【正文】 過了6x度，而時針轉(zhuǎn)過了x176。兩人騎自行車的速度都是每小時15千米。 解. 設(shè)甲步行 x千米，騎車y千米，則乙騎車x千米，步行y千米。此外，將一個立體圖形按不同的要求分割成一些小的立體圖形，也是我們要探討的內(nèi)容。 故n＝4或5. 除掉已油漆的單位立方體后, 剩下未漆的構(gòu)成一個長方體, 設(shè)其和長寬高為a, b, c, 則abc＝45, 且a, b, c≤5, 故只能是335＝45, 即n＝5, 它的四個面油漆過. 故選D。其余20個小正方體至少有一面被涂黑了。(1)如果搭建的幾何體由9個小正方體木塊構(gòu)成,試畫出左面看這個幾何體所得到的所有可能的平面圖形(1)中的方法,在圖2的六個正方形中分別填上適當?shù)恼麛?shù),結(jié)合圖1,顯然所填的六個正整數(shù)之和最大為11有下列A—E不同的容器（圖2），雨水注滿這些容器各需多長時間？　分析 題中“雨嘩嘩地不停地下著”這一條件，也可以理解為雨均勻地下。如果容器的高度不止10cm，而是無限的，那么2小時后容器內(nèi)雨水的深度將會是2cm，以后每過1小時雨水的深度就會增加10cm；如果在長方體容器中垂直放入一個很薄的擋板（其厚度忽略不計），將大容器分成兩個小容器（如圖所示）。）通過上述分析與假設(shè)，我們可得出如下結(jié)論：只要容器的“接雨面”與底面大小相同，1小時后容器內(nèi)雨水的深度就是10cm?！　∈Ｏ翪、D兩種容器，它們的“接雨面”與底面大小不同，可先將其轉(zhuǎn)化為“接雨面”與底面大小相同的容器（如圖所示）。這種方法叫做分類法。如果對研究對象的個數(shù)n觀察，計算后，發(fā)現(xiàn)由n=1的結(jié)果可以算出n=2的結(jié)果，由n=2的結(jié)果可以算出n=3的結(jié)果，等等，我們就找到了計數(shù)的規(guī)律。故一共有65=30種取法。2．有些題目，形式上和上題不同，但思維方式是一樣的。 它們可能與第一行有公共部分，也可能與第一行沒有有公共部分，故可以分為兩類； 每一類的長方形，可能和第四，五兩行有公共部分，或都沒有公共部分，或僅與第四行有公共部分，而與第五行沒有公共部分，即又分為三類。于是，含兩個“A”在內(nèi)的由小正方形組成的長方形（含正方形）有2334=72個。而在88方格棋盤中23的長方形有（67）2=48（個）。從a上取兩點有109247。 平行四邊形一邊長為1, 另一邊長為2的, 有6個。如以O(shè)為始點，數(shù)碼2代表線段OC，數(shù)碼7代表線段OH等等，在圖2中畫出了從P點出發(fā)，依次按數(shù)碼001223355的軌線圖形。這17個點可以形成面積不小于2的正方形頂點的四點組13個，其中：①面積為2的5個；②面積為4的3個；③面積為5的4個；④面積為8的1個。 本節(jié)的重點是線段與角的度量與計算。解 設(shè)線段CB的長度為x，則x≥2，AB=2x≥4，于是AB是偶數(shù)?！?+∠9=90186。例5．現(xiàn)已知有兩個角，銳角?！?+∠8=90 186。例2．如圖, A是直線上的一個點,請你在A點的右側(cè)每隔1厘米取一個點,共取三個點,那么：(1)用B、C、D三個字母任意標在所取的三個點上, 一共有 種不同的標法. (2)在每種標法中, AB+BC+CD的長度與AD的長度的比分別是 . 解：(1)將B、C、D三個字母任意標在所取的三個點上, 第一個點有3種標法, 第二個點有2種標法, 第三個點只有1種標法, 所以共有321＝6(種)不同的標法. (2)下面是6種不同的標法： ①中, (AB+BC+CD)：AD＝(1+1+1)：3＝1：1；②中, (AB+BC+CD)：AD＝(1+2+1)：2＝2：1；③中, (AB+BC+CD)：AD＝(2+1+2)：3＝5：3；④中, (AB+BC+CD)：AD＝(3+2+1)：2＝3：1；⑤中, (AB+BC+CD)：AD＝(2+1+2)：1＝5：1；⑥中, (AB+BC+CD)：AD＝(3+1+1)：1＝5：1；由此, 在每種標法中, AB+BC+CD的長度與AD的長度的比分別為1：1或2：1或5：3或3：1或5：1或5：1.例3．一個角的補角的等于它的余角，則這個角等于______度。經(jīng)典例題解析例1． C是線段AB的中點, D是線段CB上的一點，如圖所示。即：兩點之間，線段最短。 （圖1） （圖2） （圖3）解．006756442312所對應的軌線圖形為下圖中的粗線所表示的封閉折線。 一共有15個. 同理, 夾角指向右下方或左下方的也各有15個, 故一共有45個平行四邊形.解2 圖中每個平行四邊形有一對銳角頂點, 它們不在同一條直線上。