【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 他攜帶了多少千克物品？(3)若收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)以超重部分的質(zhì)量m（千克）計(jì)算，在保證所交費(fèi)用Q不變的情況下，試用m表示Q．解 (1)當(dāng)攜帶的物品重量b= 35千克時(shí)，應(yīng)交的費(fèi)用為（元）．所以小明應(yīng)交159元．(2)設(shè)小王攜帶了x千克物品，則 解得因此，小王攜帶了30千克物品．(3)已知最多可以免費(fèi)攜帶a千克物品，則解得所以超重部分的質(zhì)量為即故所交費(fèi)用為（元）．例6. 設(shè)多項(xiàng)式，已知當(dāng)＝0時(shí)，；當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，求的值.解 由題意，當(dāng)＝0時(shí)，=－5，所以d=－5；當(dāng)時(shí)，=7，即，所以，當(dāng)時(shí)，=例7 如果, 那么的值為 . 解法1 ∵a2+a=1, 于是我們有解法2 ∵a2=1a,于是有評(píng)注：解法一是應(yīng)用拆項(xiàng)法；解法二是應(yīng)用降次法, 這兩種方法在整式恒等變形中常用. 例8 如下圖所示，按下列方法將數(shù)軸的正半軸繞在一個(gè)圓上（該圓周長(zhǎng)為3個(gè)單位長(zhǎng)，且在圓周的三等分點(diǎn)處分別標(biāo)上了數(shù)字0、2）：先使原點(diǎn)與圓周上0所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合，再將正半軸按順時(shí)針方向繞在該圓周上，使數(shù)軸上…所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別與圓周上0、…所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合。這樣，正半軸上的整數(shù)就與圓周上的數(shù)字建立了一種對(duì)應(yīng)關(guān)系。數(shù)軸上的一個(gè)整數(shù)點(diǎn)剛剛繞過圓周n圈（n為正整數(shù)）后，并落在圓周上數(shù)字2所對(duì)應(yīng)的位置，這個(gè)整數(shù)（用含n的代數(shù)式表示）是_________。 解 3n+2 由題意知，正半軸上的整數(shù)與圓周上的數(shù)字建立的對(duì)應(yīng)關(guān)系是：①當(dāng)正半軸上的整數(shù)是3的倍數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)著圓周上數(shù)字0；②當(dāng)正半軸上的整數(shù)被3除余1時(shí)，對(duì)應(yīng)著圓周上數(shù)字1；③當(dāng)正半軸上的整數(shù)被3除余2時(shí)，對(duì)應(yīng)著圓周上數(shù)字2。所以數(shù)軸上的一個(gè)整數(shù)點(diǎn)剛剛繞過圓周n圈（n為正整數(shù)）后，并落在圓周上數(shù)字2所對(duì)應(yīng)的位置，這個(gè)整數(shù)（用含n的代數(shù)式表示）是3n+2。第6講 整式的概念和整式的加減知識(shí)方法掃描整式的概念1. 單項(xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式．2．單項(xiàng)式由數(shù)與字母的積組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式，單獨(dú)一個(gè)字或數(shù)也是單項(xiàng)式． 單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)，單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)和叫做單項(xiàng)式的次數(shù)3． 多項(xiàng)式幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式．在多項(xiàng)式中的每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式項(xiàng)，其中，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)．一個(gè)多項(xiàng)式有幾項(xiàng)就叫做幾項(xiàng)式，次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)就叫做多項(xiàng)的次數(shù).