【正文】 又140=2257，且140是線段AB所有可能的線段長度數(shù)的乘積，所以AB=10或14，故線段AB所有可能長度的和等于24。 平行四邊形兩邊長都為3的, 有3個(gè)。故從行考慮共有（23）種方法； 同理，從列來考慮有（34）種方法；于是，含兩個(gè)“A”在內(nèi)的由小正方形組成的長方形（含正方形）有（23）（34）=72個(gè)。2．分步計(jì)數(shù)在計(jì)數(shù)時(shí)，為了有序地思維，我們常將其分成若干步，然后將其每一步的方法數(shù)相乘，便得到了總數(shù)。（這與日常生活中的降雨略有不同，生活中降雨可能會時(shí)大時(shí)小，并不均勻。例2 如下圖所示，剪一塊硬紙片可以做成一個(gè)多面體的紙模型（沿虛線折，沿實(shí)線粘）.這個(gè)多面體的面數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)和棱數(shù)的總和是多少？解：從展開圖可以看出，粘合后的多面體有12個(gè)正方形和8個(gè)三角形，共20個(gè)面.　　這個(gè)多面體上部的中間是一個(gè)正三角形，這個(gè)正三角形的三邊與三個(gè)正方形相連，這樣上部共有9個(gè)頂點(diǎn)，多面體的頂點(diǎn)總數(shù)為 92=18（個(gè)）.　　在20個(gè)面的邊中，虛線有19條，兩條實(shí)線表示一條棱，所以多面體的總棱數(shù)為　　19＋34247。后又成直角，這時(shí)分鐘比時(shí)針多轉(zhuǎn)180176。如果公共汽車與小宏行進(jìn)的速度都是均勻的，則x等于 分鐘。答：這個(gè)工程隊(duì)有8個(gè)工人。 應(yīng)用題往往題目較長，要讀懂題意，找出已知和末知，緊抓題目中的等量關(guān)系，直接設(shè)末知數(shù)，通過等量關(guān)系列出方程或方程組，從而解決問題。第6講 整式的概念和整式的加減知識方法掃描整式的概念1. 單項(xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式．2．單項(xiàng)式由數(shù)與字母的積組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式，單獨(dú)一個(gè)字或數(shù)也是單項(xiàng)式． 單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)，單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)和叫做單項(xiàng)式的次數(shù)3． 多項(xiàng)式幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式．在多項(xiàng)式中的每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式項(xiàng)，其中，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)．一個(gè)多項(xiàng)式有幾項(xiàng)就叫做幾項(xiàng)式，次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)就叫做多項(xiàng)的次數(shù).把一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)按照某一個(gè)字母的指數(shù)從大到?。ɑ驈男〉酱螅┑捻樞蚺帕薪凶鼋担ɑ蛏﹥缗帕蟹ǎ降募訙p1．同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)，幾個(gè)常數(shù)也是同類項(xiàng)．2．合并同類項(xiàng)：把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，即把它們的系數(shù)相加作為新的系數(shù)，而字母部分不變，叫做合并同類項(xiàng)．整式的加減實(shí)際就是合并同類項(xiàng)。求證：現(xiàn)在有兩個(gè)互相攻擊。所以，至少存在這樣一個(gè)座位，上，下午坐的是甲，乙不同學(xué)校的學(xué)生。例8電子跳蚤落在數(shù)軸上的某點(diǎn)k0,第一步從k0向左跳1個(gè)單位到k1,第二步由k1向右跳2個(gè)單位到k2,第三步由k向左跳3個(gè)單位到k3,第四步由k3向右跳4個(gè)單位到k4,…,按以上規(guī)律跳了100步時(shí)，．