【正文】 .. . . ..從課堂到奧數(shù)7年級目 錄第1講 有理數(shù)和數(shù)軸 2第2講 絕對值 5第3講 有理數(shù)的運(yùn)算 8第4講 奇數(shù)與偶數(shù) 10第5講 代數(shù)式 13第6講 整式的概念和整式的加減 16第七講 一元一次方程的概念和解法 18第8講 一元一次方程的應(yīng)用（1） 20第9講 一元一次方程的應(yīng)用（2） 23第10講 立體圖形 26第11講 幾何圖形計(jì)數(shù) 30第12講 線段和角 34第13講 面積問題和面積方法 37第14講 相交線和平行線 41第15講 平面直角坐標(biāo)系 44第16講 三角形的概念 47第17講 多邊形的概念 50第18講 一次方程組的概念和解法 53第19講 一次方程組的應(yīng)用 56第20講 一次不定方程 59第21講 數(shù)的整除性 62第22講 一元一次不等式（組） 65第23講 一元一次不等式（組）的應(yīng)用 68第24講 數(shù)據(jù)的收集 整理與描述 71第25講 探索、猜想與歸納 74第1講 有理數(shù)和數(shù)軸知識方法掃描1. 正數(shù)和負(fù)數(shù)自然界有許多具有相反意義的量，如上升與下降，向東與向西、盈余與虧損等都可以用正負(fù)數(shù)來表示．如+5，+78，+；正號通?？梢允÷浴Ｈ?5，78，；“0”既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)。2．有理數(shù)的分類（1） （2）3. 數(shù)軸 規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、長度單位的有向直線叫做數(shù)軸 建立了數(shù)軸后，就可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)，原點(diǎn)表示的數(shù)是0，正有理數(shù)用原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示，負(fù)有理數(shù)用原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示，所有的有理數(shù)都可在數(shù)軸上找到對應(yīng)的點(diǎn).數(shù)軸上的兩個(gè)有理數(shù)中，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，因此有理數(shù)大小比較的規(guī)律是：正數(shù)大于0，零大于一切負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù).4．相反數(shù)只有符號不同的兩個(gè)數(shù)叫互為相反數(shù)，其中一個(gè)數(shù)叫另一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，0的相反數(shù)是0. 互為相反數(shù)的和為0，在數(shù)軸上的原點(diǎn)兩旁，離原點(diǎn)的距離相等的兩個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)互為相反數(shù).經(jīng)典例題解析例1 若a、b互為相反數(shù)，c,d互為負(fù)倒數(shù), 則(a+b)1996+(cd)323=______解 因a、b互為相反數(shù)，故a+b=0； 因c,d互為負(fù)倒數(shù)， 故cd = 1，于是(a+b)1996+(cd)323= 01996+(1)323= 1評注 互為相反數(shù)的兩數(shù)和為0，互為倒數(shù)的兩數(shù)積為1，互為負(fù)倒數(shù)的兩數(shù)積為1，解答此類問題要注意從整體考慮。例2 三個(gè)互不相等的數(shù)，可以表示成1，a+b，a的形式，也可以表示成0，b的形式，那么a+3b= 解 由題意知，a與a+b中必有一個(gè)等于0，b與中必有一個(gè)等于1，但顯然a≠0，故a+b=0，從而=－1，于是b=1，這樣就有a=－1，∴a+3b=2。例3．