【正文】 ,+∞)a1時，f (x)在區(qū)間［0,+∞)上不是單調(diào)函點評 運用逆向思維,當(dāng)直接由條件探究結(jié)果難以湊效時，那就反過來，由果索因，這是建立解題思路的一個重要策略. 很多學(xué)生對本題無從下手，然而注意題中圖案給予的啟示，解題思路的就赫然可見了.事實上，由圖形的對稱性，可設(shè)直線AB為x軸，AB得中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy.注意到|AB|=2|CD|，設(shè)OC=依題意記A(c,0)，C, E(x0, y0).由定比分點坐標(biāo)公式得設(shè)雙曲線方程為將點C，E坐標(biāo)代入方程，得 ① ②將①代入②且用e代入，得e2=又由題設(shè)可知e2∈［7, 10］， 所以離心率e的范圍是點評 挖掘題圖信息,從題中圖案的啟示切入，往往易得解題靈感. 容易估計a=b=時等號成立. 由此可以獲得巧妙的證法.構(gòu)造同理兩式相乘注意到ab≤所以≥4, 故(a+)(b+)≥(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時取“=”號).從等號成立的條件切入是獨具匠心的思考方法.點評 啟用特例聯(lián)想,從數(shù)學(xué)命題成立的特殊情形入手，?？烧业角擅畹慕忸}思路. 將這個三棱柱補成如圖所示的平行六面體，—A1B1C1與三棱柱ACD——A1B1C1的體積等于用這種方法求解一些幾何問題，效果十分明顯.點評 看清分分合合,通過分割或整合，將數(shù)學(xué)問題化為熟悉的結(jié)論或易于解決的形式，也是建立解題思路的重要途徑.第13計 鑰匙開門 各歸各用●計名釋義開門的鑰匙應(yīng)有“個性”，如果你的鑰匙有“通性”，則將把所有的鄰居嚇跑.所有的知識具有個性，一切犯有“相混癥”的人，都因沒有把握知識的個性.數(shù)學(xué)知識的根基是數(shù)學(xué)定義，它的個性在于，只有它揭示了概念的本質(zhì)，介定了概念的范疇，在看似模糊的邊緣，它能判定是與非.定義本身蘊含著方法，由“線面垂直的定義直接導(dǎo)出線面垂直的判定定理，判定定理也好，方程也好，只不過是其對應(yīng)的定義在定義之外開設(shè)的一個“代辦處”，當(dāng)你的問題本身離定義很近時，何必要跑到遙遠的地方去找“代辦處”呢？由此，引出了“回歸定義”的解題之說.●典例示范【例1】 FF2是橢圓的兩個焦點，|F1F2|=2c, 橢圓上的點P（x, y)到F1（c, 0), F2 (c, 0)的距離之和為2a. 求證：|PF1|=|PF2。5g(x)，選定特殊區(qū)間（2，1）一次檢驗即解決問題.第8計 小姐開門 何等輕松●計名釋義有一大漢，想進某屋. 門上并未加鎖，但他久推不開，弄得滿頭大汗.后面?zhèn)鱽硪晃恍〗爿p輕的聲音：“先生別推，請向后拉！”大漢真的向后一拉，果然門就輕輕地開了. 大漢奇怪地問：“這門上并沒有寫拉字，你怎么知道是拉門的呢？”小姐答：“因為我看到你推了半天，門還不動，那就只有拉了！”數(shù)學(xué)上的“正難則反”就是這位小姐說的意思. 既然正面遇上困難，那就回頭是岸，向反方向走去.●典例示范【例1】 求證：拋物線沒有漸近線.【分析】 二次曲線中僅有雙曲線有漸近線，什么是漸近線？人們的解釋是與曲線可以無限接近卻又沒有公共點的直線.拋物線是否有這樣的直線？？“正難反收”，假定拋物線有漸近線，是否會導(dǎo)出不合理的結(jié)果？【證明】 不妨設(shè)拋物線方程為y2=2px. 假定此拋物線有漸近線y=kx+b, ∵x=, 代入直線方程，化簡得：ky22py+2pb=0. ①可以認(rèn)為：曲線與其漸近線相切于無窮遠處，即如方程①有實根y0, 那么，y0→∞,或, 方程①化為：2pby′22py′+k=0. ②方程②應(yīng)有唯一的零根, y′=0代入②得：k=0.于是拋物線的漸近線應(yīng)為y=b. 這是不可能的，因為任意一條與x軸平行的直線y=b, 都和拋物線有唯一公共點(), 因而y=b不是拋物線的漸近線，這就證明了：拋物線不可能有漸近線.【例2】 設(shè)A、B、C是平面上的任意三個整點（即坐標(biāo)都是整數(shù)的點），求證：△ABC不是正三角形.【分析】 平面上的整數(shù)點無窮無盡的多，可以組成無窮無盡個各不相同的三角形，要想逐一證明這些三角形都不是正三角形是不可能的，怎么辦？正難反做！【解答】 假定△ABC為正三角形，且A(x1, y1), B (x2, y2), C (x3, y3)均為整點，不妨設(shè)x2≠x1, ∵kAB=, ∴直線AB的方程為：即x(y2y1)y(x2x1)+x2y1x1y2=0. 