把一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)按照某一個(gè)字母的指數(shù)從大到?。ɑ驈男〉酱螅┑捻樞蚺帕薪凶鼋担ɑ蛏﹥缗帕蟹ǎ降募訙p1．同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)，幾個(gè)常數(shù)也是同類項(xiàng)．2．合并同類項(xiàng)：把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，即把它們的系數(shù)相加作為新的系數(shù)，而字母部分不變，叫做合并同類項(xiàng)．整式的加減實(shí)際就是合并同類項(xiàng)。3. 靈活地去（添）括號(hào) 括號(hào)前面去掉（或添上）“+”號(hào)，括號(hào)里各項(xiàng)都不變；括號(hào)前面去掉（或添上）“”號(hào)，括號(hào)里各項(xiàng)都變號(hào)， 若有多層括號(hào)，去括號(hào)有三種方法：一是可以從里向外去；二是可以從外向里去；三是可以里外同時(shí)去，同時(shí)在去括號(hào)后，在不影響計(jì)算結(jié)果的前提下，也可以邊去括號(hào)邊合并同類項(xiàng)，從而簡(jiǎn)化計(jì)算，經(jīng)典例題解析例1 同時(shí)都含有字母a，b，c，且系數(shù)為1的7次單項(xiàng)式共有( )．(A)4個(gè) (B) 12個(gè) (C) 15個(gè) (D) 25個(gè)解：設(shè)滿足條件的單項(xiàng)式為的形式，其中m、n、p為自然數(shù)，且m+n+p=7．指數(shù)m，n，p只能有如下四組可能: 1,1,5； l,2,4； 1,3,3； 2,2,3．所以滿足條件的單項(xiàng)式有總計(jì)有15個(gè)．故選（D）例2．在多項(xiàng)式（其中m，n為正整數(shù)）中，恰有兩項(xiàng)是同類項(xiàng)，則mn= 解 若與是同類項(xiàng)，則m=0，n=0，與已知條件矛盾。故只有與為同類項(xiàng)，于是m=n1且n=4m4,解得：m=5,n=6,于是mn=30例3 已知有如下一組x, y, 和z的單項(xiàng)式： 我們用下面的方法確定它們的先后次序：對(duì)任兩個(gè)單項(xiàng)式，先看x的次冪，規(guī)定x冪次高的單項(xiàng)式排在x冪次低的單項(xiàng)式的前面；再先看y的次冪，規(guī)定y冪次高的單項(xiàng)式排在y冪次低的單項(xiàng)式的前面；再先看z的次冪，規(guī)定z冪次高的單項(xiàng)式排在z冪次低的單項(xiàng)式的前面。將這組單項(xiàng)式按上述法則排序，那么，應(yīng)排在第 位。解：將這組單項(xiàng)式按上述法則排序，, , , , , , , , ，. 所以應(yīng)排在第8位例4．小敏購(gòu)買4種數(shù)學(xué)用品：計(jì)算器、圓規(guī)、三角板、量角器的件數(shù)和用錢總數(shù)列下表： 品名件數(shù)計(jì)算器圓規(guī)三角板量角器總錢數(shù)第一次購(gòu)件數(shù)134578第二次購(gòu)件數(shù)157998則4種數(shù)學(xué)用品各買一件共需__________元. 解 設(shè)計(jì)算器、圓規(guī)、三角板、量角器每件價(jià)分別為x,y,z,u元，則有 x+3y+4z+5u=78 (1) x+5y+7z+9u=98 (2)(1)2(2)得 x+y+z+u=58, 即4種數(shù)學(xué)用品各買一件共需58元。例5 已知關(guān)于x的整系數(shù)二次三項(xiàng)式 ax2+bx+c，當(dāng)x取1，3，6，8時(shí)，某同學(xué)算得這個(gè)二次三項(xiàng)式的值分別是1，5，25，50。經(jīng)驗(yàn)算，只有一個(gè)是錯(cuò)誤的，這個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)果是（ ）（A）x=1時(shí)y=1 （B）x=3時(shí)y=5 （C）x=6時(shí)y=25 （D）x=8時(shí)y=50解 若四式成立,則有: (3)(2), 得: 27a+6b=20, 此式左邊是3的倍數(shù),而右邊不是3的倍數(shù),所以在(2),(3)兩式中必有一式錯(cuò)誤。,(4)(3), 得 8a+2b=25, 此式左邊是偶數(shù),而右邊不是偶數(shù),所以在(3),(4)兩式中也必有一式錯(cuò)誤. 所以(3) 。例6 (I) x,y 均為整數(shù), 若 5│(x+9y),求證: 5│(8x+7y).