【正文】 1，解答此類問題要注意從整體考慮。例6 如圖所示，圓的周長(zhǎng)為4個(gè)單位長(zhǎng)度，在圓的4等分點(diǎn)處標(biāo)上數(shù)字0，1，2，3。 若D或E是紅色的 ，則題目的結(jié)論顯然成立； 若D與E都是藍(lán)色的，則D，C，E同色且C是DE的中點(diǎn)，題目的結(jié)論也成立. 例8．如圖，數(shù)軸上標(biāo)有2n+1個(gè)點(diǎn)，它們對(duì)應(yīng)的整數(shù)是n, (n1), …,2,1,0,1,2,…,n1,n為了確保從這些點(diǎn)中可以任取2006個(gè)，而且其中任何兩個(gè)點(diǎn)之間的距離都不等于4，則n的最小值是 。經(jīng)典例題解析例1 計(jì)算= 。應(yīng)選（A）。解 設(shè)A1校調(diào)往A2校 x1臺(tái)（若x10，則是A2校調(diào)往A1校x1臺(tái)，下同），A2校調(diào)往A3校 x2臺(tái)，A3校調(diào)往A4校 x3臺(tái)，A4校調(diào)往A1校 x4臺(tái)。（4）A1校調(diào)往A2校 5臺(tái)，A2校調(diào)往A3校 3臺(tái)，A4校調(diào)往A3校 2臺(tái)。解 原式 = 2006+ = 2005 + = 2005 + = 2005 + = 2005 +2 =2007例6 計(jì)算：的值為多少？解： 原式 =評(píng)注 本例使用的方法叫做拆項(xiàng)法的，其目的是使加數(shù)中出現(xiàn)一些互為相反數(shù)的項(xiàng)，這樣便可以相互抵消，這種方法在有理數(shù)巧算中是一種很常用的方法．例7計(jì)算2222324…218219+220= .解法1 原式=220219218…242322+2 =219(21) 218…242322+2 =219 218…242322+2 = 218…242322+2 = …… = 2322+2 = 22+2 = 6解法2 設(shè) S = 22+23+24+…+218+219 （1） 則 2S = 23+24+…+218+219+220 （2）（2）（1），得：S=220 – 222222324…218219+220=2S+220=2220 + 22+220=6評(píng)注 解法2常被稱為“錯(cuò)位相減法”，是處理此類問題的常見方法。甲取13張紅桃，乙取 13張黑桃，分別洗和后甲、乙依次各取個(gè)各一張牌，使紅、黑牌配成13對(duì)。對(duì)每個(gè)學(xué)生上午場(chǎng)與下午場(chǎng)人數(shù)應(yīng)相等，則n= 2n=1985.等式的左邊是偶數(shù)，而右邊是奇數(shù)，這個(gè)等式不可能成立。解 假設(shè)這2007個(gè)點(diǎn)都不在直線l上。例8 在1515的棋盤上放置著15個(gè)“車”，彼此互不攻擊，它們像“馬”一樣，各行一步。例2 濃度為p%的鹽水m公斤與濃度為q%的鹽水n公斤混合后的溶液濃度是（ ）（A）（B）（C）（D）解 濃度為p%的鹽水m公斤中含鹽mp%公斤，濃度為q%的鹽水n公斤中含鹽nq%公斤，混合溶液共(m+n)公斤，含鹽(mp%+nq%)公斤，所以濃度是。所以數(shù)軸上的一個(gè)整數(shù)點(diǎn)剛剛繞過圓周n圈（n為正整數(shù)）后，并落在圓周上數(shù)字2所對(duì)應(yīng)的位置，這個(gè)整數(shù)（用含n的代數(shù)式表示）是3n+2。經(jīng)驗(yàn)算，只有一個(gè)是錯(cuò)誤的，這個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)果是（ ）（A）x=1時(shí)y=1 （B）x=3時(shí)y=5 （C）x=6時(shí)y=25 （D）x=8時(shí)y=50解 若四式成立,則有: (3)(2), 得: 27a+6b=20, 此式左邊是3的倍數(shù),而右邊不是3的倍數(shù),所以在(2),(3)兩式中必有一式錯(cuò)誤。11和4互質(zhì)， ∴使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做方程的解，也叫做方程的根。直接設(shè)未知數(shù)。