【正文】 日常生活語(yǔ)言，是學(xué)好數(shù)學(xué)一項(xiàng)重要的基本功。數(shù)軸上的一個(gè)整數(shù)點(diǎn)剛剛繞過(guò)圓周n圈（n為正整數(shù)）后，并落在圓周上數(shù)字2所對(duì)應(yīng)的位置，這個(gè)整數(shù)（用含n的代數(shù)式表示）是_________。解：將這組單項(xiàng)式按上述法則排序，, , , , , , , , ，. 所以應(yīng)排在第8位例4．小敏購(gòu)買(mǎi)4種數(shù)學(xué)用品：計(jì)算器、圓規(guī)、三角板、量角器的件數(shù)和用錢(qián)總數(shù)列下表： 品名件數(shù)計(jì)算器圓規(guī)三角板量角器總錢(qián)數(shù)第一次購(gòu)件數(shù)134578第二次購(gòu)件數(shù)157998則4種數(shù)學(xué)用品各買(mǎi)一件共需__________元. 解 設(shè)計(jì)算器、圓規(guī)、三角板、量角器每件價(jià)分別為x,y,z,u元，則有 x+3y+4z+5u=78 (1) x+5y+7z+9u=98 (2)(1)2(2)得 x+y+z+u=58, 即4種數(shù)學(xué)用品各買(mǎi)一件共需58元。 11｜4(3x7y+12z)又含有一個(gè)未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)為一次的整式方程稱(chēng)為一元一次方程，任何一個(gè)一元一次方程總可以化為ax=b(a≠0)的形式，這是一元一次方程的最簡(jiǎn)形式。例8 滿足方程 2 006的所有x的和為( )． 解 即 因?yàn)? 所以由(2)得 即由(4)得或即原方程有兩個(gè)解，所有解的和是第8講 一元一次方程的應(yīng)用（1）知識(shí)方法掃描 應(yīng)用題是數(shù)學(xué)競(jìng)賽題中的熱門(mén)題型,它涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)較多,綜合性強(qiáng),解法靈活,是開(kāi)發(fā)學(xué)生智力,增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)意識(shí),培養(yǎng)學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力、邏輯思維能力和創(chuàng)造能力的好素材。 應(yīng)用題目涉及的類(lèi)型很多，有些比較復(fù)雜的問(wèn)題，設(shè)直接或間接未知數(shù)都很難解決，而此時(shí)設(shè)輔助未知數(shù)，依題意就能列出方程或方程組，從而解決問(wèn)題目。一個(gè)月后，甲工程完成，而乙工程的剩余量剛好夠一個(gè)工人一個(gè)月的工作量。例4. 中學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)五羊賽區(qū)男女運(yùn)動(dòng)員比例為19：12。據(jù)題設(shè)，得，解得（小時(shí)）.（2）共有人參加裝卸工作，由于每隔小時(shí)增加一人，因此最后一人比第一人少干小時(shí)，按題意，得，即. 解此不定方程得，即參加的人數(shù)或3或4或5或7或13.第9講 一元一次方程的應(yīng)用（2）知識(shí)方法掃描 行程問(wèn)題是應(yīng)用問(wèn)題中常見(jiàn)而又重要的一類(lèi)，它大體可以分為以下幾類(lèi)：追及相遇問(wèn)題（包括時(shí)鐘問(wèn)題），順流逆流問(wèn)題，環(huán)行問(wèn)題等，其基本關(guān)系式是：速度時(shí)間=路程。解：設(shè)汽車(chē)速度為a米/秒，小宏速度為b米/秒，根據(jù)題意得 兩式相減得 12a=72b 即a=6b 代入可得x=5評(píng)注：行程問(wèn)題常分為同向運(yùn)動(dòng)和相向運(yùn)動(dòng)兩種，相遇問(wèn)題就是相向運(yùn)動(dòng)，而追及問(wèn)題就是同向運(yùn)動(dòng)。 兩人第一次相遇時(shí)，甲跑 ，乙跑，乙跑完第一圈時(shí)甲跑完一圈多，第二次相遇處甲距出發(fā)點(diǎn)注意甲跑第二圈的方向和第一圈相反，所以?xún)纱蜗嘤龅牡攸c(diǎn)相差（如圖）從而 s=400(米)例7 上午9點(diǎn)鐘的時(shí)候，時(shí)針與分針成直角，那么下一次時(shí)針與分針成直角的時(shí)間是（ ）（A）9時(shí)30分 （B）10時(shí)5分 （C）10時(shí)分 （D）9時(shí)分分析與解 時(shí)鐘問(wèn)題實(shí)際是行程問(wèn)題中的追及問(wèn)題，分針每分鐘轉(zhuǎn)6176。