文具店、書店和玩具店依次坐落在一條東西走向的大街上，文具店在書店西邊20米處，玩具店位于書店東邊100米處，小明從書店沿街向東走了40米，接著又向東走了60米，此時(shí)小明的位置在 ( ) (A)文具店． (B)玩具店． (C)文具店西邊40米． (D)玩具店東60米．解 選（A）． 由題意可以畫出下圖： 因?yàn)?，向東走了60米就是向西走了60米．所以，小明從書店向東走了40米，再向西走60米，結(jié)果是小明的位置在書店西邊20米，也就是文具店的位置， 例4 如下圖所示，在數(shù)軸上有六個(gè)點(diǎn)，且AB=BC=CD=DE=EF，則與點(diǎn)C所表示的數(shù)量接近的整數(shù)是（ ）（A） 1 （B） 0 （C） 1 （D） 2 解 選C。AF的長度為11（5）=16， 所以每兩個(gè)相鄰的點(diǎn)之間的距離為，于是C點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為5+2=。所以與點(diǎn)C所表示的數(shù)量接近的整數(shù)是1。評注：解有關(guān)數(shù)軸的問題，需要仔細(xì)觀察點(diǎn)在數(shù)軸上的位置，判斷點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)的符號，了解不同點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)之間的大小關(guān)系和數(shù)量關(guān)系。例5數(shù)軸上的點(diǎn)A，B，C分別對應(yīng)數(shù) 0，1，x。 C 與A 的距離大于 C 與B 的距離，則（ ）（A） x0 （B） x1 （C） x （D）x1解. C 如圖， 因CACB, 故點(diǎn)C 在 AB 中點(diǎn)D的左側(cè)，而D所對應(yīng)的數(shù)是，所以x。例6 如圖所示，圓的周長為4個(gè)單位長度，在圓的4等分點(diǎn)處標(biāo)上數(shù)字0，1，2，3。先讓圓周上數(shù)字0所對應(yīng)的點(diǎn)與數(shù)軸上的數(shù)1所對應(yīng)的點(diǎn)重合，再讓數(shù)軸逆時(shí)針方向繞在該圓上，那么數(shù)軸上的數(shù)2006將與圓周上數(shù)字 重合。 解 填3 不難看出：數(shù)軸上的數(shù)中4的倍數(shù)，對應(yīng)于圓周上的數(shù)是1；數(shù)軸上的數(shù)中被4除余3的倍數(shù)，對應(yīng)于圓周上的數(shù)是2；數(shù)軸上的數(shù)中被4除余2的倍數(shù)，對應(yīng)于圓周上的數(shù)是3；數(shù)軸上的數(shù)中被4除余3的倍數(shù)，對應(yīng)于圓周上的數(shù)是4。 因?yàn)?006 =5024+2， 所以數(shù)軸上的數(shù)2006與圓周上的數(shù)3相對應(yīng)。例7 如果將數(shù)軸上的每一點(diǎn)都染成紅和藍(lán)兩種顏色，求證：必然存在同色的三個(gè)點(diǎn)其中一個(gè)點(diǎn)是以另兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)。證明：在數(shù)軸上取顏色相同的兩點(diǎn)A、B，它們對應(yīng)的數(shù)分別為a,b. 不妨設(shè)它們都是紅色點(diǎn)，且AB=2。下面考慮AB的中點(diǎn)C,它所對應(yīng)的數(shù)為。 若C的顏色是紅色的，則題目的結(jié)論顯然成立； 若C的顏色是藍(lán)色的，那么：以A為一個(gè)端點(diǎn)，B為中點(diǎn)的線段的另一端點(diǎn)D所對應(yīng)的數(shù)為2ba，以B為一個(gè)端點(diǎn)，A為中點(diǎn)的線段的另一端點(diǎn)E所對應(yīng)的數(shù)為2ab。 若D或E是紅色的 ，則題目的結(jié)論顯然成立； 若D與E都是藍(lán)色的，則D，C，E同色且C是DE的中點(diǎn)，題目的結(jié)論也成立. 例8．