則電子跳蚤的初始位置k0點(diǎn)所表示的數(shù)是 。于是有15 x1+ x4=10， 8 x2+ x1=10，5 x3+ x2=10，12 x4+ x3=10。解：原式=（－）+（－）－（－）= 0， 故填0。先讓圓周上數(shù)字0所對應(yīng)的點(diǎn)與數(shù)軸上的數(shù)1所對應(yīng)的點(diǎn)重合，再讓數(shù)軸逆時(shí)針方向繞在該圓上，那么數(shù)軸上的數(shù)2006將與圓周上數(shù)字 重合。例3．文具店、書店和玩具店依次坐落在一條東西走向的大街上，文具店在書店西邊20米處，玩具店位于書店東邊100米處，小明從書店沿街向東走了40米，接著又向東走了60米，此時(shí)小明的位置在 ( ) (A)文具店． (B)玩具店． (C)文具店西邊40米． (D)玩具店東60米．解 選（A）． 由題意可以畫出下圖： 因?yàn)?，向東走了60米就是向西走了60米．所以，小明從書店向東走了40米，再向西走60米，結(jié)果是小明的位置在書店西邊20米，也就是文具店的位置， 例4 如下圖所示，在數(shù)軸上有六個(gè)點(diǎn)，且AB=BC=CD=DE=EF，則與點(diǎn)C所表示的數(shù)量接近的整數(shù)是（ ）（A） 1 （B） 0 （C） 1 （D） 2 解 選C。從中可取前4個(gè)數(shù)0，1，2，3， 其中任何兩個(gè)點(diǎn)的 距離都不等于4。這就需要探究絕對值符號內(nèi)的數(shù)的正負(fù)，分類討論，往往是必須的。有理數(shù)運(yùn)算是中學(xué)數(shù)學(xué)中一切運(yùn)算的基礎(chǔ)。證法1：由于13張牌中的點(diǎn)數(shù)有7個(gè)奇數(shù)，6個(gè)偶數(shù)，所以當(dāng)紅、黑牌配成13對后，至少有一對數(shù)的奇偶性相同，這對數(shù)的差是偶數(shù)，于是這13對數(shù)的差的積必為一個(gè)偶數(shù)。也就是說，不在直線l上的Ai(i=1,2,…,2007)與Ai關(guān)于直線 l對稱點(diǎn)Ai’成對出現(xiàn)，即平面上標(biāo)出的點(diǎn)的總數(shù)應(yīng)是偶數(shù)個(gè)，與點(diǎn)的總數(shù)2007相矛盾。例3．如圖是一個(gè)長為a，寬為b的矩形．兩個(gè)陰影圖形分別是一對長為c的底邊在矩形對邊上的一個(gè)平行四邊形和一個(gè)矩形．則矩形中未涂陰影部分的面積為（ ）（A）ab(a+b)c．（B）ab(ab)c．（C）(ac)(bc)．（D）(ac)(b+c)．解：將圖形沿左右、上下平移后，可以得到一個(gè)長為(ac)，寬為 (bc)的長方形，其面積為(ac) (bc)，這也就是未涂陰影部分的面積。例6 (I) x,y 均為整數(shù), 若 5│(x+9y),求證: 5│(8x+7y).(II) x,y,z 均為整數(shù),若11│(7x+2y5z), 求證: 11│(3x7y+12z).(注：a|b 表示整數(shù)b能被整數(shù)a整除)證明 （I）因?yàn)?│(x+9y), 故5│(2x+18y)，又顯然5│(10x+25y)，而8x+7y=(10x+25y) (2x+18y)，所以 5│(8x+7y).（II）∵ 4(3x7y+12z)+3(7x+2y5z)=11(3x2y+3z)而（2）當(dāng)a=b=0時(shí)，方程的解為任意數(shù)；（3）當(dāng)a=0，b≠0時(shí)，方程無解。整體思想。亮13的人心中想的數(shù)是122（16x），即為8+x，依等量關(guān)系列方程為：解得x=l0.答：亮5的人心中想著的數(shù)是10.例7 有一滿池水,池底有泉總能均勻地向外涌流,已知用24部A型抽水機(jī)6天可抽干池水,若用21部A型抽水機(jī)8天可抽干池水,設(shè)每部抽水機(jī)單位時(shí)間的抽水量相同,要使這一池水永抽不干,至多只能用幾部抽水機(jī)抽水?解. 設(shè)滿池水為v升,每天泉水產(chǎn)生a升,用n部A型抽水機(jī),則,解得a=,每天每部抽水機(jī)的抽水量為升,因而 即至多只能用12部抽水機(jī)抽水。解： 設(shè)順流速度為每小時(shí)x千米，依題意得方程，x=18，故船在靜水中的速度為（18+12）247。我們既要會將一個(gè)立體圖形展開得到它的各個(gè)面，也要會將一個(gè)平面圖形折疊起來，想象出它的立體形狀。(1)在圖2的六個(gè)小正方形內(nèi),分別填入適當(dāng)?shù)恼麛?shù),用它們分別表示在該處的正方體的個(gè)數(shù),結(jié)合1的要求,有兩種填法：由上二圖知,從左面看這個(gè)幾何體所得的平面；圖形有兩種可能： 其中A、B、E三種容器的“接雨面”與底面大小相同。