yīng)訓(xùn)練(x,y)，且lgy，lg|x|，lg成等差數(shù)列，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡應(yīng)為圖中的 ( )=1 (1≤x0)的反函數(shù)是 ( )=(0x≤1) = (0x≤1)C. y= (1≤x0) D. y= (1≤x0),b,c∈R,且4a4b+c0,a+2b+c0,則下列結(jié)論中正確的是 ( )≤ac ac ac且a0 ac且a0●參考答案1.【思考】 ≠0,y0且y0的圖像，選項(xiàng)D中無x0的圖像，均應(yīng)否定；當(dāng)x=y∈R+時(shí)，lg無意義，否定A,選C．【點(diǎn)評】 上面的解法中條件與選項(xiàng)一并使用，：當(dāng)x≠0且yx時(shí)，由lgy+lg=2lg|x|，化簡可得(x+y)(2xy)=0.∴y=x或y=2x(x≠0,y0).2.【思考】 分析各選項(xiàng)，所以擬從這兩方面滾動(dòng)著手排除錯(cuò)誤的選項(xiàng).原函數(shù)定義域?yàn)?≤x0，∴其反函數(shù)值域?yàn)?≤y0，排除B、D.∵原函數(shù)中f(1)=1,∴反函數(shù)中f1(1)=1,即x=1時(shí)f1(x)有定義,排除C,∴選A． 分析四個(gè)選擇支之間的邏輯關(guān)系知,若C真,則B也真。若D真,則B也真,故C、D皆假.取符合條件4a4b+c0,a+2b+c0的實(shí)數(shù)a=0,b=1,c=0檢驗(yàn)知選B.解析二 由選擇支,聯(lián)想到二次函數(shù)的判別式.令f(x)=ax2+2bx+c,則f(2)=4a4b+c0,f(1)=a+2b+c0,故Δ=4b24ac0,即b2ac,故選B.【點(diǎn)評】 在解題時(shí)易受題設(shè)條件的干擾,企圖從已知不等式出發(fā):4b4a+c, ①2bac, ②①②不等號的方向無法確定,思維受阻.用邏輯分析法和特殊值檢驗(yàn)的方法兩種方法滾動(dòng)使用，簡便明快,為了使選擇題解題速度變快,推薦學(xué)生使用解析一.第3計(jì) 諸葛開門 扇到成功●計(jì)名釋義諸葛亮既不會(huì)舞刀，也不會(huì)射箭，他的兵器就是他手中的那把扇子. 草船借箭用扇子，借東風(fēng)也是用扇子. 有人把“借東風(fēng)”的意思弄膚淺了，以為東風(fēng)就是東邊來的風(fēng)，其實(shí)，這里真正所指是“東吳”的風(fēng). 在赤壁大戰(zhàn)中，劉備哪是曹操的對手，后來能把曹兵打敗，借的就是東吳的力量.數(shù)學(xué)解題的高手們，都會(huì)“借力打力”，這就是數(shù)學(xué)“化歸轉(zhuǎn)換思想”的典型應(yīng)用.●典例示范［題1］ 已知f (x)= 試求 f (5 )+ f (4 )+…+ f (0 )+…+ f (6 )的值.［分析］　若分別求f (x)在x= 5，4，…，0，…，6時(shí)的12個(gè)值然后相加. 這不是不行，只是工作量太大，有沒有簡單的辦法？我們想“借用”等差數(shù)列求和時(shí)“倒序相加”的辦法. 于是，我們關(guān)心f (x)+f (1x)的結(jié)果.［解析］ 因?yàn)?f (x)+ f (1x) = = =所以 f (5 )+ f (4 )+…+ f (0 )+…+