【正文】 的兩塊是3和4；下面一塊，6的對(duì)面是1，4的對(duì)面是3，看不見(jiàn)的兩塊是5和2.于是5個(gè)看不到的面上的數(shù)字的乘積是 13452=120.，把一個(gè)立方體分割成55個(gè)小立方體（分得的立方體大小可以不相同）.解：把立方體分割成33=27個(gè)立方體，再把其中4個(gè)各分成23=8個(gè)立方體，共274+48=55個(gè)立方體.評(píng)注：對(duì)于本題，現(xiàn)在有下列一般的結(jié)論：一個(gè)立方體可以分割成n個(gè)立方體，這里 n = 1,28,15,20,22,27,29,34,36,38,39,41,43,45,46及大于47的整數(shù)。一個(gè)立方體能否分割成47個(gè)立方體，這還是一個(gè)沒(méi)有解決的問(wèn)題.例8雨嘩嘩地不停地下著。如在雨地里放一個(gè)如圖1那樣的長(zhǎng)方體的容器，雨水將它注滿要用1小時(shí)。有下列A—E不同的容器（圖2），雨水注滿這些容器各需多長(zhǎng)時(shí)間？　分析 題中“雨嘩嘩地不停地下著”這一條件，也可以理解為雨均勻地下。（這與日常生活中的降雨略有不同，生活中降雨可能會(huì)時(shí)大時(shí)小，并不均勻。）雨水從敞口部分垂直落入到容器內(nèi)，我們就可以把“敞開(kāi)面”（即圖中所示的陰影面）叫做“接雨面”。圖中所示的長(zhǎng)方體容器，“接雨面”與底面大小相同，雨水將它下滿需要1小時(shí)，也就是說(shuō)1小時(shí)后該容器內(nèi)雨水的深度是10cm。如果容器的高度不止10cm，而是無(wú)限的，那么2小時(shí)后容器內(nèi)雨水的深度將會(huì)是2cm，以后每過(guò)1小時(shí)雨水的深度就會(huì)增加10cm；如果在長(zhǎng)方體容器中垂直放入一個(gè)很薄的擋板（其厚度忽略不計(jì)），將大容器分成兩個(gè)小容器（如圖所示）。小容器的“接雨面”變小了，但每個(gè)小容器的“接雨面”與底面大小仍然相同。那么1小 時(shí)后，每個(gè)小容器內(nèi)雨水的深度還是10cm。（因?yàn)楹雎粤藫醢宓暮穸?，它不占原?lái)長(zhǎng)方體容器的容積。）通過(guò)上述分析與假設(shè)，我們可得出如下結(jié)論：只要容器的“接雨面”與底面大小相同，1小時(shí)后容器內(nèi)雨水的深度就是10cm。 解　根據(jù)結(jié)論，觀察圖2所示的五種容器。其中A、B、E三種容器的“接雨面”與底面大小相同。　A容器高10cm，雨水下滿該容器需要1小時(shí)；　B容器高30cm，雨水下滿該容器需要3小時(shí)；E容器高20cm，雨水下滿該容器需要2小時(shí)?！　∈Ｏ翪、D兩種容器，它們的“接雨面”與底面大小不同，可先將其轉(zhuǎn)化為“接雨面”與底面大小相同的容器（如圖所示）。此時(shí)，C容器的高變?yōu)?0cm，雨水下滿需3小時(shí)；D容器的高變?yōu)?5cm。 第11講 幾何圖形計(jì)數(shù)知識(shí)方法掃描計(jì)數(shù)是組合數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，計(jì)數(shù)的方法有分類(lèi)法，分步法，遞推法和與對(duì)應(yīng)法等。1．分類(lèi)計(jì)數(shù) 在計(jì)數(shù)時(shí)，為了做到不重復(fù)也不遺漏，可以先將圖形按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分類(lèi)，然后將其每一類(lèi)相的方法數(shù)加，便得到了總數(shù)。這種方法叫做分類(lèi)法。