【正文】 。　　1＋6＋8＝15?！　闹腥稳蓚€(gè)，組成二位數(shù)1166886。用數(shù)字a乘等式兩邊，　　12345679(a9)＝(11 11 11 11 1)a　?。絘aaaaaaaa ?！　?　　兩邊都除以5，　　123456799=11 11 11 11 1。　　例1 在0、9中，任選一個(gè)數(shù)字，把它與9相乘，得到一個(gè)積，把這個(gè)積再乘上12345679，答案所有數(shù)位上的數(shù)字總是和選擇的那個(gè)數(shù)字一樣。 　　 　?。剑踡1＋(m＋k－1)k］n?！　‘?dāng)m＝3時(shí)，因?yàn)閙＋(m＋1)＋(m＋2)＋…＋(m＋43－1)＝12m＋(1＋2＋…＋11)＝12m＋66?！　‘?dāng)n＝2時(shí)，因?yàn)閙＋(m＋1)＋(m＋2)＋…＋(m＋42－1)＝8m＋(1＋2＋…＋7)＝8m＋28。例4 任意連續(xù)4n個(gè)自然數(shù)的和除以2的商是第一個(gè)數(shù)與最后一個(gè)數(shù)和的n倍?！　』蛘?n＋9)－(n＋1)＝8，　　(n＋7)－n＝7?！　≡O(shè)10個(gè)連續(xù)自然數(shù)為：　　n、n＋n＋…、n＋9，　　則(n＋8)－n＝8，　　(n＋9)－(n＋2)＝7。若使(a－b)(c－d)能被56整除，只要a－b能被8(或7)整除，c－d能被7(或8)整除?！　∪绻鸻、b、c分別取3作為一組的話，有121321 23313210。問各是什么數(shù)時(shí)，能同時(shí)被5整除？　　智力好的學(xué)生，總是經(jīng)過一番嘗試和猜測后，就力圖尋求一般規(guī)律，不遺漏地寫出符合要求的全部四位數(shù)?！　∽C明：　　令S＝11…1，　　則S＝10n－1＋10n－2＋…＋10＋1，　　10S＝10n＋10n－1＋…＋102＋10，　　9S＝10S－S＝10n－1，　　 　　由此得 　　　　　　　　 　　故33…333…4＝11…122…2，　　進(jìn)而可得33…333…5　?。?3…3(33…34＋1)　　＝11…122…2＋33…3　　＝11…155…5。”例1 34＝12　　它的積是由1和2依順序排列的數(shù)。b與ab互質(zhì)。b＝cd，可知必有d｜b，這與ab是互質(zhì)數(shù)矛盾。　　則由ab＝ed，d為素?cái)?shù)可知，或d｜a，或d｜b。b與ab不互質(zhì)，而有因子d的話，設(shè)a177。b與ab是互質(zhì)數(shù)。第二個(gè)加數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，整數(shù)部分是1，分?jǐn)?shù)部分的分子是1，分母比第一個(gè)加數(shù)少1。　　如：(1＋2＋3＋…＋1000＋1001)例3 由11＋＝11，　　知其積等于其和。　　(1)1＋18　　(2)2＋128　　(3)3＋1238　　(4)4＋12348　　仔細(xì)觀察算式間的聯(lián)系，　　第一個(gè)加數(shù)，逐次增加1；第二個(gè)加數(shù)逐次增加11，111， 1111，……而乘數(shù)都是8，即第二個(gè)加數(shù)中兩個(gè)數(shù)的乘積，逐次多11個(gè)8，111個(gè)8，……；(1)式，(2)式，(3)式，……的結(jié)果逐次增加 89，889，8889，……　　由式(3)的結(jié)果9＋89＋889＝987，知　　式(4)為 987＋8889＝9876。這常常需要觀察?！　≡俜謩e交換個(gè)位、十位上的數(shù)字，又可得到多組答案 索 法　　就是多方尋求答案，解決疑難?！　∵@樣分別開來，易找出　　3＋7＝10，　　2＋6＝8，　　4＋5＝9，　　合起來為324＋765＝1089。　　這是三位數(shù)加三位數(shù)等于四位數(shù)，百位上兩數(shù)相加和為10，其它兩位數(shù)相加不進(jìn)位的題。　　例如，哪些自然數(shù)的和能被7整除？　　任何個(gè)偶數(shù)的和，能被2整除；　　偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和，能被2整除；　　任意四個(gè)連續(xù)自然數(shù)，如果首尾兩數(shù)的和能被5整除，那么這四個(gè)數(shù)的和也能被5整除；　　任意四個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和，能被4整除；　　任意五個(gè)(或5的倍數(shù))個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，能被5整除；　　任意七個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，能被7整除；　　…………　　把題分成有聯(lián)系而又相對(duì)獨(dú)立的小問題，進(jìn)而解決所求問題。