【正文】 e ~Q?n知 即 . ~)/()(/)()(22220100 22?? ?????????nxxtn?nSxxnbxaY?).( . ~/)()( 283220100???????nxxtSxxn?bxaY? ).( ], /)( / 2 )( [ 29320220 xxn Sxxn?tY? ???? ???|| 0 xx ?xx ?0 由此可以得到 μ (x0)=a+bx0的置信水平為 1α 的置信區(qū)間為： 該置信區(qū)間的長度是 x0 函數(shù)，隨 的增加而增加，當 時最短。 或 0).( . ] /)( / 2 )( [ 3320220 xxn Sxxn?txb?a? ????? ??? Y 的觀察值的點預測和預測區(qū)間 若我們對指定點 x=x0 處因變量 Y 的觀測值 Y0 感興趣，然而在 x=x0 處并未對 Y 進行觀測，或無法觀察。這時，經(jīng)驗回歸函數(shù)的一個重要應用是 : 可利用它對因變量 Y 的觀察值 Y0進行 點預測和區(qū)間預測。 若 Y0 是在 x=x0 處對 Y 的觀測結果，由 ()式知道其滿足 Y0= a+bx0 + ε0, ε0 ~ N(0, ζ2). () 我們 用 Y 在 x0 處的經(jīng)驗回歸函數(shù)值 000 ??)(?? xbaxy ??? ?作為 Y0= a+bx0 + ε0 的點預測。 由于 Y 0是將要做的一次獨立試驗的結果，因此 , 它與已經(jīng)得到的結果 Y1,Y2,? ,Yn相互獨立。由 () 式，知 是 Y1, Y2, ? ,Yn 的線性組合。所以， 是 Y1, Y2, ? ,Yn的線性組合。故， Y0 與 相互獨立。 由此，得 b?)(?? 00 xxbYY ???0?Y? ?( 1) ~ 即, ])([ ~ 2.)1,0(/)(1?10?2010020100NSxxnYY /Sxxn,NYYxxxx???????????故， Y0的置信系數(shù)為 1α 的 預測區(qū)間為： , ~// 2222020100 )2(?)2()()(1??? ???????ntnnxxxxnYY???. ~ 即 2?? ????nxxtSxxnYY/)(1??2010?再由 (), ()式 , 得 ? ? ( 3 . 3 2 ) ,xxn SxxntY /)(1?)2/(? 20220 ??? ?? ???或 ? ? )( 3 . 3 2 . ????? ?? xxn Sxxntxba /)(1?)2/(?? 20220 ???區(qū)間的長度是 x0 的函數(shù)，隨 的增加而增加。 ||0 xx ?● Y0 =a+bx0 +ε0 的置信系數(shù)為 1α 的 預測區(qū)間為： 比較 () 與 () 后發(fā)現(xiàn)： ? ? ( 3 . 3 2 ) ,xxn SxxntY /)(1?)2/(? 20220 ??? ?? ??? ).( ], /)( / 2 )( [ 29320220 xxn Sxxn?tY? ???? ???● μ (x0)=a+bx0的置信水平為 1α 的置信區(qū)間為： 后者比前者寬。 這也符合常理。因為后者是 Y0 的預測區(qū)間， Y0 中多含了未知項 ε0 。多估計了未知項，區(qū)間自然地需加寬。 例 5 (續(xù)例 2)： (1) 求回歸函數(shù)在 x=125 處的值 μ (125)的 置信水平為 ； (2) 求 Y 在 x=125 處觀察 值 Y0 的置信水平為 。 解： 由前面的例，知 . ,3 98 5,8 25 0,7 39 3 ,4 83 0 ,1 45,1 25,1020????????????xyxx SSabxxn, 8 3 0 3 9 3 00 ??????? xbaY查表，得 tn2(α/2)。于是， . )(1?)2/( 2022 ???? ?? xxn Sxxnt ??,)(?)2( 2022/ ???? ? xxSxxnnt ??(1) 回歸函數(shù)在 x=125 處的值 μ (125)的置信水平為 的置信區(qū)間為： [177。 ]=[ , ]； (2) Y 在 x=125 處觀察值 Y0的置信水平為 間為： [177。 ]=[ , ]。 由 ()與 () 式，得 167。 多元線性回歸 在實際問題中，隨機變量 Y 往往與多個普通變量x1, x2, ? , xp ( p1)有關。對于自變量 x1, x2, ? , xp的一組確定值 , Y 都有確定的分布。若 Y 的數(shù)學期望存在 , 則它是 x1, x2, ? , xp的函數(shù)，記為 μ (x1, x2, …, xp), 它是Y 關于 x的回歸函數(shù)。在這里 , 僅討論 μ (x1, x2,? , xp)是 x1, x2,? , xp 的線性函數(shù)的情況 , 即多元線性回歸模型： 無關的未知參數(shù)。都是與其中 ppppxxxbbbNεεxbxbbY,,),0(,210210???211 ( 4 . 1 ) ~ ???????設 ( 4 . 2 )),(,),,( 21111211 nnpnnp yxxxyxxx ???似然法估計參數(shù)。們用最大性回歸的情況一樣，我是一個樣本。和一元線達到最小。時，，當記),(???( 4 . 3 ) .)(),(1011001211010pppniippiipbbbQbbbbbbxbxbbybbbQ???? ???????? ??( 4 . 4 ).,2,1,0)(2,0)(2,11101110010 ????????????????????????????????pjxxbxbbybQxbxbbybQbbbQniijippiijniippiip???? 于零，得的偏導數(shù)，并令它們等關于分別求化簡 ()式，得 ( 4 . 5 ).,1 1 1 1 12221101 1 1 1 111212211101 1 1 122110 ??????????????????????????? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?nininininiiipippiipiipipnininininiiiipipiiiininininiiippiiyxxbxxbxxbxbyxxxbxxbxbxbyxbxbxbnb????()式稱為 正則方程組 。為求解方便，將 ()式寫成矩陣方程的形式。為此，引入矩陣： . ???????????????????????????????????????????pnnpnnppbbbByyyYxxxxxxxxxX?????????1021212222111211,111 ??????????????????????????????npnnppnppppnxxxxxxxxxxxxxxxxxXX????????????????21222211121132113121111111111則， ?????????????????????????????????????niipniiipniipipniiniiniiniipniixxxxxxxxxxn121111112111111???????. ???????????????????????????????????????????????????????niiipniiiniinnppppnyxyxyyyyxxxxxxxxYX11112132113121111111??????????于是， ()式可寫成 )( 4 . 5 . ???? YXXBX這就是正規(guī)方程組的矩陣形式。在 ()′兩邊左乘 (設 存在 )，得到 () ′的解 1)( ??XX 1)( ??XX( 4 .6 ) )()?,?,?(? 110 .YXXXbbbB p ????? ??這就是我們要求的 ( )′的最大似然估計。 pbbb , 10 ?簡稱回歸方程。元經(jīng)驗線性回歸方程，稱為的估計。方程并將其作為，記pxbxbbyxbxbbxxxμxbxbbyppppppp ( 4 . 7 ) ????),(????11011021110????????????????例 1： 下面給出了某種產(chǎn)品每件平均單價 Y(元 )與批量 x(件 )之間的關系的一組數(shù)據(jù) 散點圖如下： ( 4 . 8 ) ),0(, 22210 ~ ????? NεεxbxbbY來擬合 Y 與 x 的關系?，F(xiàn)在來求回歸方程。 我們選取模型 ).,0()(222110221???????NεεxbxbbYxxxx ~ ，式可寫成，則，令這是一個二元線性回歸模型， .????????????????????????????????????????????????????????????????????????