走了一段路程后，乙放下車(chē)步行，甲走到乙放車(chē)處改騎自行車(chē)，以后不斷交替行進(jìn)，兩人恰好同時(shí)到達(dá)B地。那么大立方體被涂過(guò)油漆的面數(shù)是（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4解. 設(shè)大立方體棱長(zhǎng)為n, 顯然n＞3。將這些正立方體排列如下圖，試求號(hào)碼2對(duì)面寫(xiě)的數(shù)字。一個(gè)立方體能否分割成47個(gè)立方體，這還是一個(gè)沒(méi)有解決的問(wèn)題.例8雨嘩嘩地不停地下著。那么1小 時(shí)后，每個(gè)小容器內(nèi)雨水的深度還是10cm。 第11講 幾何圖形計(jì)數(shù)知識(shí)方法掃描計(jì)數(shù)是組合數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，計(jì)數(shù)的方法有分類(lèi)法，分步法，遞推法和與對(duì)應(yīng)法等。 4．對(duì)應(yīng)計(jì)數(shù)在解決某些計(jì)數(shù)問(wèn)題時(shí)，為了解決某個(gè)問(wèn)題A，我們將其中的研究對(duì)象和另一個(gè)問(wèn)題B中的研究對(duì)象配成對(duì)，通過(guò)解決B問(wèn)題來(lái)達(dá)到解決A問(wèn)題的目的?！比魧?個(gè)小組看成6個(gè)點(diǎn)，每?jī)牲c(diǎn)的連線就是這兩個(gè)小組的公共組員，于是n就是這樣連接成的直線的條數(shù)了。于是共有24+144=168個(gè)。2=36種方法，一共可以得到4536=3240個(gè)交點(diǎn)。 （圖1） （圖2） （圖3）解．006756442312所對(duì)應(yīng)的軌線圖形為下圖中的粗線所表示的封閉折線。經(jīng)典例題解析例1． C是線段AB的中點(diǎn), D是線段CB上的一點(diǎn)，如圖所示。∠4+∠8=90 186。∠1+∠9=90186。 本節(jié)的重點(diǎn)是線段與角的度量與計(jì)算。如以O(shè)為始點(diǎn)，數(shù)碼2代表線段OC，數(shù)碼7代表線段OH等等，在圖2中畫(huà)出了從P點(diǎn)出發(fā)，依次按數(shù)碼001223355的軌線圖形。從a上取兩點(diǎn)有109247。于是，含兩個(gè)“A”在內(nèi)的由小正方形組成的長(zhǎng)方形（含正方形）有2334=72個(gè)。2．有些題目，形式上和上題不同，但思維方式是一樣的。如果對(duì)研究對(duì)象的個(gè)數(shù)n觀察，計(jì)算后，發(fā)現(xiàn)由n=1的結(jié)果可以算出n=2的結(jié)果，由n=2的結(jié)果可以算出n=3的結(jié)果，等等，我們就找到了計(jì)數(shù)的規(guī)律?！　∈Ｏ翪、D兩種容器，它們的“接雨面”與底面大小不同，可先將其轉(zhuǎn)化為“接雨面”與底面大小相同的容器（如圖所示）。如果容器的高度不止10cm，而是無(wú)限的，那么2小時(shí)后容器內(nèi)雨水的深度將會(huì)是2cm，以后每過(guò)1小時(shí)雨水的深度就會(huì)增加10cm；如果在長(zhǎng)方體容器中垂直放入一個(gè)很薄的擋板（其厚度忽略不計(jì)），將大容器分成兩個(gè)小容器（如圖所示）。(1)中的方法,在圖2的六個(gè)正方形中分別填上適當(dāng)?shù)恼麛?shù),結(jié)合圖1,顯然所填的六個(gè)正整數(shù)之和最大為11其余20個(gè)小正方體至少有一面被涂黑了。此外，將一個(gè)立體圖形按不同的要求分割成一些小的立體圖形，也是我們要探討的內(nèi)容。兩人騎自行車(chē)的速度都是每小時(shí)15千米。例5 一游泳者沿河逆流而上，于A處將攜帶物品（可漂?。┻z失，在繼續(xù)前游30分鐘后發(fā)現(xiàn)物品遺失，即刻返回順游，距A處3千米時(shí)在B處將物品追回，問(wèn)此河水流速度是多少？解： 設(shè)水流速度為v千米／小時(shí)，游泳者的速度為x千米／小時(shí)，則游泳者在開(kāi)始返回時(shí)，物品離A處千米，游泳者從開(kāi)始返回到游到B處游了千米，而物品漂浮了千米，于是所以 ， ， 所以河水流速是3千米／小時(shí)．