點C (x3, y3)到AB的距離.但是|AB|=∴S△ABC == (x3y2x2y3)+(x2y1x1y2)+(x1y3x3y1).即S△ABC為有理數(shù).另一方面，S△ABC = ①∵|AB|≠0, ∴S△ABC為無理數(shù). ②①與②矛盾，故不存在三個頂點都是整數(shù)點的正三角形.【例3】 設(shè)f (x)=x2+a1x+a2為實系數(shù)二次函數(shù),證明：| f (1)|, | f (2)|, | f (3)|中至少有一個不小于【分析】 三數(shù)中至少有一個不小于的情況有七種，而三數(shù)中“都小于”的情況只有一種，可見“正面”繁雜，“反面”簡明，也應(yīng)走“正難反收”的道路.【解答】 假定同時有：| f (1)|、| f (2)|、| f (3)|, 那么：①+③: 114a1+2a29 ④②2: 94a1+2a27 ⑤④與⑤矛盾，從而結(jié)論成立.【小結(jié)】 “正難反收”中的“難”有兩種含義，一是頭緒繁多，“繁”，所以“難”，處理不當(dāng)即陷入“剪不斷，理還亂”的困境；二是試題的正面設(shè)置，使人感到無法可求，無章可循，從而找不到破解的頭緒，從而無從下手.遇到以上這兩種情況，考生即應(yīng)懂得“迷途知返”，走“正難反收”的道路.一般地說，與排列組合、概率有關(guān)的試題，往往應(yīng)走“正繁則反”的道路，而一切否定式的命題，只要推倒了命題結(jié)論的反面，正面自然順理成章地成立.●對應(yīng)訓(xùn)練，直線y1=k (x1)不能垂直平分拋物線y2=x的某弦.、β∈(0, ), 且sin(α+β)=：αβ.bc0, 且a、b、c成等差數(shù)列，試證明：不能組成等差數(shù)列.：拋物線y=上不存在關(guān)于直線y=x對稱的兩點.●參考答案1．正難反收，先解決k為何值時，直線可以垂直平分該拋物線的某弦，再求它的補集，設(shè)弦兩端點為A(x1, y1), B(x2, y2), 那么:設(shè)直線l:y1=k(x1)垂直且平分AB, 則kAB=, 設(shè)AB之中點為M(x0, y0), ∴y1+y2=2y0, y0=, 又由y01= k(x01),得x0=, 而M在拋物線內(nèi)部.∴yx0, 即, 得∵k22k+20, ∴2x0, 即k∈(2, 0)時,直線l垂直平分拋物線y2=x的某弦，從而k∈(∞,2］∪［0,+∞)時,直線l不能垂直平分拋物線y2=x的某弦.≮β,必（1）α=β, 此時有sin2α=2sinα.α、β∈(0, )時，sinα≠0, 必有cosα=1, 這與α∈(0, )矛盾。f (y) (即2x+y =2x奇=偶,∴xa|=1.選D者，沒有考慮到（1，0）與x軸平行.【評說】 本題三個假支的設(shè)計，其質(zhì)量很高，各有各的錯因，相信各有各的“選擇人”.●對應(yīng)訓(xùn)練(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),又f(3)=0,則{x|x3xln32p,∴|AB|=|y1y2|=4p.顯然，滿足|OQ|=|AB|,此時Q、H重合,∴點Q在⊙H上.如直線AB與x軸不垂直，設(shè)直線AB：y=tanα(x2p),x=,代入：y=tanα（x）≥0從而有f (0)+ f (2) ≥2 f (1)的函數(shù)是A. f（x）= (x1)3 B. f（x）= (x1) C. f（x）= (x1) D. f（x）= (x1)［解析］ 對A，f (0)= 1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求；對B，f (0)無意義； 對C，f (0)= 1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求；答案只能是D. 對D， f (0)= 1， f (1) =0，f (2)=1.且f 162。2016高考數(shù)學(xué)解題方法第1計 芝麻開門 點到成功●計名釋義七品芝麻官，說的是這個官很小，就是芝麻那么小的一點. 《阿里巴巴》用“芝麻開門”，講的是“以小見大”. 就是那點芝麻，竟把那個龐然大門給“點”開了. 數(shù)學(xué)中，以點成線、以點帶面、兩線交點、三線共點、還有頂點、焦點、極限點等等，這些足以說明“點”的重要性. 因此，以點破題，點到成功就成了自然之中、情理之中的事了. ●典例示范［例題］將楊輝三角中的每一個數(shù)都換成分?jǐn)?shù)，就得到一個如下圖所示的分?jǐn)?shù)三角形，稱來萊布尼茨三角形. 