圖形、表格分析法。依題意，得 ， 解得 x=8。已知男子象棋運(yùn)動(dòng)員比女子藝術(shù)體操運(yùn)動(dòng)員多30人，那么最后運(yùn)動(dòng)員總?cè)藬?shù)為（ ）（A）7000 （B）6860 （C） 6615 （D）6370解 男女運(yùn)動(dòng)員比例從 19：12=380：240變?yōu)?0：13=380：247；再變?yōu)?0：19=390：247，于是可設(shè)男運(yùn)動(dòng)員原有380x人，女運(yùn)動(dòng)員原有240x人；那么最后男女運(yùn)動(dòng)員人數(shù)變?yōu)?90x人和247x人,依題意得（390x380x） ( 247x240x) = 30解得 x=10,所以最后運(yùn)動(dòng)員總?cè)藬?shù)為（390+247）10=6370故選D。經(jīng)典例題解析例1．甲、乙兩同學(xué)從400米環(huán)形跑道上的某一點(diǎn)背向出發(fā)，分別以每秒2米和每秒3米的速度慢跑6s鐘后，一只小狗從甲處以每秒6m的速度向乙跑，遇到乙后，又從乙處以每秒6 m的速度向甲跑，如此往返直至甲、乙第一次相遇．那么小狗共跑了 米.解 設(shè)甲、乙同學(xué)跑了x s，則小狗跑了（x6）s．2(x6)+3(x6) = 4002636解得 x=80小狗跑了x6=80 6 = 74(s), 小狗共跑了74 6 = 444(m).例2． 一輛汽車在上坡路上行駛的速度是40千米每小時(shí), 在下坡路上行駛的速度是50千米每小時(shí), 在平路上行駛的速度是每小時(shí)45千米. 某日這輛車從甲地開往乙地, 先是用了的時(shí)間走上坡路, 然后用了的時(shí)間走下坡路, 最后用了的時(shí)間走平路. 已知汽車從乙地按原路返回甲地時(shí), 比從甲地開往乙地所用的時(shí)間 多15分鐘, 那么甲、乙兩地的距離為 千米. 解：設(shè)這輛汽車從甲地開往乙地共用3t時(shí)間, 依題意得 ∴ t=5(小時(shí)).∴ 甲、乙兩地距離 405+455+505＝200+225+250+675(千米). 例3 公共汽車每隔x分鐘發(fā)車一次，小宏在大街上行走，發(fā)現(xiàn)從背后每隔6分鐘開過來一輛公共汽車，而每隔分鐘迎面開來一輛公共汽車。例4 一條船航行于A，B兩碼頭之間，順流行駛40分鐘還差4千米到達(dá)；逆流行駛需小時(shí)到達(dá)。設(shè)9時(shí)x分時(shí)針與分針成直角，從9點(diǎn)鐘開始，分針轉(zhuǎn)過了6x度，而時(shí)針轉(zhuǎn)過了x176。 解. 設(shè)甲步行 x千米，騎車y千米，則乙騎車x千米，步行y千米。 故n＝4或5. 除掉已油漆的單位立方體后, 剩下未漆的構(gòu)成一個(gè)長(zhǎng)方體, 設(shè)其和長(zhǎng)寬高為a, b, c, 則abc＝45, 且a, b, c≤5, 故只能是335＝45, 即n＝5, 它的四個(gè)面油漆過. 故選D。(1)如果搭建的幾何體由9個(gè)小正方體木塊構(gòu)成,試畫出左面看這個(gè)幾何體所得到的所有可能的平面圖形有下列A—E不同的容器（圖2），雨水注滿這些容器各需多長(zhǎng)時(shí)間？　分析 題中“雨嘩嘩地不停地下著”這一條件，也可以理解為雨均勻地下。）通過上述分析與假設(shè)，我們可得出如下結(jié)論：只要容器的“接雨面”與底面大小相同，1小時(shí)后容器內(nèi)雨水的深度就是10cm。這種方法叫做分類法。故一共有65=30種取法。 它們可能與第一行有公共部分，也可能與第一行沒有有公共部分，故可以分為兩類； 每一類的長(zhǎng)方形，可能和第四，五兩行有公共部分，或都沒有公共部分，或僅與第四行有公共部分，而與第五行沒有公共部分，即又分為三類。而在88方格棋盤中23的長(zhǎng)方形有（67）2=48（個(gè)）。 平行四邊形一邊長(zhǎng)為1, 另一邊長(zhǎng)為2的, 有6個(gè)。這17個(gè)點(diǎn)可以形成面積不小于2的正方形頂點(diǎn)的四點(diǎn)組13個(gè)，其中：①面積為2的5個(gè)；②面積為4的3個(gè)；③面積為5的4個(gè)；④面積為8的1個(gè)。