2．分步計(jì)數(shù)在計(jì)數(shù)時(shí)，為了有序地思維，我們常將其分成若干步，然后將其每一步的方法數(shù)相乘，便得到了總數(shù)。這種方法叫做分步法。3．遞推計(jì)數(shù)為了求出計(jì)數(shù)的總數(shù)，當(dāng)所研究的對(duì)象數(shù)目較大時(shí)，我們常常對(duì)較小數(shù)量的對(duì)象進(jìn)行觀察，計(jì)算。如果對(duì)研究對(duì)象的個(gè)數(shù)n觀察，計(jì)算后，發(fā)現(xiàn)由n=1的結(jié)果可以算出n=2的結(jié)果，由n=2的結(jié)果可以算出n=3的結(jié)果，等等，我們就找到了計(jì)數(shù)的規(guī)律。這種方法叫做遞推法。 4．對(duì)應(yīng)計(jì)數(shù)在解決某些計(jì)數(shù)問(wèn)題時(shí)，為了解決某個(gè)問(wèn)題A，我們將其中的研究對(duì)象和另一個(gè)問(wèn)題B中的研究對(duì)象配成對(duì)，通過(guò)解決B問(wèn)題來(lái)達(dá)到解決A問(wèn)題的目的。這種方法叫做對(duì)應(yīng)法經(jīng)典例題解析例1．如圖，直線上有6個(gè)點(diǎn)：A，B，C，D，E，F(xiàn)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段有多少條？解1 對(duì)于兩條線段，只要有一個(gè)端點(diǎn)不同，就是不同的線段，我們以左端點(diǎn)為標(biāo)準(zhǔn)，將線段分5類(lèi)分別計(jì)數(shù)：(1)以A為左端點(diǎn)的線段有AB，AC，AD，AE，AF共5條；(2)以B為左端點(diǎn)的線段有BC，BD，BE，BF共4條；(3)以C為左端點(diǎn)的線段有CD，CE，CF共3條；(4)以D為左端點(diǎn)的線段有DE，DF共2條；(5)以E為左端點(diǎn)的線段只有EF一條．所以，不同的線段一共有5+4+3+2+1=15(條)．解2 因?yàn)槊績(jī)牲c(diǎn)可以連一條線段，我們先取一點(diǎn)，有6種取法；再取第二點(diǎn)，有5種取法。故一共有65=30種取法。但因先取A點(diǎn)再取B點(diǎn)和先取B點(diǎn)再取A點(diǎn)得到的是同一條線段，在上述計(jì)數(shù)中被重復(fù)計(jì)算了，故實(shí)際上是30247。2=15種取法，即一共可以連45條線段。評(píng)注：1．一般地，如果一條線段上有n+1個(gè)點(diǎn)(包括兩個(gè)端點(diǎn))，那么這n+1個(gè)點(diǎn)把這條線段一共分成的線段總數(shù)為n+(n1)+…+2+1=。2．有些題目，形式上和上題不同，但思維方式是一樣的。如下面一道題：“ n 個(gè)人參加6個(gè)小組, 如果其中每個(gè)人都參加且只參加 2 個(gè)小組, 每2個(gè)小組共有且僅共有一名組員,求 n.?！比魧?個(gè)小組看成6個(gè)點(diǎn)，每?jī)牲c(diǎn)的連線就是這兩個(gè)小組的公共組員，于是n就是這樣連接成的直線的條數(shù)了。例2 如圖DE、FG、HI、BC分別平行, 圖中梯形的個(gè)數(shù)一共有 個(gè). 解：按照梯形兩腰所在線段分類(lèi)計(jì)數(shù). (1)平行線截線段AB與AC形成3+2+1=6(個(gè))梯形；(2)平行線截線段BD與CD形成2+1=3(個(gè))梯形；(3)平行線截線段BF與FC形成(1)個(gè)梯形；(4)平行線截線段CD與CE形成2+1＝3(個(gè))梯形；(5)平行線截線段CF與CG形成1(個(gè))梯形；(6)平行線截線段CF與CJ形成1(個(gè))梯形；因此圖中梯形的個(gè)數(shù)一共有 6+3+1+3+1+1＝15(個(gè)). 