【正文】 ?！　?＋6＋8＝15。　　從中任取兩個，組成二位數(shù)1166886。用數(shù)字a乘等式兩邊，　　12345679(a9)＝(11 11 11 11 1)a　　＝aaaaaaaaa ?！　?　　兩邊都除以5，　　123456799=11 11 11 11 1?！　±? 在0、9中，任選一個數(shù)字，把它與9相乘，得到一個積，把這個積再乘上12345679，答案所有數(shù)位上的數(shù)字總是和選擇的那個數(shù)字一樣。 　　 　?。剑踡1＋(m＋k－1)k］n?！　‘攎＝3時，因為m＋(m＋1)＋(m＋2)＋…＋(m＋43－1)＝12m＋(1＋2＋…＋11)＝12m＋66?！　‘攏＝2時，因為m＋(m＋1)＋(m＋2)＋…＋(m＋42－1)＝8m＋(1＋2＋…＋7)＝8m＋28。例4 任意連續(xù)4n個自然數(shù)的和除以2的商是第一個數(shù)與最后一個數(shù)和的n倍。　　或者(n＋9)－(n＋1)＝8，　　(n＋7)－n＝7?！　≡O10個連續(xù)自然數(shù)為：　　n、n＋n＋…、n＋9，　　則(n＋8)－n＝8，　　(n＋9)－(n＋2)＝7。若使(a－b)(c－d)能被56整除，只要a－b能被8(或7)整除，c－d能被7(或8)整除?！　∪绻鸻、b、c分別取3作為一組的話，有121321 23313210。問各是什么數(shù)時，能同時被5整除？　　智力好的學生，總是經(jīng)過一番嘗試和猜測后，就力圖尋求一般規(guī)律，不遺漏地寫出符合要求的全部四位數(shù)?！　∽C明：　　令S＝11…1，　　則S＝10n－1＋10n－2＋…＋10＋1，　　10S＝10n＋10n－1＋…＋102＋10，　　9S＝10S－S＝10n－1，　　 　　由此得 　　　　　　　　 　　故33…333…4＝11…122…2，　　進而可得33…333…5　?。?3…3(33…34＋1)　　＝11…122…2＋33…3　?。?1…155…5?！崩? 34＝12　　它的積是由1和2依順序排列的數(shù)。b與ab互質(zhì)。b＝cd，可知必有d｜b，這與ab是互質(zhì)數(shù)矛盾?！　t由ab＝ed，d為素數(shù)可知，或d｜a，或d｜b。b與ab不互質(zhì)，而有因子d的話，設a177。b與ab是互質(zhì)數(shù)。第二個加數(shù)是帶分數(shù)，整數(shù)部分是1，分數(shù)部分的分子是1，分母比第一個加數(shù)少1?！　∪纾?1＋2＋3＋…＋1000＋1001)例3 由11＋＝11，　　知其積等于其和?！　?1)1＋18　　(2)2＋128　　(3)3＋1238　　(4)4＋12348　　仔細觀察算式間的聯(lián)系，　　第一個加數(shù)，逐次增加1；第二個加數(shù)逐次增加11，111， 1111，……而乘數(shù)都是8，即第二個加數(shù)中兩個數(shù)的乘積，逐次多11個8，111個8，……；(1)式，(2)式，(3)式，……的結(jié)果逐次增加 89，889，8889，……　　由式(3)的結(jié)果9＋89＋889＝987，知　　式(4)為 987＋8889＝9876。這常常需要觀察?！　≡俜謩e交換個位、十位上的數(shù)字，又可得到多組答案 索 法　　就是多方尋求答案，解決疑難?！　∵@樣分別開來，易找出　　3＋7＝10，　　2＋6＝8，　　4＋5＝9，　　合起來為324＋765＝1089?！　∵@是三位數(shù)加三位數(shù)等于四位數(shù)，百位上兩數(shù)相加和為10，其它兩位數(shù)相加不進位的題?！　±?，哪些自然數(shù)的和能被7整除？　　任何個偶數(shù)的和，能被2整除；　　偶數(shù)個奇數(shù)的和，能被2整除；　　任意四個連續(xù)自然數(shù)，如果首尾兩數(shù)的和能被5整除，那么這四個數(shù)的和也能被5整除；　　任意四個連續(xù)偶數(shù)的和，能被4整除；　　任意五個(或5的倍數(shù))個連續(xù)自然數(shù)的和，能被5整除；　　任意七個連續(xù)自然數(shù)的和，能被7整除；　　…………　　把題分成有聯(lián)系而又相對獨立的小問題，進而解決所求問題。