2＝6(個(gè))，說明6個(gè)硬幣的第六摞是假的。55個(gè)放在一起稱，如果都是真的，應(yīng)重1055＝550(克)。從表面上看，這10摞硬幣都一樣，其實(shí)里面有一摞是假的。參考書中給出：　 　　這三種和下面的四種答案的分子和分母對(duì)調(diào)，為14種。　　A可用分解質(zhì)因數(shù)法求。B＝C，那么A＝BC?！　∪鬉＋B＋C＝n，則A＋A＝n，2A＝n，A＝n/2?！　?96＝2277　　＝1414　　被除數(shù)是14。2＝38例2 被減數(shù)是7，被減數(shù)、減數(shù)與差的和是多少？　　72＝14例3 被除數(shù)、除數(shù)和商的積是196。求被減數(shù)?！　∮烧麛?shù)除法、分?jǐn)?shù)、比的內(nèi)在聯(lián)系想：　　被除數(shù)247。5=2　　43=12 52=10　　34=12 25=10　　剩的六個(gè)數(shù)，可組成　　6＋7=13 8＋1=9　　7＋6=13 1＋8=9　　13－6＝7 9－1＝8　　13－7＝6 98=1　　整理：　　組合：　　(1)組可組合算式　 　　(2)、(3)、(4)均可組成16種答案，共64種。2＝5　　12247?；蚍催^來，各得四式　　12247。唯有第(3)組符合題意。由于每個(gè)數(shù)只許用一次，此組已出現(xiàn)12。4＝2 6247。2＝3　　10247。2＝5 (4)8247。4＝3 12247。3＝4 (2)12247。想到這十二個(gè)數(shù)中，能做被除數(shù)的只有16，先編除法算式更為適宜?！　「鶕?jù)逆運(yùn)算關(guān)系，把“加法和減法”、“乘法和除法”歸為一類。　　若5的個(gè)數(shù)是8＋2n，則只要在5的個(gè)數(shù)是8的各式，后面加上n個(gè)(5－5)。5)＋(5－5)若5的個(gè)數(shù)是7＋2n(n為自然數(shù))，只要在5的個(gè)數(shù)是7的各式，后面加上n個(gè)(5－5)。5－5247。5　　顯然，若5的個(gè)數(shù)是9，只要在5的個(gè)數(shù)是7的各式后面加上(5－5)。5　　2＝5－2－1　　＝5－5＋(5＋5＋5)247。5　　3＝51－2　?。?5247。5　　4＝5＋1－2　?。?＋5247。5　　6＝5＋2－1　?。?＋5－(5＋5＋5)247。5　　7＝51＋2　?。?5247。即　　8=5＋2＋1　　=5＋5(5＋5＋5)247。5＝1　　5－(5＋5＋5)247。5)－55247。5　　5＝5(2－1)　　＝52－51　?。?(5247。5＋55247。55247。5＋5－5＋5－5＋5－5　　10＝521　?。?(1＋1)1　?。?5247。5)(5247。5＝52－1　　10＝5(5247。5＋5247。5)＋5247。5)＝51＋2　　8＝5＋(5247。5)＋(5247。5)－5247。5＝5(2－1)　　6＝5＋(5247。5＋5247。5＋5247。5)＝51－2　　4＝5＋5247。5)－(5247。5)－5247。5＋5(5－5＋5－5)　　2＝5－(5247。　　5三個(gè)數(shù)不能通過四則運(yùn)算得0和1，但5247。5＋5247。　　由5247?！　?的個(gè)數(shù)是7以上的都可歸結(jié)為7個(gè)討論。 歸 結(jié)　　例如，選擇“＋、 、 247。從25萬個(gè)增長到100萬個(gè)要用1＋1=2(小時(shí))，所以增長到25萬個(gè)需　　102=8(小時(shí))　　例如，武漢市武昌區(qū)數(shù)學(xué)競賽題：3/17的分子和分母同時(shí)加上什么數(shù)， 　　 　　因?yàn)橐粋€(gè)分?jǐn)?shù)的分子與分母同時(shí)加上一個(gè)數(shù)的前后、分母與分子的差17 　　分母同時(shí)擴(kuò)大14247?！　±? 某種細(xì)菌每小時(shí)可增長1倍，現(xiàn)有一批這樣的細(xì)菌，10小時(shí)可增長100萬個(gè)。即這個(gè)數(shù)是：　　［(50＋36) 2－100］247。擴(kuò)大3倍前是72247?！　淖詈蟮牟?0倒推。有些題用此法解，能化難為易。　　可見：　　由兩個(gè)一位數(shù)組成的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)＝21：由三個(gè)一位數(shù)組成的三位數(shù)的個(gè)數(shù)＝32。　　所求數(shù)只能是1315＝195。　　如果其中一個(gè)是11，乘積的十位數(shù)字將是百位與個(gè)位數(shù)字之和、必為偶數(shù)。 例2 18475　　原式＝2246355　　=463(25)2　　=138100=13800。