【正文】 總有一種思想方法能與題目對上號.●典例示范［題1］ 對于R上可導的任意函數f（x），若滿足（x－1）f 162。（x）≥0，并由此可以判定f (0)+ f (2) ≥ f (1). 自然，有這種性質的具體函數是很多的，我們希望再找到一些這樣的函數.［變題］ 以下函數f (x)，具有性質(x1) f 162。y2=4p2,y=177。(2)求二面角P—DB—C的大小.●參考答案： (1){an}的各項是f(x)展開式中各項的系數，故其各項和Sn=f(1).(2)可以預見:f展開式的各項是系數成等差，字母成等比的綜合數列，這種數列的求和方法是“錯項相減”.(3)f的解析式必含變量n,為判斷其范圍可考慮用求導法判斷其單調性.解答： (1)∵f(1)=a1+a2+…+an=n2,即Sn=n2,∴an=SnSn1=2n1,=；(2)由(1)知an=2n1.∴f=1 ① ②①②:f = == =1設g(x)=,∵g′(x)=3x+(x+1).故b=().【評說】 本題涉及解三角方程，并確定解答區(qū)間，這不是一個小題的份量.【錯解】 選A者,誤在(a，選C者,誤在|（）又奇f (y),且當x0時，f (x)1,那么當x0時，一定有 （ ）A．f (x)1 f (x)0 (x)1 f (x)1【思考1】 本題是一個抽象函數,破題之處在于取特殊函數,一點動眾.設f (x)=2x, 顯然滿足f (x+y)=f (x)g(x)0. 選B.點評 無須弄清圖（1）、圖（2）到底表示什么函數，不必要也不可能僅憑已有的圖像信息去“精確描繪”y=f (x)dmax=1時，結論也成立.【點評】 找尋對等關系,挖掘命題中元素之間的對等關系，常能找到簡潔的解題思路.【例5】 已知x、y、z∈R, x+y+z=1，求證:x2+y2+z2≥【解答】 =, 則α+β+γ=0, 所以x2+y2+z2=(當且僅當α=β=γ=0，即x=y=z=時“=”成立).【點評】 運用等價代換,運用等價代換作切入點探究解題思路，是中學數學的重要技能.●對應訓練，橢圓內有一定點A(2,), F是橢圓的右焦點，試求|MA|+2|MF|的最小值，并求這時點M的坐標. (x)=ax, 其中a0. 求a的取值范圍，使函數f (x)在區(qū)間［0,+∞)上是單調函數.，已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|,點E分有向線段所成的比為λ，雙曲線過C,D,E三點，且以A，B為，求雙曲線離心率e的取值范圍. 第3題圖、b0,并且a+b=1,求證：5．如圖所示，三棱柱ABC—A1B1C1中，側面ABB1A1的面積為S，側棱CC1到此面的距離為a，求這個三棱柱的體積. 第5題圖●參考答案1．解析 挖掘隱含條件的數量關系即可與結論中線段|MF|的系數之間的數量關系，作MB垂直于右準線l，垂足為B，即|MB|=2|MF|, 所以|MA|+2|MF|=|MA|+|MB|. 第1題解圖易知點M在線段AB上時，|MA|+2|MF|取最小值8，這時點M的坐標為（2）. 探究a的值，應倒過來思考.設x1x2, 且xx2∈［0,+∞),f (x1) f (x2)= (x1x2)=16+16+0=0.即⊥，也就是⊥. 第1題解圖已知OH⊥面AD1P，∴AP⊥D1O(三垂線定理)（Ⅲ）在DD1上取||=1，有Q(0,0,1)，作QR⊥AD1于R，∵RQ∥AB，∴PQ∥面ABD1，∵AB⊥面AA1D1D，∴AB⊥QR，則QR⊥面ABD1，QR之長是Q到平面ABD1的距離，∵S△ADQ =||2x1=0.關于2x的方程中，恒有Δ=y2+40. ∴y∈R ①真.∵y1=2x, y2=都是R上的增函數，∴y=y1+y2=2x2也是R上的增函數，②真.∵f (x)=22x = (2x2)=f (x),∴當x∈R時，恒有f (x)+f (x)=0（即f (x)為R上的奇函數) ③真.