例3 由35個(gè)單位正方形組成的長(zhǎng)方形中，如圖所示有兩個(gè)“A”，問(wèn)包含兩個(gè)“A”在內(nèi)的由小正方形組成的長(zhǎng)方形（含正方形）有多少？解1 含兩個(gè)A的長(zhǎng)方形，與二，三兩行有公共部分。 它們可能與第一行有公共部分，也可能與第一行沒(méi)有有公共部分，故可以分為兩類(lèi)； 每一類(lèi)的長(zhǎng)方形，可能和第四，五兩行有公共部分，或都沒(méi)有公共部分，或僅與第四行有公共部分，而與第五行沒(méi)有公共部分，即又分為三類(lèi)。故從行考慮共有（23）種方法； 同理，從列來(lái)考慮有（34）種方法；于是，含兩個(gè)“A”在內(nèi)的由小正方形組成的長(zhǎng)方形（含正方形）有（23）（34）=72個(gè)。解2 要確定一個(gè)符合條件的長(zhǎng)方形，需要有上下左右四條邊。選擇上邊所在的直線，有2種方法；選擇下邊所在的直線，有3種方法；選擇左邊所在的直線，有3種方法；選擇右邊所在的直線，有4種方法。于是，含兩個(gè)“A”在內(nèi)的由小正方形組成的長(zhǎng)方形（含正方形）有2334=72個(gè)。例4．如圖，在一個(gè)88的方格棋盤(pán)中，有多少個(gè)由4個(gè)小方格組成的“凸”字形圖形？解法1 考慮下圖“凸”字形中的A：當(dāng)A在方格棋盤(pán)的邊上時(shí)，對(duì)應(yīng)1個(gè)“凸”字形，共有64=24個(gè)；當(dāng)A在方格棋盤(pán)的內(nèi)部時(shí)，對(duì)應(yīng)4個(gè)“凸”字形，共有664=144個(gè)。于是共有24+144=168個(gè)。解法2 在每個(gè)23的長(zhǎng)方形中可以找到2個(gè)“凸”字形圖形。而在88方格棋盤(pán)中23的長(zhǎng)方形有（67）2=48（個(gè)）。所以可以找到842=168個(gè)“凸”字形圖形。例5如圖，a∥b,直線a上有十個(gè)點(diǎn)：A1，A2，…，A10；直線b上有九個(gè)點(diǎn)：B1，B2，…，B9。將a上的每一個(gè)點(diǎn)與b上每一個(gè)點(diǎn)相連，可以得到許多線段，已知沒(méi)有三條線段交于一點(diǎn)，問(wèn)這些線段一共有多少個(gè)交點(diǎn)？解．在a,b上各取兩點(diǎn)，四點(diǎn)確定唯一的一個(gè)交點(diǎn)。從a上取兩點(diǎn)有109247。2=45種方法，從b上取兩點(diǎn)有98247。2=36種方法，一共可以得到4536=3240個(gè)交點(diǎn)。例6．如圖，將邊長(zhǎng)為1的等邊三角形三角形的每一邊4等分, 過(guò)各分點(diǎn)作另外兩邊的平行線,在所得的圖形中有多少個(gè)平行四邊形?解1 將尖角向上的平行四邊形分成三類(lèi),分別計(jì)算:平行四邊形兩邊長(zhǎng)都為1的, 有6個(gè)。 平行四邊形一邊長(zhǎng)為1, 另一邊長(zhǎng)為2的, 有6個(gè)。 平行四邊形兩邊長(zhǎng)都為3的, 有3個(gè)。 一共有15個(gè). 同理, 夾角指向右下方或左下方的也各有15個(gè), 故一共有45個(gè)平行四邊形.解2 圖中每個(gè)平行四邊形有一對(duì)銳角頂點(diǎn), 它們不在同一條直線上。 反過(guò)來(lái), 任何兩個(gè)不在同一條直線上的點(diǎn)可確定一個(gè)邊與△ABC的兩條邊分別平行的平行四邊形. 