2=15種取法，即一共可以連45條線段。例5如圖，a∥b,直線a上有十個(gè)點(diǎn)：A1，A2，…，A10；直線b上有九個(gè)點(diǎn)：B1，B2，…，B9。即：兩點(diǎn)之間，線段最短。例5．現(xiàn)已知有兩個(gè)角，銳角。這17個(gè)點(diǎn)可以形成面積不小于2的正方形頂點(diǎn)的四點(diǎn)組13個(gè)，其中：①面積為2的5個(gè)；②面積為4的3個(gè)；③面積為5的4個(gè)；④面積為8的1個(gè)。而在88方格棋盤中23的長方形有（67）2=48（個(gè)）。故一共有65=30種取法。）通過上述分析與假設(shè)，我們可得出如下結(jié)論：只要容器的“接雨面”與底面大小相同，1小時(shí)后容器內(nèi)雨水的深度就是10cm。(1)如果搭建的幾何體由9個(gè)小正方體木塊構(gòu)成,試畫出左面看這個(gè)幾何體所得到的所有可能的平面圖形 解. 設(shè)甲步行 x千米，騎車y千米，則乙騎車x千米，步行y千米。例4 一條船航行于A，B兩碼頭之間，順流行駛40分鐘還差4千米到達(dá)；逆流行駛需小時(shí)到達(dá)。已知男子象棋運(yùn)動員比女子藝術(shù)體操運(yùn)動員多30人，那么最后運(yùn)動員總?cè)藬?shù)為（ ）（A）7000 （B）6860 （C） 6615 （D）6370解 男女運(yùn)動員比例從 19：12=380：240變?yōu)?0：13=380：247；再變?yōu)?0：19=390：247，于是可設(shè)男運(yùn)動員原有380x人，女運(yùn)動員原有240x人；那么最后男女運(yùn)動員人數(shù)變?yōu)?90x人和247x人,依題意得（390x380x） ( 247x240x) = 30解得 x=10,所以最后運(yùn)動員總?cè)藬?shù)為（390+247）10=6370故選D。圖形、表格分析法。使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做方程的解，也叫做方程的根。經(jīng)驗(yàn)算，只有一個(gè)是錯(cuò)誤的，這個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)果是（ ）（A）x=1時(shí)y=1 （B）x=3時(shí)y=5 （C）x=6時(shí)y=25 （D）x=8時(shí)y=50解 若四式成立,則有: (3)(2), 得: 27a+6b=20, 此式左邊是3的倍數(shù),而右邊不是3的倍數(shù),所以在(2),(3)兩式中必有一式錯(cuò)誤。例2 濃度為p%的鹽水m公斤與濃度為q%的鹽水n公斤混合后的溶液濃度是（ ）（A）（B）（C）（D）解 濃度為p%的鹽水m公斤中含鹽mp%公斤，濃度為q%的鹽水n公斤中含鹽nq%公斤，混合溶液共(m+n)公斤，含鹽(mp%+nq%)公斤，所以濃度是。解 假設(shè)這2007個(gè)點(diǎn)都不在直線l上。甲取13張紅桃，乙取 13張黑桃，分別洗和后甲、乙依次各取個(gè)各一張牌，使紅、黑牌配成13對。（4）A1校調(diào)往A2校 5臺，A2校調(diào)往A3校 3臺，A4校調(diào)往A3校 2臺。應(yīng)選（A）。 若D或E是紅色的 ，則題目的結(jié)論顯然成立； 若D與E都是藍(lán)色的，則D，C，E同色且C是DE的中點(diǎn)，題目的結(jié)論也成立. 例8．如圖，數(shù)軸上標(biāo)有2n+1個(gè)點(diǎn)，它們對應(yīng)的整數(shù)是n, (n1), …,2,1,0,1,2,…,n1,n為了確保從這些點(diǎn)中可以任取2006個(gè)，而且其中任何兩個(gè)點(diǎn)之間的距離都不等于4，則n的最小值是 。2．有理數(shù)的分類（1） （2）3. 數(shù)軸 規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、長度單位的有向直線叫做數(shù)軸 建立了數(shù)軸后，就可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)，原點(diǎn)表示的數(shù)是0，正有理數(shù)用原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示，負(fù)有理數(shù)用原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示，所有的有理數(shù)都可在數(shù)軸上找到對應(yīng)的點(diǎn).