2＝6(個)，說明6個硬幣的第六摞是假的。55個放在一起稱，如果都是真的，應重1055＝550(克)。從表面上看，這10摞硬幣都一樣，其實里面有一摞是假的。參考書中給出：　 　　這三種和下面的四種答案的分子和分母對調(diào)，為14種?！　可用分解質(zhì)因數(shù)法求。B＝C，那么A＝BC。　　若A＋B＋C＝n，則A＋A＝n，2A＝n，A＝n/2?！　?96＝2277　?。?414　　被除數(shù)是14。2＝38例2 被減數(shù)是7，被減數(shù)、減數(shù)與差的和是多少？　　72＝14例3 被除數(shù)、除數(shù)和商的積是196。求被減數(shù)?！　∮烧麛?shù)除法、分數(shù)、比的內(nèi)在聯(lián)系想：　　被除數(shù)247。5=2　　43=12 52=10　　34=12 25=10　　剩的六個數(shù)，可組成　　6＋7=13 8＋1=9　　7＋6=13 1＋8=9　　13－6＝7 9－1＝8　　13－7＝6 98=1　　整理：　　組合：　　(1)組可組合算式　 　　(2)、(3)、(4)均可組成16種答案，共64種。2＝5　　12247?；蚍催^來，各得四式　　12247。唯有第(3)組符合題意。由于每個數(shù)只許用一次，此組已出現(xiàn)12。4＝2 6247。2＝3　　10247。2＝5 (4)8247。4＝3 12247。3＝4 (2)12247。想到這十二個數(shù)中，能做被除數(shù)的只有16，先編除法算式更為適宜?！　「鶕?jù)逆運算關(guān)系，把“加法和減法”、“乘法和除法”歸為一類?！　∪?的個數(shù)是8＋2n，則只要在5的個數(shù)是8的各式，后面加上n個(5－5)。5)＋(5－5)若5的個數(shù)是7＋2n(n為自然數(shù))，只要在5的個數(shù)是7的各式，后面加上n個(5－5)。5－5247。5　　顯然，若5的個數(shù)是9，只要在5的個數(shù)是7的各式后面加上(5－5)。5　　2＝5－2－1　　＝5－5＋(5＋5＋5)247。5　　3＝51－2　?。?5247。5　　4＝5＋1－2　?。?＋5247。5　　6＝5＋2－1　?。?＋5－(5＋5＋5)247。5　　7＝51＋2　?。?5247。即　　8=5＋2＋1　　=5＋5(5＋5＋5)247。5＝1　　5－(5＋5＋5)247。5)－55247。5　　5＝5(2－1)　?。?2－51　　＝5(5247。5＋55247。55247。5＋5－5＋5－5＋5－5　　10＝521　?。?(1＋1)1　?。?5247。5)(5247。5＝52－1　　10＝5(5247。5＋5247。5)＋5247。5)＝51＋2　　8＝5＋(5247。5)＋(5247。5)－5247。5＝5(2－1)　　6＝5＋(5247。5＋5247。5＋5247。5)＝51－2　　4＝5＋5247。5)－(5247。5)－5247。5＋5(5－5＋5－5)　　2＝5－(5247?！　?三個數(shù)不能通過四則運算得0和1，但5247。5＋5247?！　∮?247。　　5的個數(shù)是7以上的都可歸結(jié)為7個討論。 歸 結(jié)　　例如，選擇“＋、 、 247。從25萬個增長到100萬個要用1＋1=2(小時)，所以增長到25萬個需　　102=8(小時)　　例如，武漢市武昌區(qū)數(shù)學競賽題：3/17的分子和分母同時加上什么數(shù)， 　　 　　因為一個分數(shù)的分子與分母同時加上一個數(shù)的前后、分母與分子的差17 　　分母同時擴大14247?！　±? 某種細菌每小時可增長1倍，現(xiàn)有一批這樣的細菌，10小時可增長100萬個。即這個數(shù)是：　?。?50＋36) 2－100］247。擴大3倍前是72247?！　淖詈蟮牟?0倒推。有些題用此法解，能化難為易?！　】梢姡骸　∮蓛蓚€一位數(shù)組成的兩位數(shù)的個數(shù)＝21：由三個一位數(shù)組成的三位數(shù)的個數(shù)＝32。　　所求數(shù)只能是1315＝195?！　∪绻渲幸粋€是11，乘積的十位數(shù)字將是百位與個位數(shù)字之和、必為偶數(shù)。 