(II) x,y,z 均為整數(shù),若11│(7x+2y5z), 求證: 11│(3x7y+12z).(注：a|b 表示整數(shù)b能被整數(shù)a整除)證明 （I）因?yàn)?│(x+9y), 故5│(2x+18y)，又顯然5│(10x+25y)，而8x+7y=(10x+25y) (2x+18y)，所以 5│(8x+7y).（II）∵ 4(3x7y+12z)+3(7x+2y5z)=11(3x2y+3z)而 11｜11(3x2y+3z)， 且 11｜(7x+2y5z)∴ 11｜4(3x7y+12z)又11和4互質(zhì)， ∴11｜(3x7y+12z)例7 一個(gè)五位數(shù)，若前三個(gè)數(shù)字表示的三位數(shù)與后二個(gè)數(shù)字表示的兩位數(shù)的和能被11整除，判斷這個(gè)五位數(shù)能否被11整除，并說明理由。解 設(shè)這個(gè)五位數(shù)為N，它的前三個(gè)數(shù)字為a, 后二個(gè)數(shù)字為b, 由已知有a+b=11k(k是整數(shù))從而，N=100a+b=99a+a+b=99a+11k=11(9a+k)，所以這個(gè)五位數(shù)能被11整除例8 設(shè)是一個(gè)三位數(shù)，a3a1，由減去得一個(gè)三位數(shù)，證明：+=1089[解] 設(shè)： = 由于a3a1，所以可得：b1 = (10+a1) a3 ①b2 = (10+a2 1) a2 = 9 ② b3 = (a3 1) a1 ③①+③ 得：b1 +b3 = 9∴+=100(b1 +b3)+10 (b2 +b2)+( b1 +b3)=100180。9+20180。9+9=1089第七講 一元一次方程的概念和解法知識(shí)方法掃描含有未知數(shù)的等式叫方程。含有一個(gè)未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)為一次的整式方程稱為一元一次方程，任何一個(gè)一元一次方程總可以化為ax=b(a≠0)的形式，這是一元一次方程的最簡(jiǎn)形式。解一元一次方程的一般步驟：（1）去分母；（2）去括號(hào)；（3）移項(xiàng)；（4）合并同類項(xiàng)，化為最簡(jiǎn)形式ax=b；（5）方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)，得出方程的解。使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做方程的解，也叫做方程的根。 最簡(jiǎn)方程 ax=b 解的情況：（1）當(dāng)a≠0時(shí)，方程是一元一次方程，它有唯一解。（2）當(dāng)a=b=0時(shí)，方程的解為任意數(shù)；（3）當(dāng)a=0，b≠0時(shí)，方程無(wú)解?！　『袇⒆兞康姆匠獭⒑^對(duì)值符號(hào)的方程在求解時(shí)往往需分類討論， 經(jīng)典例題解析例1 解方程解: 運(yùn)用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，可得將原方程化為去分母，得 9x+24x30=4x2移項(xiàng)，合并得： 4x=4, 于是，x=1。例2 已知 ，且，則xabc= .解：由已知得 即 于是 因， 故xabc=0例3 已知關(guān)于的方程和有相同的解，那么這個(gè)解是 。解 由方程 解得由方程 解得由已知得 所以 ，例4 是關(guān)于x的一元一次方程，且x有唯一解，則x= .解 因?yàn)樵匠淌顷P(guān)于x的一元一次方程，所以3a+2b=0 (否則它是二次方程).原方程為 ax+b=0.又x有唯一解，故a≠0,于是,原方程為,解得例5. 已知關(guān)于x的方程a(3x十2)+b（2x+3）=5x+ 12有無(wú)窮多個(gè)解，那么a=____ ，b=____．解 整理原方程得(3a2b5)x=122a3b.因方程有無(wú)窮多個(gè)解， 解得 a=3，b=2．例6. 定義則方程的解是 ．解：由定義可知 所以 解這個(gè)方程得例7 方程的解是 分析 解絕對(duì)值方程的關(guān)鍵是去絕對(duì)值符號(hào)，令x1=0,x5=0，分別得x=1,x=,5將全部實(shí)數(shù)分成3段：或或然后在每一段上去絕對(duì)值符號(hào)解方程，求出每一段上的解，將它們合并，便得到原方程的全部解，這種方法叫做“零點(diǎn)”分段法，x=1，x=5叫做零點(diǎn).解：若則此時(shí)原方程化為若則此時(shí)原方程化為即1=0，矛盾，說明時(shí)原方程無(wú)解若則此時(shí)原方程化為所以和都是原方程的解。例8 滿足方程 2 006的所有x的和為( )． 解 即 因?yàn)? 