【正文】 (e xPqyypy nx???????設(shè)特解為 ，)( xQ n是單特征根?，)( xxQ n是二重特征根?，xxQy ?e)(??其中 ，)(2 xQx n代入原方程 , 來確定 Q(x). * ( ) kx ny x e Q x??上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 例 2? 求微分方程 y???5y??6y?xe2x的通解 ? 這里 Pm(x)?x? ??2? 與所給方程對應(yīng)的齊次方程為 y???5y??6y?0? 它的特征方程為 r2?5r ?6?0? 特征方程有兩實根 r1?2? r2?3? 于是齊次方程的通解為 Y?C1e2x?C2e3x? 由于 ??2是特 征 方程的單根 ? 所以特解應(yīng)設(shè)為 y*?x(b0x?b1)e2x? 解 : 把 代入所給方程 ? 得 ?2b0x?2b0?b1?x? 比較兩端 x同次冪的系數(shù) ? 得 ?2b0?1? 2b0?b1?0? 由此求得 210 ??b ? b 1 ? ? 1 ? 于是求得所給方程的一個特解為 xexxy 2)121(* ??? ? 從而所給方程的通解為 xxx exxeCeCy 223221 )2(21 ???? ? 首頁* ( ) kx ny x e Q x??? ?2201 xy b x b x e? ??解 對應(yīng)齊次方程通解 特征方程 ,0962 ??? rr特征根 ，32,1 ?r.e)( 321 xxCCY ??求微分方程 xxyyy 3e96 ?????? 的通解 . 因為 3?? 是二重特征根 , 故設(shè)特解為 ? ? xbaxxy 32 e??? , xbax ?? 26 , 解得 0,61?? ba , 所以特解 xxy 33 e61?? , 即原方程的通解為 xx xxCCy 33321 e61e)( ??? . 代入原方程 得 例 6 * ( ) kx ny x e Q x??上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 解 2 。的通解求方程 xxyy ?????2( ) 0 2 ( ( ) ( ) ) x nf x x x n f x e P x??? ? ? ? ?， ， 。對應(yīng)的齊次方程的特征方程為 2 1 0 r ?? ，特征根為 1 , 2 i .r ??對應(yīng)的齊次方程的通解為 s i nc o s 21 。xCxCy ?? 0 ，原方程有特解＝不是特征根，故取由于 k? * 2120 ，bxbxby ???將它代入原方程，得 2 221200 ，xxbxbxbb ????? * ( ) kx ny x e Q x???請同學(xué)們自己算 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 比較兩邊同類項的系數(shù)，得 10 ，?b 11 ，?b 02 20 ，?? bb 10 ，?b 11 ，?b 2 2 ，??b故原方程有一特解為 2* 2 。??? xxy綜上所述，原方程的通解為 2s i nco s* 221 。??????? xxxCxCyyy 2 221200 ，xxbxbxbb ?????解 * 2120 ，bxbxby ??? 2 。的通解求方程 xxyy ?????請同學(xué)們自己算 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 解 32 。的通解求方程 xeyyy ???????( ) 1 0 ( ( ) ( ) ) xx nf x e n f x e P x???? ? ? ? ?， ， 。對應(yīng)的齊方程的特征方程為 2 2 3 0 rr? ? ? ，特征根為 123 1 .rr? ? ?，對應(yīng)的齊次方程的通解為 231 。xx eCeCy ??? 1 ，原方程有特解＝是單特征根，故取由于 k?將它代入原方程，得 請同學(xué)們自己算 * ( ) kx ny x e Q x???上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 上式即 14 0 ，?? b 410 ，??b故原方程有一特解為 41* 。xexy ???綜上所述，原方程的通解為 41* 231 。xxx exeCeCyyy ?? ?????解 32 。的通解求方程 xeyyy ???????請同學(xué)們自己算 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 設(shè) y1*(x)與 y2*(x)分別是方程 y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)與 y???P(x)y??Q(x)y?f2(x) 的特解 ? 那么 y1*(x)?y2*(x)的是方程 y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)?f2(x) 的特解 ? ?定理 4(非齊次方程的解的疊加原理 ) 簡要證明 : 這是因為 [ y1*?y2*]???P(x)[y1*?y2*]??Q(x)[y1*?y2*] ?[y1*???P(x)y1*??Q(x)y1*]?[y2*???P(x)y2*??Q(x)y2*] ?f1(x)?f2(x)? 結(jié)束上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 例 解 1332 。的通解求方程 ???????? ? xeyyy x 1332 ???????? ? xeyyy x 32 xeyyy ??????? 1332 ??????? xyyy 41*1 xexy ???31*2 ??? xy對應(yīng)的齊方程的通解為 231 。xx eCeCy ???綜上所述，原方程的通解為 3141* 231 。??????? ?? xexeCeCyyy xxx上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 y? [ c o s s i n ]kxx e A x B x? ????????k( ) [ c o s s i n ]xf x e a x b x? ???? 型i??? 不 是 的 根01二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 i??? 是 的 根 ( ) fy p y xqy?? ?? ? ?2 0r p r q? ? ?2 0r p r q? ? ?二選一 01,k ?? ??y? [ c o s s in ] ,kxx e A x B x? ????先選 0, 再選 １ . 解 求微分方程 xyy 8c o s????? 的通解 . 特征方程 02 ?? rr , 特征根 1,0?r , 所以對應(yīng)齊次方程的通解為 xCCxY e)(21 ?? . 設(shè)特解為 代入原方程 , 得 例 7 ，xbxay 8s i n8c o s ???，xxabxba 8c o s8s i n)864(8c o s)864( ????????????????08641864abba , 解得???????520/165/1ba, 即 ，xxy 8s i n5 2 018c o s651???? 所求 通解為 .)8s i n8c o s8(520 1e21 xxCCy x ????上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 解 求微分方程 xyyy x cose54 2??????? 的通解 . 例 8 設(shè)特解為 代入原方程 , 消去 x2e , 得 xxBxA c osc os2s i n2 ???? , ? 2/1,0 ??? BA , 所以 xxy x s i ne21 2??? . 特征方程 0542 ??? rr , 特征根 ir ?? 2 , 所以對應(yīng)齊次方程的通解為 )s i nc o s(e)(212 xCxCxY x ?? . )s i nc o s(e 2 xBxAxy x ???所求 通解為 .s i ne21)s i nco s(e 2212 xxxCxCy xx ???珍惜時間認真復(fù)習(xí) 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 ? ? 作業(yè) P188 2. (1)(2) 1. (6)(7) 4. 5.