例2 18475　　原式＝2246355　　=463(25)2　　=138100=13800。其實，分解質(zhì)因數(shù)在解題中很有用處?！　∽钚」帜笧椤　?3257＝910。用19試除，　　[57，76]＝1934＝228。把其中一個分解質(zhì)因數(shù)，看另一個數(shù)能否被這里的某個質(zhì)因數(shù)整除即可。　　　 　　 　　 　　 　　……　　 　　 　　例如，(1＋2＋3＋…＋99)＋(4＋8＋12＋…＋396)　?。?1＋2＋3＋…＋99)＋4(1+2+3＋…＋99)　　＝5(1＋2+3＋…＋99)　　 　　有的學生通分時用短除法，找了許多數(shù)試除都不行，而斷定57和76為互質(zhì)數(shù)?！　≡O正方形的邊長為1，另一邊增加的百分數(shù)為x，則　　(1－120％)(1＋x)＝1，　　 　　正方形邊長 2247?！　×韨€數(shù)可這樣求　　 　　例如，1992年中學數(shù)學奧林匹克試題初賽(C)卷題5：把一個正方形的一邊減少20％，另一邊增加2米，得到一個長方形，它與原來的正方形面積相等?！　?81247。因為先擴大4倍的那個數(shù)，又縮小5 　　 　　最佳想法：　　兩數(shù)擴大的倍數(shù)不同，181不會是42的整倍數(shù)。 　　若把181縮小4倍，則得數(shù)比42大?！　?81－424＝13　　42－13＝29　　若把兩數(shù)都擴大5倍，結(jié)果比181多了原來擴大4倍的那個數(shù)?！　∪舭押停催@兩個數(shù)都擴大4倍，則得數(shù)比181小，因為原來擴大5倍的那個數(shù)少擴大了1倍。 倍 比　　 　　 　　 　　 　　 　 縮 法　　例如，兩數(shù)和是42，如果其中一個數(shù)擴大5倍，另一個數(shù)擴大4倍，則和是181。顯然，在被除數(shù)上面寫上除數(shù)，使位數(shù)對齊，口算很快會得出結(jié)果。　　若從“除法的驗算”推導　　由3939247。303＋909247。303　?。?3030＋909)247。202，7575247。101，……，3939247。7的循環(huán)節(jié)數(shù)字“142857”和順序，計算時以最大商的數(shù)字為起點，順序?qū)懗鋈垦h(huán)節(jié)數(shù)字，即可?！　?　　不難發(fā)現(xiàn)，它們循環(huán)節(jié)的位數(shù)比除數(shù)少1，循環(huán)數(shù)字和順序相同，只是起點不同。11＋6247。11＝(11＋6)247。11。13247?！　? 　　 　　若從中找出和為1的9個分數(shù)，將上式兩邊同乘以2，得　　 　　這九個分數(shù)是　　 　　例如，九冊思考題：1247。2＝24。　　由12中2的倍數(shù)有6個，3的倍數(shù)有4個，(23)的倍數(shù)2個，知所求數(shù)是　　 　　例2 分母是105的，最簡真分數(shù)的和是多少？　　 倍數(shù)15個，(35)、(57)、(37)的倍數(shù)分別是5個，(357)的倍數(shù)1個。分母減去所有非最簡真分數(shù)(包括分子和分母相同的這個假分數(shù))的個數(shù)，差就是這個偶數(shù)。當分母加上2后，分子比分母應小3＋2=5。2＝6，　　 　　某數(shù)為11－6＝5或23－18＝5?！　∨c上例同理。1＝6(倍)?！? 　　 　　分子與分母的差41－35＝6是不變的。 　　 　　某數(shù)為7－6＝1或12－11＝1。　　而新分數(shù)的分子與分母的和為1＋2=3，要保持原和不變，必同時擴大18247。　　4(1＋2＋3)＝24　　(5＋1＋2)3＝24　　6(3＋2－1)＝24　　73＋1＋2＝24　　83247。10中，有幾個是可用的?！　?7～64為64－(7－1)＝58(個)，去掉13的倍數(shù)12352，余下的作分子得54個最簡分數(shù)。2=10。2?！　±? 牢記下面兩個規(guī)律，可隨口說出任意一個自然數(shù)作分母的，所有真分數(shù)的和。　　(2)設n=k時，上式正確。此組算式的特點：　　第一個加數(shù)由2開始，每式依次增加1。2222＝8　　2247