其實(shí)，分解質(zhì)因數(shù)在解題中很有用處。　　最小公分母為　　13257＝910。用19試除，　　[57，76]＝1934＝228。把其中一個(gè)分解質(zhì)因數(shù)，看另一個(gè)數(shù)能否被這里的某個(gè)質(zhì)因數(shù)整除即可?！　　?　　 　　 　　 　　……　　 　　 　　例如，(1＋2＋3＋…＋99)＋(4＋8＋12＋…＋396)　?。?1＋2＋3＋…＋99)＋4(1+2+3＋…＋99)　?。?(1＋2+3＋…＋99)　　 　　有的學(xué)生通分時(shí)用短除法，找了許多數(shù)試除都不行，而斷定57和76為互質(zhì)數(shù)。　　設(shè)正方形的邊長為1，另一邊增加的百分?jǐn)?shù)為x，則　　(1－120％)(1＋x)＝1，　　 　　正方形邊長 2247。　　另個(gè)數(shù)可這樣求　　 　　例如，1992年中學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題初賽(C)卷題5：把一個(gè)正方形的一邊減少20％，另一邊增加2米，得到一個(gè)長方形，它與原來的正方形面積相等?！　?81247。因?yàn)橄葦U(kuò)大4倍的那個(gè)數(shù)，又縮小5 　　 　　最佳想法：　　兩數(shù)擴(kuò)大的倍數(shù)不同，181不會(huì)是42的整倍數(shù)。 　　若把181縮小4倍，則得數(shù)比42大?！　?81－424＝13　　42－13＝29　　若把兩數(shù)都擴(kuò)大5倍，結(jié)果比181多了原來擴(kuò)大4倍的那個(gè)數(shù)。　　若把和，即這兩個(gè)數(shù)都擴(kuò)大4倍，則得數(shù)比181小，因?yàn)樵瓉頂U(kuò)大5倍的那個(gè)數(shù)少擴(kuò)大了1倍。 倍 比　　 　　 　　 　　 　　 　 縮 法　　例如，兩數(shù)和是42，如果其中一個(gè)數(shù)擴(kuò)大5倍，另一個(gè)數(shù)擴(kuò)大4倍，則和是181。顯然，在被除數(shù)上面寫上除數(shù)，使位數(shù)對(duì)齊，口算很快會(huì)得出結(jié)果。　　若從“除法的驗(yàn)算”推導(dǎo)　　由3939247。303＋909247。303　?。?3030＋909)247。202，7575247。101，……，3939247。7的循環(huán)節(jié)數(shù)字“142857”和順序，計(jì)算時(shí)以最大商的數(shù)字為起點(diǎn)，順序?qū)懗鋈垦h(huán)節(jié)數(shù)字，即可。　　 　　不難發(fā)現(xiàn)，它們循環(huán)節(jié)的位數(shù)比除數(shù)少1，循環(huán)數(shù)字和順序相同，只是起點(diǎn)不同。11＋6247。11＝(11＋6)247。11。13247?！　? 　　 　　若從中找出和為1的9個(gè)分?jǐn)?shù)，將上式兩邊同乘以2，得　　 　　這九個(gè)分?jǐn)?shù)是　　 　　例如，九冊(cè)思考題：1247。2＝24。　　由12中2的倍數(shù)有6個(gè)，3的倍數(shù)有4個(gè)，(23)的倍數(shù)2個(gè)，知所求數(shù)是　　 　　例2 分母是105的，最簡真分?jǐn)?shù)的和是多少？　　 倍數(shù)15個(gè)，(35)、(57)、(37)的倍數(shù)分別是5個(gè)，(357)的倍數(shù)1個(gè)。分母減去所有非最簡真分?jǐn)?shù)(包括分子和分母相同的這個(gè)假分?jǐn)?shù))的個(gè)數(shù)，差就是這個(gè)偶數(shù)。當(dāng)分母加上2后，分子比分母應(yīng)小3＋2=5。2＝6，　　 　　某數(shù)為11－6＝5或23－18＝5。　　與上例同理。1＝6(倍)?！? 　　 　　分子與分母的差41－35＝6是不變的。 　　 　　某數(shù)為7－6＝1或12－11＝1?！　《路?jǐn)?shù)的分子與分母的和為1＋2=3，要保持原和不變，必同時(shí)擴(kuò)大18247?！　?(1＋2＋3)＝24　　(5＋1＋2)3＝24　　6(3＋2－1)＝24　　73＋1＋2＝24　　83247。10中，有幾個(gè)是可用的。　　 7～64為64－(7－1)＝58(個(gè))，去掉13的倍數(shù)12352，余下的作分子得54個(gè)最簡分?jǐn)?shù)。2=10。2。　　例3 牢記下面兩個(gè)規(guī)律，可隨口說出任意一個(gè)自然數(shù)作分母的，所有真分?jǐn)?shù)的和。　　(2)設(shè)n=k時(shí)，上式正確。此組算式的特點(diǎn)：　　第一個(gè)加數(shù)由2開始，每式依次增加1。2222＝8　　2247