另解：把小河水流看作不動(dòng)的，則物品是靜止的，游泳者的速度就是不變的，這樣，游泳者遺失物品時(shí)到發(fā)現(xiàn)物品時(shí)游的距離就等于發(fā)現(xiàn)物品時(shí)列追回物品時(shí)游的距離，從而游這兩個(gè)距離所用時(shí)間相等，都是小時(shí)，所以物品就漂浮了l小時(shí)，由題設(shè)，物品l小時(shí)漂浮了3千米，從而水流速度為3千米／小時(shí)，例6甲乙二人在同一條橢圓形跑道上作特殊訓(xùn)練：他們同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到達(dá)出發(fā)點(diǎn)后立即回頭加速跑第二圈，跑第一圈時(shí)，乙的速度是甲速度的2/3，甲跑第二圈時(shí)速度比第一圈提高了1/3，乙跑第二圈時(shí)速度提高了1/5,已知甲乙二人第二次相遇點(diǎn)距第一次相遇點(diǎn)190米。另一方面，當(dāng)一輛汽車(chē)與小宏相遇時(shí)，另一輛汽車(chē)在小宏前面ax米處，它經(jīng)過(guò)分鐘與小宏相遇。如果這些工人同時(shí)工作，則需10小時(shí)裝卸完畢。問(wèn)兩人一起喝完一斤茶葉和一罐咖啡需要多少天？ ，解. 設(shè)乙單獨(dú)喝咖啡要x天喝完，甲單獨(dú)喝茶要y天喝完,則有。經(jīng)典例題解析、乙兩項(xiàng)工程，甲工程工作量是乙工程工作量的兩倍。即所設(shè)的不是所求的，但與所求的末知量有一定的聯(lián)系，求出些量后，便能順利地求出題目中的末知量，這樣可以使解題更加方便。例2 已知 ，且，則xabc= .解：由已知得 即 于是 因， 故xabc=0例3 已知關(guān)于的方程和有相同的解，那么這個(gè)解是 。9+20180。 11｜(7x+2y5z)∴故只有與為同類(lèi)項(xiàng)，于是m=n1且n=4m4,解得：m=5,n=6,于是mn=30例3 已知有如下一組x, y, 和z的單項(xiàng)式： 我們用下面的方法確定它們的先后次序：對(duì)任兩個(gè)單項(xiàng)式，先看x的次冪，規(guī)定x冪次高的單項(xiàng)式排在x冪次低的單項(xiàng)式的前面；再先看y的次冪，規(guī)定y冪次高的單項(xiàng)式排在y冪次低的單項(xiàng)式的前面；再先看z的次冪，規(guī)定z冪次高的單項(xiàng)式排在z冪次低的單項(xiàng)式的前面。例4.．a(chǎn)表示一個(gè)兩位數(shù)，b表示一個(gè)四位數(shù)，把a(bǔ)放在b的左邊組成一個(gè)六位數(shù)，那么這個(gè)六位數(shù)應(yīng)表示成（ ）(A)ab (B)10000a+b (C)100a+10000b (D)100a+b解．依題意，在這個(gè)六位數(shù)中，a的個(gè)位數(shù)字是在萬(wàn)位上，所以這個(gè)六位數(shù)應(yīng)表示成10000a+b，選(B)評(píng)注：一個(gè)n位自然數(shù)的十進(jìn)制表示法一般形式，是其中ai是一位數(shù)字. 有時(shí)也根據(jù)需要寫(xiě)成 100a+b （b是兩位數(shù)）,1000a+b(b是三位數(shù))等形式例5 民航規(guī)定：旅客可以免費(fèi)攜帶a千克物品，若超過(guò)a千克，則要收取一定的費(fèi)用，當(dāng)攜帶物品的質(zhì)量為b千克(ba)時(shí)，所交費(fèi)用為Q=10b200(元)． (1)小明攜帶了35千克物品，質(zhì)量大于a千克，他應(yīng)交多少費(fèi)用？ (2)小王交了100元費(fèi)用，他攜帶了多少千克物品？(3)若收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)以超重部分的質(zhì)量m（千克）計(jì)算，在保證所交費(fèi)用Q不變的情況下，試用m表示Q．解 (1)當(dāng)攜帶的物品重量b= 35千克時(shí)，應(yīng)交的費(fèi)用為（元）．所以小明應(yīng)交159元．(2)設(shè)小王攜帶了x千克物品，則 解得因此，小王攜帶了30千克物品．(3)已知最多可以免費(fèi)攜帶a千克物品，則解得所以超重部分的質(zhì)量為即故所交費(fèi)用為（元）．例6. 設(shè)多項(xiàng)式，已知當(dāng)＝0時(shí)，；當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，求的值.解 由題意，當(dāng)＝0時(shí)，=－5，所以d=－5；當(dāng)時(shí)，=7，即，所以，當(dāng)時(shí)，=例7 如果, 那么的值為 . 解法1 ∵a2+a=1, 于是我們有解法2 ∵a2=1a,于是有評(píng)注：解法一是應(yīng)用拆項(xiàng)法；解法二是應(yīng)用降次法, 這兩種方法在整式恒等變形中常用. 