2=36種方法，一共可以得到4536=3240個交點。例5如圖，a∥b,直線a上有十個點：A1，A2，…，A10；直線b上有九個點：B1，B2，…，B9。于是共有24+144=168個。解2 要確定一個符合條件的長方形，需要有上下左右四條邊?！比魧?個小組看成6個點，每兩點的連線就是這兩個小組的公共組員，于是n就是這樣連接成的直線的條數(shù)了。2=15種取法，即一共可以連45條線段。 4．對應計數(shù)在解決某些計數(shù)問題時，為了解決某個問題A，我們將其中的研究對象和另一個問題B中的研究對象配成對，通過解決B問題來達到解決A問題的目的。這種方法叫做分步法。 第11講 幾何圖形計數(shù)知識方法掃描計數(shù)是組合數(shù)學的重要內(nèi)容，計數(shù)的方法有分類法，分步法，遞推法和與對應法等。其中A、B、E三種容器的“接雨面”與底面大小相同。那么1小 時后，每個小容器內(nèi)雨水的深度還是10cm。）雨水從敞口部分垂直落入到容器內(nèi)，我們就可以把“敞開面”（即圖中所示的陰影面）叫做“接雨面”。一個立方體能否分割成47個立方體，這還是一個沒有解決的問題.例8雨嘩嘩地不停地下著。(1)在圖2的六個小正方形內(nèi),分別填入適當?shù)恼麛?shù),用它們分別表示在該處的正方體的個數(shù),結(jié)合1的要求,有兩種填法：由上二圖知,從左面看這個幾何體所得的平面；圖形有兩種可能： 將這些正立方體排列如下圖，試求號碼2對面寫的數(shù)字。2=36（條）.綜上所述，多面體的面數(shù)、頂點數(shù)和棱數(shù)之和為20+18＋36＝74.評注：關(guān)于多面體的頂點數(shù)（V），棱數(shù)（E），面數(shù)（F），數(shù)學家歐拉曾給出一個公式（歐拉公式）：V＋FE＝2. 根據(jù)歐拉公式，知道上例多面體的面數(shù)和頂點數(shù)之后，棱數(shù)便可求得：E=V＋F2=20＋182=36（條）.例3 將27個大小相同的小正方體組成一個大正方體，現(xiàn)將大正方體各面上的某些小方格涂上黑色，如圖所示，而且上與下、前與后、左與右相對兩個面上的涂色方式相同，這時，至少有一個面上涂有黑色的小正方體的個數(shù)是（ ）（A） 18 （B） 20 （C） 22 （D） 24解 從圖中可以看出大正方體正面中心的一個小正方體，以及它后面的兩個小正方體（共3個）沒有被涂黑，頂面中間一排左右兩個小正方體，及其地面相對應的兩個小正方體沒有被涂黑。那么大立方體被涂過油漆的面數(shù)是（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4解. 設(shè)大立方體棱長為n, 顯然n＞3。我們既要會將一個立體圖形展開得到它的各個面，也要會將一個平面圖形折疊起來，想象出它的立體形狀。走了一段路程后，乙放下車步行，甲走到乙放車處改騎自行車，以后不斷交替行進，兩人恰好同時到達B地。所以可列方程；，解得x=，所以選（D）。 兩人第一次相遇時，甲跑 ，乙跑，乙跑完第一圈時甲跑完一圈多，第二次相遇處甲距出發(fā)點注意甲跑第二圈的方向和第一圈相反，所以兩次相遇的地點相差（如圖）從而 s=400(米)例7 上午9點鐘的時候，時針與分針成直角，那么下一次時針與分針成直角的時間是（ ）（A）9時30分 （B）10時5分 （C）10時分 （D）9時分分析與解 時鐘問題實際是行程問題中的追及問題，分針每分鐘轉(zhuǎn)6176。解： 設(shè)順流速度為每小時x千米，依題意得方程，x=18，故船在靜水中的速度為（18+12）247。解：設(shè)汽車速度為a米/秒，小宏速度為b米/秒，根據(jù)題意得 兩式相減得 12a=72b 即a=6b 代入可得x=5評注：行程問題常分為同向運動和相向運動兩種，相遇問題就是相向運動，而追及問題就是同向運動。分析：此題包括了行程問題中的相遇與追及兩種情況。據(jù)題設(shè)，得，解得（小時）.（2）共有人參加裝卸工作，由于每隔小時增加一人，因此最后一人比第一人少干小時，按題意，得，即. 解此不定方程得，即參加的人數(shù)或3或4或5或7或13.第9講 一元一次方程的應用（2）知識方法掃描 行程問題是應用問題中常見而又重要的一類，它大體可以分為以下幾類：追及相遇問題（包括時鐘問題），順流逆流問題，環(huán)行問題等，其基本關(guān)系式是：速度時間=路程。亮13的人心中想的數(shù)是122（16x），即為8+x，依等量關(guān)系列方程為：解得x=l0.答：亮5的人心中想著的數(shù)是10.