從萊布尼茨三角形可以看出，其中 . 令，則 . ［分析］ 一看此題，圖文并舉，篇幅很大，還有省略號省去的有無窮之多，真乃是個龐然大物. 從何處破門呢？我們?nèi)匀辉凇包c”上打主意. 萊布三角形，它雖然沒有底邊，但有個頂點，我們就打這個頂點的主意. ［解Ⅰ］ 將等式與右邊的頂點三角形對應(yīng)（圖右），自然有 對此，心算可以得到：n =1，r =0，x=1對一般情況講，就是x = r+1 這就是本題第1空的答案. ［插語］ 本題是填空題，只要結(jié)果，不講道理. 因此沒有必要就一般情況進行解析，而是以點帶面，點到成功. 要點明的是，這個頂點也可以不選大三角形的頂點. 因為三角形中任一個數(shù)，都等于對應(yīng)的“腳下”兩數(shù)之和，所以選擇任何一個“一頭兩腳”式的小三角形，都能解出x = r+1. 第2道填空，仍考慮以點帶面，先抓無窮數(shù)列的首項. ［解Ⅱ］ 在三角形中先找到了數(shù)列首項，并將和數(shù)列 中的各項依次“以點連線”（圖右實線），實線所串各數(shù)之和就是an . 這個an，就等于首項左上角的那個. 因為在向下一分為二進行依次列項時，我們總是“取右舍左”，而舍去的各項（虛線所串）所成數(shù)列的極限是0. 因此得到 這就是本題第2空的答案. ［點評］ 解題的關(guān)鍵是“以點破門”，這里的點是一個具體的數(shù)，采用的方法是以點串線——三角形中的實線，實線上端折線所對的那個數(shù)就是問題的答案. 事實上，三角形中的任何一個數(shù)（點）都有這個性質(zhì). 例如從這個數(shù)開始，向左下連線（無窮射線），所連各數(shù)之和（的極限）就是這個數(shù)的左上角的那個數(shù). 用等式表示就是 ［鏈接］ 本題型為填空題，若改編成解答題，那就不是只有4分的小題，而是一個10分以上的大題. 有關(guān)解答附錄如下. ［法1］ 由知，可用合項的辦法，將的和式逐步合項. ［法2］ 第二問實質(zhì)上是求萊布尼茨三角形中從第三行起每一行的倒數(shù)的和，即根據(jù)第一問所推出的結(jié)論只需在原式基礎(chǔ)上增加一項，則由每一行中的任一數(shù)都等于其“腳下”兩數(shù)的和，結(jié)合給出的數(shù)表可逐次向上求和為，故，從而［法3］ （2）將代入條件式，并變形得取令得 ， … … … 以上諸式兩邊分別相加，得 ［說明］ 以上三法，都是對解答題而言. 如果用在以上填空題中，則是殺雞動用了牛刀. 為此我們認(rèn)識到“芝麻開門，點到成功”在使用對象上的真正意義. ●對應(yīng)訓(xùn)練1．如圖把橢圓的長軸AB分成8份，過每個分點作x軸的垂線交橢圓的上半部分于P1，P2，…，P7七個點，F(xiàn)是橢圓的一個焦點，則|P1F|+|P2F|+……+|P7F|=_______.2．如圖所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，P，Q分別是側(cè)棱AA1，CC1上的點，且A1P=CQ，則四棱錐B1—A1PQC1的體積與多面體ABC—PB1Q的體積比值為 . ●參考解答1．找“點”——橢圓的另一個焦點F2. 連接P1F2 、P2F2 、…、P7F2，由橢圓的定義FP5+P5 F2 = 2a =10如此類推FP1+P1F2 = FP2 + P2F2 = … =FP7 + P7F2 = 710 = 70由橢圓的對稱性可知，本題的答案是70的一半即35.2．找“點”——動點P、Q的極限點. 如圖所示，令A(yù)1P = CQ = 0. 即動點P與A1重合，動點Q與C重合.則多面體蛻變?yōu)樗睦忮FC—AA1B1B，四棱錐蛻化為三棱錐C—A1B1C1 .顯然V棱柱.∴∶=于是奇兵天降——答案為.［點評］ “點到成功”的點，都是非一般的特殊點，它能以點帶面，揭示整體，制約全局. 這些特殊點，在沒被認(rèn)識之前，往往是人們的盲點，只是在經(jīng)過點示之后成為亮點的. 這個“點”字，既是名詞，又是動詞，是“點亮”和“亮點”的合一.第2計 西瓜開門 滾到成功●計名釋義比起“芝麻”來，“西瓜”則不是一個“點”，而一個球. 因為它能夠“滾”，所以靠“滾到成功”. 球能不斷地變換碰撞面，在滾動中能選出有效的“觸面”.數(shù)學(xué)命題是二維的. 一是知識內(nèi)容，二是思想方法. 基本的數(shù)學(xué)思想并不多，只有五種：①函數(shù)方程思想，②數(shù)形結(jié)合思想，③劃分討論思想，④等價交換思想，⑤特殊一般思想. 數(shù)學(xué)破題，不妨將這五種思想“滾動”一遍，