圖中共有1+2+3+4+5=15個(gè)交點(diǎn),共有1+2+…+14=105個(gè)點(diǎn)對(duì). 其中兩點(diǎn)在同一直線上的應(yīng)該刪去. 因平行于AB的直線上依次有2,3,4,5個(gè)點(diǎn), 從而共應(yīng)刪去3[1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)]=60個(gè)點(diǎn)對(duì). 故圖中共有10560=45個(gè)平行四邊形.評(píng)注 解1是分類(lèi)計(jì)數(shù)的, 這種解法比較煩瑣, 當(dāng)數(shù)字較大時(shí)容易出錯(cuò), 且不易推廣到一般. 解2是利用對(duì)應(yīng)法來(lái)解題的, 即找出點(diǎn)對(duì)的個(gè)數(shù)和平行四邊形個(gè)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系, 將對(duì)平行四邊形計(jì)數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)點(diǎn)對(duì)的計(jì)數(shù)問(wèn)題來(lái)解決. 這種解法容易推廣到一般, 本題中若將三角形的每一邊n等分, 則平行四邊形的個(gè)數(shù)是 (n1)n(n+1)(n+2).，我們規(guī)定在邊長(zhǎng)為1的正方形方格紙上，從格點(diǎn)O到與它相鄰的格點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H的直線運(yùn)動(dòng)形成的線段分別記為數(shù)碼0，1，2，3，4，5，6，7。如以O(shè)為始點(diǎn)，數(shù)碼2代表線段OC，數(shù)碼7代表線段OH等等，在圖2中畫(huà)出了從P點(diǎn)出發(fā)，依次按數(shù)碼001223355的軌線圖形。請(qǐng)你在圖3的邊長(zhǎng)為1的正方形方格紙上，從點(diǎn)M出發(fā)，依次按數(shù)碼006756442312畫(huà)出相應(yīng)的軌線圖形，以這軌線圖形周界和內(nèi)部的格點(diǎn)為頂點(diǎn)，可畫(huà)出面積不小于2的正方形的個(gè)數(shù)是 個(gè)。 （圖1） （圖2） （圖3）解．006756442312所對(duì)應(yīng)的軌線圖形為下圖中的粗線所表示的封閉折線。在這個(gè)圖形的邊界上有12個(gè)格點(diǎn)，內(nèi)部有5個(gè)格點(diǎn)。這17個(gè)點(diǎn)可以形成面積不小于2的正方形頂點(diǎn)的四點(diǎn)組13個(gè)，其中：①面積為2的5個(gè)；②面積為4的3個(gè)；③面積為5的4個(gè)；④面積為8的1個(gè)。，畫(huà)1條直線，能把平面分成1 + 1=2部分；畫(huà)2條直線，最多能把平面分成1 + 1+2=4部分；畫(huà)3條直線，最多能把平面分成1 + 1+2+3=7部分；畫(huà)4條直線，最多能把平面分成1 + 1+2+3+4=11部分；……照此規(guī)律計(jì)算下去，畫(huà)2003條直線，最多能把平面分成___________部分.解 1條直線最多將平面分成2個(gè)部分；2條直線最多將平面分成4個(gè)部分；3條直線最多將平面分成7個(gè)部分；4條直線最多將平面分成11個(gè)部分．現(xiàn)在添上第5條直線．它與前面的4條直線最多有4個(gè)交點(diǎn)，這4個(gè)交點(diǎn)將第5條直線分成5段，其中每一段將原來(lái)所在平面部分一分為二，所以5條直線最多將平面分成11+5=16個(gè)部分．