【點評】 高考試題中的小題，已出現了多項選擇的苗頭，其基本形式如本例所示，多選題中的正確答案可能都是，也可能不都是，還有可能都不是（這種形式多反映在選擇題中，其正確答案為零個）.由于許多考生的思維定勢是以為多選題只有“不都是”一種情況，往往難以相信“都是”或“都不是”.這也是這種題型的陷阱所在.正確的對策：不受選項多少的干擾，只要你能證明某項必真則選，否則即不選.本例是“全選”（即“都是”）的題型.●對應訓練，且橢圓上至少有21個不同的點Pi (i=1,2,3,…),使|FP1|，|FP2|,|FP3|,…,組成公差為d的等差數列，則d的取值范圍是 .●參考答案：a=, b=, c=1.∴e =,設Pi的橫坐標為xi, 則|FPi|=(7xi), 其中右準線x=7.∵|FPn|=|FP1|+(n1)d. ∴d=∵|x1xn|≤2, ∴|d|≤. 已知n≥21, ∴|d|≤, 但d≠0.∴d∈［，0)∪(0，］.點評：本題有兩處陷溝，一是d≠0, 二是可以d0, 解題時考生切勿疏忽.第11計 耗子開門 就地打洞●計名釋義《說唐》，困在木陽城，沿著鼠洞挖去，并題詩曰：鼠郎個小本能高，日夜磨牙得寶刀，唯恐孤王難遇見，宮門鑿出九條槽.龐大的數學寶庫也是眾多的“數學耗子”，前1萬個質數就是這些耗子們一個個啃出來的，七位數字對數表也是這樣啃出來的.數學解題，當你無計可施，或者一口難吞時，那就決定“啃”吧.●典例示范【例1】 已知f (x)=，判定其單調區(qū)間.【分析】 用求導法研究單調性當然可行，但未必簡便，直接從單調定義出發(fā)，循序漸進，也可將“單調區(qū)間”啃出來.【解答】 設x1x2，f (x1)f (x2)= .【插語】 x1，x2都在根號底下，將“分子有理化”.【續(xù)解】 [KF（S]3[]12x1[KF)][KF(S]3[]12x2[KF)]=易知=△0.故有原式=0.故f (x)= 的增區(qū)間為（∞,+∞).【點評】 耗子開門是一個“以小克大，以弱克強”的策略.，可靠，只要有“啃”的精神，則可以透過形式上的繁雜看到思維上的清晰和簡捷.【例2】 .（Ⅰ）求ξ的分布列； （Ⅱ）求ξ的數學期望；（Ⅲ）求“所選3人中女生人數ξ≤1”的概率.【思考】 本題設問簡單，方向明確，無須反推倒算，只要像耗子開門，牙啃立功就是了.【解答】 （Ⅰ）6人中任選3人，其中女生可以是0個，1個或2個，P（ξ=0）=。,C=105176。奇(偶)=偶.數形結合是解題的常用技巧,對于某些題目,做題時無需精確作圖,只要勾畫出圖象的大體結構,作出草圖即可.2.【分析】 ,，.【通解】 考查有條件限制的排列問題，其中要求部分元素間的相對順序確定：據題意由于丁必須在丙完成后立即進行，故可把兩個視為一個大元素，先不管其它的限制條件，使其與其他四人進行排列共有A種排法，在所有的這些排法中，甲、乙、丙相對順序共有A種，故滿足條件的排法種數共有=20.【正解】 5個元素設作A,B,（C,D）,x,:第一類,x,y相連,在A,B,（C,D）之間或兩頭插位,有2C=8種方法.第二類,x,y不連,在A,B,（C,D）之間或兩頭插位,有2C=12種方法.【評說】 先分類:“相連”與“不連”為完全劃分；后分步：第1步組合，第2步排列，也是完全劃分.【另解】 5個元素設作A，B，（C，D），x,b,(c,d),e,f.第1步考慮元素x到位，有5種可能；第2步考慮元素y到位，有4種可能；第3步，A，B，（C，D）按順序到位，只1種可能.由乘法原理，方法總數為54=20種.【評說】 “另解”比“正解”簡便，在留下的3個位置上，A，B，（C，D）按序到位情況只1種.——這點，一般學生不易想通.【別解】 設所求的排法總數為x種，在每1個排好的隊列中，取消A，B，（C，D）3元素的限序，則有xP3=P5x==54=20.