如圖，數(shù)軸上標(biāo)有2n+1個(gè)點(diǎn)，它們對應(yīng)的整數(shù)是n, (n1), …,2,1,0,1,2,…,n1,n為了確保從這些點(diǎn)中可以任取2006個(gè)，而且其中任何兩個(gè)點(diǎn)之間的距離都不等于4，則n的最小值是 。解 首先注意8個(gè)連續(xù)的點(diǎn)，例如0，1，2，3，4，5，6，7 。從中可取前4個(gè)數(shù)0，1，2，3， 其中任何兩個(gè)點(diǎn)的 距離都不等于4。 又由于這8個(gè)點(diǎn)可以分為4組，每組兩個(gè)點(diǎn)的距離為4：（0，4），（1，5），（2，6），（3，7），所以每一組只能選一個(gè)點(diǎn)，8個(gè)點(diǎn)中只能選出4個(gè)點(diǎn)，任何兩個(gè)點(diǎn)之間的距離都不等于4。 因?yàn)?2006=4501+2, 8501+2=4010故在n=2005時(shí)，2n+1=4011，從左到右，每8個(gè)連續(xù)的點(diǎn)中取前4個(gè)點(diǎn)，剩下的3個(gè)點(diǎn)中取2個(gè)，共取2006個(gè)點(diǎn)，任何兩點(diǎn)間的距離都不等于4。 另一方面，如果n≤2004，那么2n+l≤4009．從左到右，每8個(gè)連續(xù)點(diǎn)一組，至多502組，其中最后一組只有1個(gè)點(diǎn)．因此不論怎么取2 006個(gè)點(diǎn)，前501組中總有一組取的點(diǎn)多于4個(gè)，從而有2個(gè)點(diǎn)的距離為4． 綜合上面所說，n的最小值是2005。第2講 絕對值知識方法掃描1．絕對值的定義：一個(gè)正數(shù)的絕對值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；零的絕對值還是零．即 2．絕對值的幾何意義：在數(shù)軸上表示一個(gè)數(shù)的點(diǎn)離開原點(diǎn)的距離叫這個(gè)數(shù)的絕對值．3．絕對值的性質(zhì)：（1）|ab|=|a||b|； |an|=|a|n； |ab|=|ba|（2）|a|=|b|等價(jià)于a=b或a=b， 即a2=b2（3）|ab| 就是數(shù)軸上表示數(shù)a的與表示數(shù)b的兩點(diǎn)之間的距離（4）|a| 是一個(gè)非負(fù)數(shù)。經(jīng)典例題解析例1 計(jì)算= 。解：原式=（－）+（－）－（－）= 0， 故填0。例2． 已知a,b 互為相反數(shù)，c,d互為倒數(shù)，x的絕對值等于1，則(a+b)x3+x2cdx可以取得的那個(gè)較大的值是 。解 因a,b 互為相反數(shù)，故a+b=0； 因c,d互為倒數(shù)，故cd=1；于是 原式=x2x因x的絕對值等于1，故x=177。1，當(dāng)x=1時(shí)，原式=0；當(dāng)x=－1時(shí)，原式=2。所以，應(yīng)填2。例3 a、b是有理數(shù)，如果那么對于結(jié)論：（1）a一定不是負(fù)數(shù)；（2）b可能是負(fù)數(shù)，其中（ ）。 （A）只有（1）正確 （B）只有（2）正確 （C）（1），（2）都正確 （D）（1），（2）都不正確解 當(dāng)a≥b時(shí)，有ab=a+ b=0, a≥0 當(dāng)ab時(shí)，有（ab）=a+b. a=0, b≥0 所以a,b兩數(shù)中一個(gè)為0，另外一個(gè)是非負(fù)數(shù)，所以（1）正確，（2）不正確。應(yīng)選（A）。評注：去掉絕對值的符號，是處理絕對值問題的基本方法。這就需要探究絕對值符號內(nèi)的數(shù)的正負(fù)，分類討論，往往是必須的。例4 已知且則S的最大值與最小值的差是 。解 由知x20, x+20 于是，得 因?yàn)? 于是，當(dāng)|x|=0時(shí)，S取最大值4；當(dāng)|x|=2時(shí)，S取最小值3．其差為43=1。故填1。例5 設(shè)k是自然數(shù)，且ka+b=0，則 等于（ ）（A） 3 （B） 2 （C） 3+ （D）2解 由得 顯然k≠0（否則b=0, 代數(shù)式無意義），又k是自然數(shù)，于是k0.