【正文】 (5247。5＋5247。5)－55247。5　　由5247。5＝1　　5－(5＋5＋5)247。5＝2　　5=5　　知其余各式的討論，和5的個數(shù)為7時相同。即　　8=5＋2＋1　　=5＋5(5＋5＋5)247。5＋5247。5　　7＝51＋2　?。?5247。5＋5－(5＋5＋5)247。5　　6＝5＋2－1　?。?＋5－(5＋5＋5)247。5－5247。5　　4＝5＋1－2　?。?＋5247。5－5＋(5＋5＋5)247。5　　3＝51－2　?。?5247。5－5＋(5＋5＋5)247。5　　2＝5－2－1　?。?－5＋(5＋5＋5)247。5－5247。5　　顯然，若5的個數(shù)是9，只要在5的個數(shù)是7的各式后面加上(5－5)。如　　10＝5(5247。5－5247。5)(5247。5)＋(5－5)若5的個數(shù)是7＋2n(n為自然數(shù))，只要在5的個數(shù)是7的各式，后面加上n個(5－5)?！　∪?的個數(shù)是10，只要在5的個數(shù)是8的各式，后面加上一個(5－5)?！　∪?的個數(shù)是8＋2n，則只要在5的個數(shù)是8的各式，后面加上n個(5－5)。 歸 類 　　例如，用1113這十二個數(shù)，編加、減、乘、除四個算式，每個數(shù)只許用一次?！　「鶕?jù)逆運算關(guān)系，把“加法和減法”、“乘法和除法”歸為一類?！　【幖訙p法算式，比編乘除法算式多得多，宜從量少的入手。想到這十二個數(shù)中，能做被除數(shù)的只有16，先編除法算式更為適宜。　　(1)12247。3＝4 (2)12247。2＝6　　12247。4＝3 12247。6＝2　　(3)10247。2＝5 (4)8247。2＝4 (5)6247。2＝3　　10247。5＝2 8247。4＝2 6247。3＝2　　確定(1)組為除法算式，其余四組都可變?yōu)槌朔ㄋ闶?。由于每個數(shù)只許用一次，此組已出現(xiàn)12。乘法算式的(2)、(4)、(5)組重復(fù)、舍去。唯有第(3)組符合題意?！　∪?1)組為除法算式，(3)組為乘法算式?；蚍催^來，各得四式　　12247。3＝4 10247。2＝5　　12247。4=3 10247。5=2　　43=12 52=10　　34=12 25=10　　剩的六個數(shù)，可組成　　6＋7=13 8＋1=9　　7＋6=13 1＋8=9　　13－6＝7 9－1＝8　　13－7＝6 98=1　　整理：　　組合：　　(1)組可組合算式　 　　(2)、(3)、(4)均可組成16種答案，共64種。 聯(lián) 系　　 求這二數(shù)?！　∮烧麛?shù)除法、分?jǐn)?shù)、比的內(nèi)在聯(lián)系想：　　被除數(shù)247。除數(shù)＝商(整數(shù))……余數(shù)；　　 關(guān) 系例1 一個減法式子中，被減數(shù)、減數(shù)與差的和是76。求被減數(shù)。76247。2＝38例2 被減數(shù)是7，被減數(shù)、減數(shù)與差的和是多少？　　72＝14例3 被除數(shù)、除數(shù)和商的積是196。求被除數(shù)?！　?96＝2277　?。?414　　被除數(shù)是14?！　±?與此例的算理　　設(shè)A－B＝C，那么A＝B＋C。　　若A＋B＋C＝n，則A＋A＝n，2A＝n，A＝n/2?！　≡O(shè)A247。B＝C，那么A＝BC?！　∪绻鸄BC＝n，則有AA＝n?！　可用分解質(zhì)因數(shù)法求。 對 調(diào)　　例如，第八冊P94思考題：用9九個數(shù)字，寫出三個大小相等的分?jǐn)?shù)，每個數(shù)字只許用一次。參考書中給出：　 　　這三種和下面的四種答案的分子和分母對調(diào)，為14種?！　? 　　還能求出12種　　例如，一個硬幣重10克，每10個硬幣為一摞，一共有10摞。從表面上看，這10摞硬幣都一樣，其實里面有一摞是假的?，F(xiàn)在只知道假幣比真幣輕2克，你能只稱一次，就把這摞假幣找出來嗎？　　從第一摞里取一個硬幣，從第二摞里取兩個，……從第十摞中取十個。55個放在一起稱，如果都是真的，應(yīng)重1055＝550(克)。　　假如稱的結(jié)果是538克，那就少了12克，每個假幣比真幣少2克，因而有12247。