【評說】 別解也是“想得好，算得省”，用的是乘法原理P5=5P4=20P3.第6計 勇士開門 手腳咚咚●計名釋義一個婦女立在衙門前的大鼓旁邊，在哭. ：“我敲鼓半天了，衙門還不開.”勇士說：“你太斯文，這么秀氣的鼓捶，能敲出多大聲音？你看我的！”說完，勇士撲向大鼓，拳打腳踢. 一會兒，果然衙門大開，衙役們高呼：“有人擊鼓，請老爺升堂！”考場解題，何嘗不是如此：面對考題，特別是難題，斯文不得，秀氣不得，三教九流，不拘一格. 唯分是圖，雅的，俗的，一并上陣.●典例示范【例1】 已知x,y∈, a∈R，且,則cos (x+2y)的值為 ( ) 【思考】 代數方程中滲入了三角函數，不可能用初等方法“正規(guī)”，能否通過適當的變形使之由“形似”到“神似”呢？解：由條件得：∴x,2y是方程t3+sint2a=0之二根.【插語】 這是勇士之舉，采用手腳并用，誰會想到用方程根來解決它呢?設f (t)=t3+sint2a. 當t∈時，均為增函數，而2a為常數.∴上的單調增函數.∵f (x)= f (2y)=0.∴只能x=2y,即x+2y= (x+2y)=1. 選B.【點評】 想到方程根使所給2個式子合二為一，是本題一個難點之一；判斷函數是單調函數又是一個難點.【例2】 已知向量a= (cosθ,sinθ),向量b=(,1) ， 則 |2a b| 的最大值、最小值分別是( ),0 ,2 ,0 ,0【解答】 如圖，點A(cosθ,sinθ)在圓上運動時，延OA到C，使==2a, 求的最值，顯然.當與反向時有最大值4,與同向時有最小值0. ∴選D.【點評】 本例 解題思想很簡單，誰不知道“三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”呢， 例2題解圖為求極值，我們的勇士勇敢地到極地——當△BOC不復存在時，才有可能取得.【例3】 設f (x), g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數，當x0時，f′(x)g(x)+f (x)g′(x)0，且g(3)=0, 則不等式f (x)g(x)0的解集是 ( )A.(3,0)∪(3,+∞) B.(3,0)∪(0,3)C.(∞,3)∪(3,+∞) D.(∞,3)∪(0,3)【解答】 設F(x)= f (x)g(x), 當x0時，∵F′(x)= f′(x)g(x)+f (x)g′(x)0.∴F(x)在R上為增函數.∵F(x)= f (x)g (x)=f (x)f(x)為偶函數,∴不等式xb=,將A代入不滿足題意,所以答案只能為B.【評說】 本題通過三次篩選才得出正確答案,思維量很大,到A、B選項時還需動手計算，真是淘盡黃沙始是金??！【另解】 設b=(cosα,sinα),則a時，⊙H的半徑為2p,S⊙H=4πp2.當α≠90176。［分析］ “最值”涉及函數，“等式”連接方程，函數方程思想最易想到.［解一］ （函數方程思想運用）令 y = k (x5) 與方程聯立消y，得： 根據x的范圍應用根的分布得不等式組：解得 即 ≤≤ 即所求的最小值為，最大值為.［插語］ 解出≤≤，談何易！十人九錯，早就應該“滾開”，用別的思想方法試試.［解二］ （數形結合思想運用）由得橢圓方程 ，0看成是過橢圓上的點（x，y），(5，0)的直線斜率（圖右）.聯立 得 令得，故 的最小值為，最大值為.［插語］ 這就是“滾動”的好處，解二比解一容易多了. 因此，滾動開門，不僅要善于“滾到”，還要善于“滾開”.［點評］ “西瓜開門”把運動學帶進了考場解題. 滾動能克服解題的思維定勢.解題時，要打破思維固化，在思想方法上要“滾動”，在知識鏈接上要“滾動”，在基本技能技巧上也要“滾動”. 總之，面對考題，在看法、想法和辦法上要注意“滾動”.●對應訓練(x,y)，且lgy，lg|x|，lg成等差數列，則動點P的軌跡應為圖中的