所以 (*)當(dāng)a0時(shí)，(*)變?yōu)? 當(dāng)a0時(shí)，(*)變?yōu)楣试?3，選(A)．例6 已知(a+b)2+|b+5|=b+5, 且|2ab1|=0, 那么ab= .解 ∵|2ab1|=0 ∴2ab1=0. ∴b=2a1. 將b=2a1代入(a+b)2+|b+5|=b+5, 得 (a+2a1)2+|2a1+5|=2a1+5即(3a1)2+|2a+4|=2a+4.(1)當(dāng)3a10即 ,∵(3a1)20, |2a+4|0, 2a+40. ∴(3a1)2+|2a+4|2a+4, 矛盾：(2)當(dāng)3a10即時(shí), ①若2a+4≤0, 則上面等式左邊大于0, 右邊小于或等于0, 矛盾；②若2a+40, ∵(3a1)20, |2a+4|0=2a+4, ∴(3a1)2+|2a+4|2a+4, 矛盾；(3)當(dāng)3a1=0, 即時(shí), 上式成立. ∴∴例7 在6張紙片的正面分別寫上整數(shù)1,2,3,4,5,6, 打亂次序后, 將紙片翻過來, 在它們的反面也隨意分別寫上1～6這6個(gè)整數(shù), 然后計(jì)算每張紙片正面與反面所寫數(shù)字之差的絕對值, 得到6個(gè)數(shù), 請你證明: 所得的6個(gè)數(shù)中至少有兩個(gè)是相同的.證明：設(shè)6張卡片正面寫的數(shù)是a1，a2，a3 ,a4 ,a5,a6 ,　反面寫的數(shù)是b1，b2，b3 ,b4, b5, b6 ,　則6張卡片正面寫的數(shù)與反面寫的數(shù)的差的絕對值分別為|a1b1|，|a２b２|，|a３b３|，|a４b４|，|a5b5|，|a6b6|．設(shè)這6個(gè)數(shù)兩兩不相等，則它們只能取0，1，2，3，4，|a1b1|+|a２b２|+|a３b３|+|a４b４|+|a5b5|+|a6b6|=0+1+2+3+4+5=15是個(gè)奇數(shù).另一方面，|aibi|與aibi（i=1,2,3,4,5,6）的奇偶性相同，所以|a1b1|+|a２b２|+|a３b３|+|a４b４|+|a5b5|+|a6b6|與（a1b1）+(a２b２)+(a３b３)+(a４b４)+(a5b5)+(a6b6)= (a1+ a２+ a３+ a４+ a5+ a6)(b1+ b２+ b３+ b４+ b5+ b6 )=（1+2+3+4+5）（1+2+3+4+5）= 0的奇偶性相同，是個(gè)偶數(shù)，矛盾.所以, |a1b1|，|a２b２|，|a３b３|，|a４b４|，|a5b5|，|a6b6|這6個(gè)數(shù)中至少有兩個(gè)是相同的. 例8 某環(huán)形道路上順次排列著四所中學(xué)：A1,A2,A3,，8臺，5臺，12臺。為使各校的彩電數(shù)相同，允許一些學(xué)校向相鄰中學(xué)調(diào)出彩電，問應(yīng)怎樣調(diào)配才能使調(diào)出的彩電總臺數(shù)最少？并求出調(diào)出彩電的最少總臺數(shù)。解 設(shè)A1校調(diào)往A2校 x1臺（若x10，則是A2校調(diào)往A1校x1臺，下同），A2校調(diào)往A3校 x2臺，A3校調(diào)往A4校 x3臺，A4校調(diào)往A1校 x4臺。于是有15 x1+ x4=10， 8 x2+ x1=10，5 x3+ x2=10，12 x4+ x3=10。從而有 x2= x12，x3 = x2 5= x17，x4= x15，調(diào)出的彩電總臺數(shù)為y=|x1 |+|x2 |+|x3|+|x4|=|x1|+|x12|+|x17|+|x15|,其中8≤x1≤15。在數(shù)軸上，| x1 |+| x17|表示數(shù)x1到0和7的距離之和；當(dāng)0≤x1≤7時(shí)，它有最小值7； | x12 |+| x15|表示數(shù)x1到2和5的距離之和；當(dāng)2≤x1≤5時(shí)，它有最小值3。于是當(dāng)2≤x1≤5時(shí)，y有最小值10。所以調(diào)出彩電的最少總臺數(shù)為10，當(dāng)x1=2，3，4，5時(shí)可以得到四個(gè)調(diào)運(yùn)方案：（1）A1校調(diào)往A2校 2臺，調(diào)往A4校 3臺；A4校調(diào)往A3校