2＝6(個)，說明6個硬幣的第六摞是假的。　　若稱的結(jié)果是542克，少了8克，說明第四摞是假的?！　±?，哪些自然數(shù)的和能被7整除？　　任何個偶數(shù)的和，能被2整除；　　偶數(shù)個奇數(shù)的和，能被2整除；　　任意四個連續(xù)自然數(shù)，如果首尾兩數(shù)的和能被5整除，那么這四個數(shù)的和也能被5整除；　　任意四個連續(xù)偶數(shù)的和，能被4整除；　　任意五個(或5的倍數(shù))個連續(xù)自然數(shù)的和，能被5整除；　　任意七個連續(xù)自然數(shù)的和，能被7整除；　　…………　　把題分成有聯(lián)系而又相對獨立的小問題，進(jìn)而解決所求問題?！　±?，第五冊P20思考題：用0、2…9十個數(shù)字組成三個數(shù)(每個數(shù)字只能用一次，且必須用一次)，其中兩個數(shù)的和等于第三個數(shù)?！　∵@是三位數(shù)加三位數(shù)等于四位數(shù)，百位上兩數(shù)相加和為10，其它兩位數(shù)相加不進(jìn)位的題?！　》殖尚栴}：一位數(shù)分別相加，其中一組的和為10，再分別找出兩個數(shù)相加得第三個數(shù)。　　這樣分別開來，易找出　　3＋7＝10，　　2＋6＝8，　　4＋5＝9，　　合起來為324＋765＝1089?！　』蛘?＋6＝10，　　2＋7＝9，　　3＋5＝8，　　423＋675＝1098?！　≡俜謩e交換個位、十位上的數(shù)字，又可得到多組答案 索 法　　就是多方尋求答案，解決疑難。 察 法　　數(shù)學(xué)知識是通過數(shù)、式、形三方面的內(nèi)容，體現(xiàn)客觀事物和空間形式相互間數(shù)量關(guān)系的。這常常需要觀察。例1 計算下組算式的(1)、(2)、(3)，類推出(4)的結(jié)果?！　?1)1＋18　　(2)2＋128　　(3)3＋1238　　(4)4＋12348　　仔細(xì)觀察算式間的聯(lián)系，　　第一個加數(shù)，逐次增加1；第二個加數(shù)逐次增加11，111， 1111，……而乘數(shù)都是8，即第二個加數(shù)中兩個數(shù)的乘積，逐次多11個8，111個8，……；(1)式，(2)式，(3)式，……的結(jié)果逐次增加 89，889，8889，……　　由式(3)的結(jié)果9＋89＋889＝987，知　　式(4)為 987＋8889＝9876。例2 觀察　　不難發(fā)現(xiàn)：自然數(shù)從1開始，累加到任何一個自然數(shù)，其和除以下一個 是偶數(shù)，商是小數(shù)，是奇數(shù)時，商是整數(shù)?！　∪纾?1＋2＋3＋…＋1000＋1001)例3 由11＋＝11，　　知其積等于其和。　　特點：第一個加數(shù)是整數(shù)。第二個加數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，整數(shù)部分是1，分?jǐn)?shù)部分的分子是1，分母比第一個加數(shù)少1。例4 觀察分析　　 　　…………　　會產(chǎn)生一個直覺：如果a與b是互質(zhì)數(shù)(且a＞b)，那么a177。b與ab是互質(zhì)數(shù)?！　〈私Y(jié)論成立的話，兩個分子是1，分母是互質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù)相加減，所得結(jié)果豈不是不必考慮約分了嗎？　　用反證法證明：　　若a177。b與ab不互質(zhì)，而有因子d的話，設(shè)a177。b＝cd，ab＝ed。　　則由ab＝ed，d為素數(shù)可知，或d｜a，或d｜b?！　∪鬱｜a，則由a177。b＝cd，可知必有d｜b，這與ab是互質(zhì)數(shù)矛盾?！　⊥恚鬱｜b，也有矛盾，所以a177。b與ab互質(zhì)?！　∶绹鴶?shù)學(xué)家G?玻利亞在《數(shù)學(xué)與似真推理》一書中寫道：“人們對數(shù)學(xué)事實總是首先猜測，然后才加以證明。”例1 34＝12　　它的積是由1和2依順序排列的數(shù)?！　