所以由(2)得 即由(4)得或即原方程有兩個(gè)解，所有解的和是第8講 一元一次方程的應(yīng)用（1）知識(shí)方法掃描 應(yīng)用題是數(shù)學(xué)競(jìng)賽題中的熱門題型,它涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)較多,綜合性強(qiáng),解法靈活,是開發(fā)學(xué)生智力,增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)意識(shí),培養(yǎng)學(xué)生分析解決問題的能力、邏輯思維能力和創(chuàng)造能力的好素材。解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題的關(guān)鍵是從實(shí)際的數(shù)學(xué)問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，把反映實(shí)世界的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題目來(lái)解決，不要局限于幾種題型。直接設(shè)未知數(shù)。 應(yīng)用題往往題目較長(zhǎng)，要讀懂題意，找出已知和末知，緊抓題目中的等量關(guān)系，直接設(shè)末知數(shù)，通過等量關(guān)系列出方程或方程組，從而解決問題。設(shè)間接未知數(shù)。 有些應(yīng)用題，直接設(shè)末知數(shù)不易求解，則可以采取間接設(shè)末知數(shù)的方法。即所設(shè)的不是所求的，但與所求的末知量有一定的聯(lián)系，求出些量后，便能順利地求出題目中的末知量，這樣可以使解題更加方便。設(shè)輔助未知數(shù)。 應(yīng)用題目涉及的類型很多，有些比較復(fù)雜的問題，設(shè)直接或間接未知數(shù)都很難解決，而此時(shí)設(shè)輔助未知數(shù)，依題意就能列出方程或方程組，從而解決問題目。輔助末知數(shù)起著橋梁的作用，設(shè)了這個(gè)輔助未知數(shù)，但并不一定求它，往往是直接相約或相消，有時(shí)要經(jīng)過變形才能消法，即“設(shè)而不求”。圖形、表格分析法。有些復(fù)雜的應(yīng)用題，已知量、末知量較多，而且它們之間的關(guān)系又較為復(fù)雜，通過構(gòu)造圖形、表格能直觀地反映已知、末知及它們之間的相互關(guān)系，從而很輕松地解決問題。整體思想。若把幾個(gè)未知量看作一個(gè)整體，從整體的角度來(lái)考慮問題，可以減少未知量的個(gè)數(shù)，能達(dá)到化繁為簡(jiǎn)和目的。經(jīng)典例題解析、乙兩項(xiàng)工程，甲工程工作量是乙工程工作量的兩倍。前半個(gè)月全體工人都在甲工地工作，后半個(gè)月工人分成相等的兩組，一組仍在甲工地工作，另一組到乙工地工作。一個(gè)月后，甲工程完成，而乙工程的剩余量剛好夠一個(gè)工人一個(gè)月的工作量。如果每個(gè)工人的工作效率都相同，問這個(gè)工程隊(duì)有多少工人？解. 設(shè)這個(gè)工程隊(duì)有x個(gè)人，每個(gè)人每月的工作量為1，則甲工地工作量為，而乙工地工作量為。依題意，得 ， 解得 x=8。答：這個(gè)工程隊(duì)有8個(gè)工人。例2．某人走進(jìn)一家商店，進(jìn)門付1角錢，然后在店里購(gòu)物花掉當(dāng)時(shí)他手中錢的一半，走出商店又付1角錢，之后，他走進(jìn)第二家商店付1角錢，在店里花掉當(dāng)時(shí)手中錢的一半，走出商店付1角錢，他又走進(jìn)第三家商店付1角錢，在店里花掉當(dāng)時(shí)他手中錢的一半，出店付1角錢，最后，他走進(jìn)第四家商店付1角錢，在店里花掉當(dāng)時(shí)他手中錢韻一半，出店付1角錢，這時(shí)他一分錢也沒有了，該人原有錢的數(shù)目是 角．，他在進(jìn)第二家商店前花掉了角，剩下角；他在進(jìn)第三家商店前花掉了角，剩下角；進(jìn)第四家商店前剩下角，因在第四家商店后一分錢也不剩了，故解得（角）．評(píng)注：本題可以逆推出結(jié)果，因在第四家商店購(gòu)物花掉當(dāng)時(shí)的一半錢后，只剩一角錢，故在進(jìn)第四家商店前只剩1+21=3角錢，依此逆推得結(jié)果，例3. 一罐咖啡甲乙兩人一起喝10天喝完，甲單獨(dú)喝則需12天喝完；一斤茶葉兩人一起喝12天喝完，乙單獨(dú)喝則需20天喝完。假設(shè)甲在有茶葉的情況下決不喝咖啡，而乙在有咖啡的情況下決不喝茶。問兩人一起喝完一斤茶葉和一罐咖啡需要多少天？ ，解. 設(shè)乙單獨(dú)喝咖啡要x天喝完，甲單獨(dú)喝茶要y天喝完,則有。解得x=60,y=30.故30天后，甲喝完茶葉而乙只喝掉半罐咖啡，剩下