完全類(lèi)似地，5條直線最多將平面分成11+5=16個(gè)部分；6條直線最多將平面分16+6=22個(gè)部分；7條直線最多將平面分成22+7=29個(gè)部分；8條直線最多將平面分成29+8=37個(gè)部分等等． 一般地，n條直線最多將平面分成1+（1+2+3+…+n）=個(gè)部分． 當(dāng)n=2003時(shí), =1+20031002=2007007即2003條直線，最多能把平面分成2007007部分.第12講 線段和角知識(shí)方法掃描直線上兩點(diǎn)間的部分叫線段，關(guān)于線段的性質(zhì)，有線段的公理：在所有連結(jié)兩點(diǎn)的線中，線段最短。即：兩點(diǎn)之間，線段最短。從一點(diǎn)引出的兩條射線組成的圖形叫做角，角也可以看作是一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后得到的。 本節(jié)的重點(diǎn)是線段與角的度量與計(jì)算。代數(shù)方法是線段與角的計(jì)算的主要方法。經(jīng)典例題解析例1． C是線段AB的中點(diǎn), D是線段CB上的一點(diǎn)，如圖所示。若所有線段的長(zhǎng)度都是正整數(shù)，且線段AB所有可能長(zhǎng)度的乘積等于140，則線段AB所有可能長(zhǎng)度的和等于 。解 設(shè)線段CB的長(zhǎng)度為x，則x≥2，AB=2x≥4，于是AB是偶數(shù)。又140=2257，且140是線段AB所有可能的線段長(zhǎng)度數(shù)的乘積，所以AB=10或14，故線段AB所有可能長(zhǎng)度的和等于24。例2．如圖, A是直線上的一個(gè)點(diǎn),請(qǐng)你在A點(diǎn)的右側(cè)每隔1厘米取一個(gè)點(diǎn),共取三個(gè)點(diǎn),那么：(1)用B、C、D三個(gè)字母任意標(biāo)在所取的三個(gè)點(diǎn)上, 一共有 種不同的標(biāo)法. (2)在每種標(biāo)法中, AB+BC+CD的長(zhǎng)度與AD的長(zhǎng)度的比分別是 . 解：(1)將B、C、D三個(gè)字母任意標(biāo)在所取的三個(gè)點(diǎn)上, 第一個(gè)點(diǎn)有3種標(biāo)法, 第二個(gè)點(diǎn)有2種標(biāo)法, 第三個(gè)點(diǎn)只有1種標(biāo)法, 所以共有321＝6(種)不同的標(biāo)法. (2)下面是6種不同的標(biāo)法： ①中, (AB+BC+CD)：AD＝(1+1+1)：3＝1：1；②中, (AB+BC+CD)：AD＝(1+2+1)：2＝2：1；③中, (AB+BC+CD)：AD＝(2+1+2)：3＝5：3；④中, (AB+BC+CD)：AD＝(3+2+1)：2＝3：1；⑤中, (AB+BC+CD)：AD＝(2+1+2)：1＝5：1；⑥中, (AB+BC+CD)：AD＝(3+1+1)：1＝5：1；由此, 在每種標(biāo)法中, AB+BC+CD的長(zhǎng)度與AD的長(zhǎng)度的比分別為1：1或2：1或5：3或3：1或5：1或5：1.例3．一個(gè)角的補(bǔ)角的等于它的余角，則這個(gè)角等于______度。解 設(shè)這個(gè)角為x度，則(180x)=90x, 解得x=.例4．如圖是一個(gè)33的正方形,則圖中∠1+∠2+∠3+…+∠9的度數(shù)應(yīng)該是 ________ . 解: 從圖中可以看出：∠3=∠5=∠7=45186。，∠1+∠9=90186。，∠2+∠6=90186。，∠4+∠8=90 186。，故∠1+∠2+∠3+…+∠9=405186。例5．現(xiàn)已知有兩個(gè)角，銳角