數(shù)軸上的兩個(gè)有理數(shù)中，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，因此有理數(shù)大小比較的規(guī)律是：正數(shù)大于0，零大于一切負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù).4．相反數(shù)只有符號不同的兩個(gè)數(shù)叫互為相反數(shù)，其中一個(gè)數(shù)叫另一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，0的相反數(shù)是0. 互為相反數(shù)的和為0，在數(shù)軸上的原點(diǎn)兩旁，離原點(diǎn)的距離相等的兩個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)互為相反數(shù).經(jīng)典例題解析例1 若a、b互為相反數(shù)，c,d互為負(fù)倒數(shù), 則(a+b)1996+(cd)323=______解 因a、b互為相反數(shù)，故a+b=0； 因c,d互為負(fù)倒數(shù)， 故cd = 1，于是(a+b)1996+(cd)323= 01996+(1)323= 1評注 互為相反數(shù)的兩數(shù)和為0，互為倒數(shù)的兩數(shù)積為1，互為負(fù)倒數(shù)的兩數(shù)積為1，解答此類問題要注意從整體考慮。 因?yàn)?006 =5024+2， 所以數(shù)軸上的數(shù)2006與圓周上的數(shù)3相對應(yīng)。解 因a,b 互為相反數(shù)，故a+b=0； 因c,d互為倒數(shù)，故cd=1；于是 原式=x2x因x的絕對值等于1，故x=177。在數(shù)軸上，| x1 |+| x17|表示數(shù)x1到0和7的距離之和；當(dāng)0≤x1≤7時(shí)，它有最小值7； | x12 |+| x15|表示數(shù)x1到2和5的距離之和；當(dāng)2≤x1≤5時(shí)，它有最小值3。要注意運(yùn)用奇數(shù)與偶數(shù)的下列性質(zhì)解題：1．兩個(gè)整數(shù)的和與差有相同的奇偶性；2．奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和還是奇數(shù)，偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和是偶數(shù)；3．當(dāng)為n偶數(shù)時(shí)，(1)n=1。b+ca=(a+b+c)2a為偶數(shù)．因此(a+b+c)(ab+c)(a+bc)(b+ca)能被16整除，而3388不能被16整除，得出矛盾．故不存在三個(gè)整數(shù)a，b，c滿足關(guān)系式(a+b+c)(ab+c)(a+bc)(b+ca)=3388． 例5．在33的表格（1）和（2）中，每格填有“+”號或“”號， 然后每次將表格中的任意一行或任意一列的各格全部變號，試問重復(fù)若干次這樣的“變號”程序后，能否從一張表變?yōu)榱硪粡埍恚?表（1） 表（2）解 考察兩張表中位于左上角的22的小正方形，如下圖中的黑框所示：表（1） 表（2） 表（1）中的小正方形中有4個(gè)“+”號，實(shí)施變號步驟后，“+”號的個(gè)數(shù)仍然是偶數(shù)；表（2）中的小正方形中有1個(gè)“+”號，實(shí)施變號步驟后，“+”號的個(gè)數(shù)仍然是奇數(shù)。單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母，像1，0，a，x 也是代數(shù)式，這里“用運(yùn)算符號連結(jié)”一般指加、減、乘、除、乘方。n= 解 若與是同類項(xiàng)，則m=0，n=0，與已知條件矛盾。解 設(shè)這個(gè)五位數(shù)為N，它的前三個(gè)數(shù)字為a, 后二個(gè)數(shù)字為b, 由已知有a+b=11k(k是整數(shù))從而，N=100a+b=99a+a+b=99a+11k=11(9a+k)，所以這個(gè)五位數(shù)能被11整除例8 設(shè)是一個(gè)三位數(shù)，a3a1，由減去得一個(gè)三位數(shù)，證明：+=1089[解] 設(shè)： = 由于a3a1，所以可得：b1 = (10+a1) a3 ①b2 = (10+a2 1) a2 = 9 ② b3 = (a3 1) a1 ③①+③ 得：b