屆一輪復習課件立體幾何6-空間空間向量及其運算-資料下載頁
2025-04-29 05:53本頁面
【正文】 ) 知 | a |＝ 2 ， | b |＝ 5 ， a b ＝－ 1 ， ∴ ( k a ＋ b ) ( k a － 2 b ) ＝ k2a2－ k a b － 2 b2 ＝ 2 k2＋ k － 10 ＝ 0 ，得 k ＝ 2 或 k ＝－52. ( 4) ∵ a ＋ b ＝ ( 0,1,2) ， a － b ＝ ( 2,1 ，－ 2) ， ∴ λ ( a ＋ b ) ＋ μ ( a － b ) ＝ (2 μ ， λ ＋ μ ， 2 λ － 2 μ ) ， ∵ λ ( a ＋ b ) ＋ μ ( a － b ) 與 z 軸垂直， ∴ (2 μ ， λ ＋ μ ， 2 λ － 2 μ ) ( 0,0,1) ＝ 2 λ － 2 μ ＝ 0 ，即當 λ ， μ 滿足關系λ － μ ＝ 0 時，可使 λ ( a ＋ b ) ＋ μ ( a － b ) 與 z 軸垂直． 【訓練 4】 如圖，四棱錐 SABCD中，AB∥ CD， BC⊥ CD，側面 SAB為等邊三角形． AB＝ BC＝ 2， CD＝ SD＝ 1. (1)證明： SD⊥ 平面 SAB； (2)求 AB與平面 SBC所成的角的正弦值． 本題可以通過計算邊邊關系證明 SD⊥ 平面 SAB，第 2問也可作出 AB與平面 SBC所成的角，利用解三角形來計算，但這種方法必須加輔助線，且易找錯角，故考慮用向量法，建立恰當?shù)目臻g直角坐標系是解題關鍵． [ 解答示范 ] 以 C 為坐標原點，射線 CD 為 x 正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標系 C x y z . 設 D (1,0,0 ) ，則 A (2,2,0 ) 、 B (0,2,0 ) ． 又設 S ( x ， y ， z ) ，則 x ＞ 0 ， y ＞ 0 ， z ＞ 0. (1) 證明 A S→＝ ( x － 2 ， y － 2 ， z ) ， BS→＝ ( x ， y － 2 ， z ) ， DS→＝ ( x－ 1 ， y ， z ) ，由 |AS→|＝ |BS→|得 ? x － 2 ?2＋ ? y － 2 ?2＋ z2＝ x2＋ ? y － 2 ?2＋ z2， 故 x ＝ 1. 由 |DS→|＝ 1 得 y2＋ z2＝ 1 ， 又由 |BS→|＝ 2 得 x2＋ ( y － 2)2＋ z2＝ 4 ， 即 y2＋ z2－ 4 y ＋ 1 ＝ 0 ，故 y ＝12， z ＝32. 于是 S????????1 ，12，32， AS→＝????????－ 1 ，－32，32， BS→＝????????1 ，－32，32，DS→＝????????0 ，12，32， DS→ AS→＝ 0 ， DS→ BS→＝ 0 ，故 DS ⊥ AS ， DS ⊥BS ，又 AS ∩ BS ＝ S ，所以 SD ⊥ 平面 SAB . (6 分 ) (2) 解 設平面 SBC 的法向量 a ＝ ( m ， n ， p ) ，則 a ⊥ BS→， a ⊥CB→， ∴ a BS→＝ 0 ， a CB→＝ 0. 又 BS→＝????????1 ，－32，32， CB→＝ (0,2,0 ) ， 故????? m －32n ＋32p ＝ 0 ，2 n ＝ 0.(9 分 ) 取 p ＝ 2 得 a ＝ ( － 3 ， 0,2) ． 又 AB→＝ ( － 2,0,0) ， c os 〈 AB→， a 〉＝AB→ a|AB→| | a |＝217. 故 AB 與平面 SBC 所成角的正弦值為217. ( 12 分 ) 直線和平面的位置關系可以利用直線的方向向量和平面的法向量之間的關系來判斷．證明的主要思路是： (1) 證明線線平行：可證兩條直線的方向向量共線； (2) 證明 線面平行 ： ① 證明直線的方向向量和平面的法向量垂直， ② 證明直線的方向向量可用平面內(nèi)的兩個不共線向量線性表示； (3)證明面面平行：可證兩個平面的法向量共線； (4) 證明線線垂直：可證兩條直線的方向向量垂直； (5) 證明線面垂直： ① 證明直線的方向向量和平面內(nèi)的兩個不共線向量垂直， ② 證明直線的方向向量與平面的法向量共線； (6) 證明面面垂直：可證兩個平面的法向量互相垂直． 1．向量的分解是用空間向量證明有關問題的常用方法，分解的依據(jù)是向量的加法、減法及實數(shù)與向量的積，而與之相聯(lián)系的是線段的倍 (分 )關系． 2．證明四點共面問題常轉化為證明有公共頂點的四個向量滿足共面向量定理，即 且 x＋ y＋ z＝ 1?P、 A、 B、 C共面．證明三點共線問題亦可轉化為具有公共頂點的三個向量的 “ 共面向量定理的形式 ” ，即 且 x＋ y＝ 1?P、 A、 B共線． OCzOByOAxOP ???OByOAxOP ??3．空間向量數(shù)量積在判斷或證明垂直，求夾角、長度等方面比幾何方法有較明顯的優(yōu)勢，必須掌握好． 4．空間直角坐標系的建立，使空間的點坐標化，也使幾何問題代數(shù)化，利用空間向量的坐標運算解決立體幾何問題 (證明、計算 )就有一定的規(guī)律可循．
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