例8 如下圖所示，按下列方法將數(shù)軸的正半軸繞在一個(gè)圓上（該圓周長(zhǎng)為3個(gè)單位長(zhǎng)，且在圓周的三等分點(diǎn)處分別標(biāo)上了數(shù)字0、2）：先使原點(diǎn)與圓周上0所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合，再將正半軸按順時(shí)針?lè)较蚶@在該圓周上，使數(shù)軸上…所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別與圓周上0、…所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合。將日常生活的語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，就是要會(huì)列出代數(shù)式；另一方面也要理解代數(shù)式的含義，會(huì)求代數(shù)式的值。例7 設(shè)有n個(gè)實(shí)數(shù)：x1,x2,…,xn，其中每一個(gè)不是+1，就是1，且，求證：n是4的倍數(shù)。故它們不能從一個(gè)變到另外一個(gè)。于是至少有一對(duì)數(shù)的差為偶數(shù)，即這13對(duì)數(shù)的差的積必為一個(gè)偶數(shù)。 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，(1)n = 1.4．兩個(gè)整數(shù)相加，若加數(shù)的奇偶性相同，那么它們的和是偶數(shù)；加數(shù)的奇偶性不同，那么它們的和是奇數(shù)。經(jīng)典例題解析例1 計(jì)算 12+34+…+19931994= . 解1 原式 =（12）+（34）+…+（19931994）= （1）+（1）+ …+（1） = 997解2 原式=(1+2+3+4+…+1993+1994)2(2+4+…+1994) = (1+2+3+4+…+1993+1994)4(1+2+…+997)= = 19959971996997 = 997評(píng)注 在有理數(shù)的運(yùn)算中，可以根據(jù)運(yùn)算法則和運(yùn)算律，去掉或者添上括號(hào)，以此來(lái)改變運(yùn)算的次序，找出其中的規(guī)律，使復(fù)雜的問(wèn)題變得較簡(jiǎn)單．例2 計(jì)算：= 解 原式: 例3 計(jì)算并把結(jié)果寫(xiě)成小數(shù)：= 解： 原式= = = 104247。于是當(dāng)2≤x1≤5時(shí)，y有最小值10。解 由知x20, x+20 于是，得 因?yàn)? 于是，當(dāng)|x|=0時(shí)，S取最大值4；當(dāng)|x|=2時(shí)，S取最小值3．其差為43=1。1，當(dāng)x=1時(shí)，原式=0；當(dāng)x=－1時(shí)，原式=2。 因?yàn)?2006=4501+2, 8501+2=4010故在n=2005時(shí)，2n+1=4011，從左到右，每8個(gè)連續(xù)的點(diǎn)中取前4個(gè)點(diǎn)，剩下的3個(gè)點(diǎn)中取2個(gè)，共取2006個(gè)點(diǎn)，任何兩點(diǎn)間的距離都不等于4。例7 如果將數(shù)軸上的每一點(diǎn)都染成紅和藍(lán)兩種顏色，求證：必然存在同色的三個(gè)點(diǎn)其中一個(gè)點(diǎn)是以另兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)。所以與點(diǎn)C所表示的數(shù)量接近的整數(shù)是1。如65，78，；“0”既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)。 C 與A 的距離大于 C 與B 的距離，則（ ）（A） x0 （B） x1 （C） x （D）x1解. C 如圖， 因CACB, 故點(diǎn)C 在 AB 中點(diǎn)D的左側(cè)，而D所對(duì)應(yīng)的數(shù)是，所以x。 若C的顏色是紅色的，則題目的結(jié)論顯然成立； 若C的顏色是藍(lán)色的，那么：以A為一個(gè)端點(diǎn)，B為中點(diǎn)的線段的另一端點(diǎn)D所對(duì)應(yīng)的數(shù)為2ba，以B為一個(gè)端點(diǎn)，A為中點(diǎn)的線段的另一端點(diǎn)E所對(duì)應(yīng)的數(shù)為2ab。|b|； |an|=|a|n； |ab|=|ba|（2）|a|=|b|等價(jià)于a=b或a=b， 即a2=b2（3）|ab| 就是數(shù)軸上表示數(shù)a的與表示數(shù)b的兩點(diǎn)之間的距離（4）|a| 是一個(gè)非負(fù)數(shù)。 （A）只有（1）正確 （B）只有（2）正確 （C）（1），（2）都正確 （D）（1），（2）都不正確解 當(dāng)a≥b時(shí)，有ab=a+ b=0, a≥0