例7 有一滿池水,池底有泉總能均勻地向外涌流,已知用24部A型抽水機6天可抽干池水,若用21部A型抽水機8天可抽干池水,設(shè)每部抽水機單位時間的抽水量相同,要使這一池水永抽不干,至多只能用幾部抽水機抽水?解. 設(shè)滿池水為v升,每天泉水產(chǎn)生a升,用n部A型抽水機,則,解得a=,每天每部抽水機的抽水量為升,因而 即至多只能用12部抽水機抽水。例4. 中學生運動會五羊賽區(qū)男女運動員比例為19：12。例2．某人走進一家商店，進門付1角錢，然后在店里購物花掉當時他手中錢的一半，走出商店又付1角錢，之后，他走進第二家商店付1角錢，在店里花掉當時手中錢的一半，走出商店付1角錢，他又走進第三家商店付1角錢，在店里花掉當時他手中錢的一半，出店付1角錢，最后，他走進第四家商店付1角錢，在店里花掉當時他手中錢韻一半，出店付1角錢，這時他一分錢也沒有了，該人原有錢的數(shù)目是 角．，他在進第二家商店前花掉了角，剩下角；他在進第三家商店前花掉了角，剩下角；進第四家商店前剩下角，因在第四家商店后一分錢也不剩了，故解得（角）．評注：本題可以逆推出結(jié)果，因在第四家商店購物花掉當時的一半錢后，只剩一角錢，故在進第四家商店前只剩1+21=3角錢，依此逆推得結(jié)果，例3. 一罐咖啡甲乙兩人一起喝10天喝完，甲單獨喝則需12天喝完；一斤茶葉兩人一起喝12天喝完，乙單獨喝則需20天喝完。一個月后，甲工程完成，而乙工程的剩余量剛好夠一個工人一個月的工作量。整體思想。 應用題目涉及的類型很多，有些比較復雜的問題，設(shè)直接或間接未知數(shù)都很難解決，而此時設(shè)輔助未知數(shù)，依題意就能列出方程或方程組，從而解決問題目。設(shè)間接未知數(shù)。例8 滿足方程 2 006的所有x的和為( )． 解 即 因為 所以由(2)得 即由(4)得或即原方程有兩個解，所有解的和是第8講 一元一次方程的應用（1）知識方法掃描 應用題是數(shù)學競賽題中的熱門題型,它涉及的數(shù)學知識較多,綜合性強,解法靈活,是開發(fā)學生智力,增強應用數(shù)學意識,培養(yǎng)學生分析解決問題的能力、邏輯思維能力和創(chuàng)造能力的好素材。（2）當a=b=0時，方程的解為任意數(shù)；（3）當a=0，b≠0時，方程無解。含有一個未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)為一次的整式方程稱為一元一次方程，任何一個一元一次方程總可以化為ax=b(a≠0)的形式，這是一元一次方程的最簡形式。11｜(3x7y+12z)例7 一個五位數(shù)，若前三個數(shù)字表示的三位數(shù)與后二個數(shù)字表示的兩位數(shù)的和能被11整除，判斷這個五位數(shù)能否被11整除，并說明理由。 11｜4(3x7y+12z)又例6 (I) x,y 均為整數(shù), 若 5│(x+9y),求證: 5│(8x+7y).(II) x,y,z 均為整數(shù),若11│(7x+2y5z), 求證: 11│(3x7y+12z).(注：a|b 表示整數(shù)b能被整數(shù)a整除)證明 （I）因為5│(x+9y), 故5│(2x+18y)，又顯然5│(10x+25y)，而8x+7y=(10x+25y) (2x+18y)，所以 5│(8x+7y).（II）∵ 4(3x7y+12z)+3(7x+2y5z)=11(3x2y+3z)而解：將這組單項式按上述法則排序，, , , , , , , , ，. 所以應排在第8位例4．小敏購買4種數(shù)學用品：計算器、圓規(guī)、三角板、量角器的件數(shù)和用錢總數(shù)列下表： 品名件數(shù)計算器圓規(guī)三角板量角器總錢數(shù)第一次購件數(shù)134578第二次購件數(shù)157998則4種數(shù)學用品各買一件共需__________元. 解 設(shè)計算器、圓規(guī)、三角板、量角器每件價分別為x,y,z,u元，則有 x+3y+4z+5u=78 (1) x+5y+7z+9u=98 (2)(1)2(2)得 x+y+z+u=58, 即4種數(shù)學用品各買一件共需58元。3. 靈活地去（添）括號 括號前面去掉（或添上）“+”號，括號里各項都不變；括號前面去掉（或添上）“”號，括號里各項都變號， 若有多層括號，去括號有三種方法：一是可以從里向外去；二是可以從外向里去；三是可以里外同時去，同時在去括號后，在不影響計算結(jié)果的前提下，也可以邊去括號邊合并同類項，從而簡化計算，經(jīng)典例題解析例1 同時都含有字母a，b，c，且系數(shù)為1的7次單項式共有( )．(A)4個 (B) 12個 (C) 15個 (D) 25