∮?334＝1122　　333334＝111222　　n個 n個 n個 n個　　為方便起見，在后面的n位數(shù)乘以n位數(shù)等于2n位數(shù)的乘法中，用省略號連在一起的n個數(shù)字不再標(biāo)n個了，它們的個數(shù)同上式一樣?！　∽C明：　　令S＝11…1，　　則S＝10n－1＋10n－2＋…＋10＋1，　　10S＝10n＋10n－1＋…＋102＋10，　　9S＝10S－S＝10n－1，　　 　　由此得 　　　　　　　　 　　故33…333…4＝11…122…2，　　進(jìn)而可得33…333…5　?。?3…3(33…34＋1)　?。?1…122…2＋33…3　?。?1…155…5。例2 abcd各不相同，表示一個四位數(shù)。問各是什么數(shù)時，能同時被5整除？　　智力好的學(xué)生，總是經(jīng)過一番嘗試和猜測后，就力圖尋求一般規(guī)律，不遺漏地寫出符合要求的全部四位數(shù)。符合題意的數(shù)是，各位上的數(shù)字和一定能被3整除，且個位數(shù)字是0。　　如果a、b、c分別取3作為一組的話，有121321 23313210。　　這樣的數(shù)組有：　　3 6 9　　5 8 7　　6 9 8　　9 4 7　　6 9 8　　7 9 5　　4 7 9　　9 8 7　　9 8 9　　符合題意的全部四位數(shù)是，　　627＝162(個)例3 證明：任意10個連續(xù)的自然數(shù)一定能找出4個a、b、c、d，使(a－b)(c－d)能被56整除。若使(a－b)(c－d)能被56整除，只要a－b能被8(或7)整除，c－d能被7(或8)整除。　　在10個連續(xù)自然數(shù)中，必有兩數(shù)的差為8，其余8個數(shù)中必有兩數(shù)的差為7?！　≡O(shè)10個連續(xù)自然數(shù)為：　　n、n＋n＋…、n＋9，　　則(n＋8)－n＝8，　　(n＋9)－(n＋2)＝7。　　這里 a＝n＋8，　　b＝n，　　c＝n＋9，　　d＝n＋2，　　或 a＝n＋9，　　b＝n＋2，　　c＝n＋8，　　d＝n。　　或者(n＋9)－(n＋1)＝8，　　(n＋7)－n＝7?！　∵@里a＝n＋9，　　b＝n＋1，　　c=n＋7，d=n，　　或 a=n＋7， b=n，　　c=n＋9，d=n＋1。例4 任意連續(xù)4n個自然數(shù)的和除以2的商是第一個數(shù)與最后一個數(shù)和的n倍?！　∽C明：設(shè)任意的連續(xù)自然數(shù)m，m＋1，m＋2，……　　當(dāng)n＝1時，因為m＋(m＋1)＋(m＋2)＋(m＋3)＝4m＋6，所以　　 　?。?m＋3＝［m＋(m＋3)］1?！　‘?dāng)n＝2時，因為m＋(m＋1)＋(m＋2)＋…＋(m＋42－1)＝8m＋(1＋2＋…＋7)＝8m＋28。所以　　 　?。?m＋14＝［m＋(m＋7)］2?！　‘?dāng)m＝3時，因為m＋(m＋1)＋(m＋2)＋…＋(m＋43－1)＝12m＋(1＋2＋…＋11)＝12m＋66。所以　　 　?。?m＋33＝［m＋(m＋11)］3。 　　 　?。剑踡1＋(m＋k－1)k］n?！　?　　這里m1＝9，(m＋k－1)k＝40，　　 　　原式＝(9＋40)8＝392?！　±? 在0、9中，任選一個數(shù)字，把它與9相乘，得到一個積，把這個積再乘上12345679，答案所有數(shù)位上的數(shù)字總是和選擇的那個數(shù)字一樣?！　”热缯f，選擇5，59＝45?！　?　　兩邊都除以5，　　123456799=11 11 11 11 1。　　對于任何其它數(shù)字，可進(jìn)行同樣的推理。用數(shù)字a乘等式兩邊，　　12345679(a9)＝(11 11 11 11 1)a　?。絘aaaaaaaa ?！　±? 任意選出小于10的三個不同的自然數(shù)，如8。　　從中任取兩個，組成二位數(shù)1166886。其和為330?！　?＋6＋8＝15?！　晌粩?shù)的和除以一位數(shù)的和，　　設(shè)a、b、c表示任意三個不同的小于10的自然數(shù)，組成兩位數(shù)，　　10a＋b 10a＋c 10b＋a　　10b＋c 10c＋a 10c＋b　　其和為 22a＋22b＋22c　　?。?2(a＋b＋c)　　遇到類似的運算，可不假思索地寫出22。