解 設(shè)線段CB的長(zhǎng)度為x，則x≥2，AB=2x≥4，于是AB是偶數(shù)。例5．現(xiàn)已知有兩個(gè)角，銳角。例2．如圖, A是直線上的一個(gè)點(diǎn),請(qǐng)你在A點(diǎn)的右側(cè)每隔1厘米取一個(gè)點(diǎn),共取三個(gè)點(diǎn),那么：(1)用B、C、D三個(gè)字母任意標(biāo)在所取的三個(gè)點(diǎn)上, 一共有 種不同的標(biāo)法. (2)在每種標(biāo)法中, AB+BC+CD的長(zhǎng)度與AD的長(zhǎng)度的比分別是 . 解：(1)將B、C、D三個(gè)字母任意標(biāo)在所取的三個(gè)點(diǎn)上, 第一個(gè)點(diǎn)有3種標(biāo)法, 第二個(gè)點(diǎn)有2種標(biāo)法, 第三個(gè)點(diǎn)只有1種標(biāo)法, 所以共有321＝6(種)不同的標(biāo)法. (2)下面是6種不同的標(biāo)法： ①中, (AB+BC+CD)：AD＝(1+1+1)：3＝1：1；②中, (AB+BC+CD)：AD＝(1+2+1)：2＝2：1；③中, (AB+BC+CD)：AD＝(2+1+2)：3＝5：3；④中, (AB+BC+CD)：AD＝(3+2+1)：2＝3：1；⑤中, (AB+BC+CD)：AD＝(2+1+2)：1＝5：1；⑥中, (AB+BC+CD)：AD＝(3+1+1)：1＝5：1；由此, 在每種標(biāo)法中, AB+BC+CD的長(zhǎng)度與AD的長(zhǎng)度的比分別為1：1或2：1或5：3或3：1或5：1或5：1.例3．一個(gè)角的補(bǔ)角的等于它的余角，則這個(gè)角等于______度。即：兩點(diǎn)之間，線段最短。 一共有15個(gè). 同理, 夾角指向右下方或左下方的也各有15個(gè), 故一共有45個(gè)平行四邊形.解2 圖中每個(gè)平行四邊形有一對(duì)銳角頂點(diǎn), 它們不在同一條直線上。例5如圖，a∥b,直線a上有十個(gè)點(diǎn)：A1，A2，…，A10；直線b上有九個(gè)點(diǎn)：B1，B2，…，B9。解2 要確定一個(gè)符合條件的長(zhǎng)方形，需要有上下左右四條邊。2=15種取法，即一共可以連45條線段。這種方法叫做分步法。其中A、B、E三種容器的“接雨面”與底面大小相同。）雨水從敞口部分垂直落入到容器內(nèi)，我們就可以把“敞開面”（即圖中所示的陰影面）叫做“接雨面”。(1)在圖2的六個(gè)小正方形內(nèi),分別填入適當(dāng)?shù)恼麛?shù),用它們分別表示在該處的正方體的個(gè)數(shù),結(jié)合1的要求,有兩種填法：由上二圖知,從左面看這個(gè)幾何體所得的平面；圖形有兩種可能： 2=36（條）.綜上所述，多面體的面數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)和棱數(shù)之和為20+18＋36＝74.評(píng)注：關(guān)于多面體的頂點(diǎn)數(shù)（V），棱數(shù)（E），面數(shù)（F），數(shù)學(xué)家歐拉曾給出一個(gè)公式（歐拉公式）：V＋FE＝2. 根據(jù)歐拉公式，知道上例多面體的面數(shù)和頂點(diǎn)數(shù)之后，棱數(shù)便可求得：E=V＋F2=20＋182=36（條）.例3 將27個(gè)大小相同的小正方體組成一個(gè)大正方體，現(xiàn)將大正方體各面上的某些小方格涂上黑色，如圖所示，而且上與下、前與后、左與右相對(duì)兩個(gè)面上的涂色方式相同，這時(shí)，至少有一個(gè)面上涂有黑色的小正方體的個(gè)數(shù)是（ ）（A） 18 （B） 20 （C） 22 （D） 24解 從圖中可以看出大正方體正面中心的一個(gè)小正方體，以及它后面的兩個(gè)小正方體（共3個(gè)）沒有被涂黑，頂面中間一排左右兩個(gè)小正方體，及其地面相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)小正方體沒有被涂黑。我們既要會(huì)將一個(gè)立體圖形展開得到它的各個(gè)面，也要會(huì)將一個(gè)平面圖形折疊起來，想象出它的立體形狀。所以可列方程；，解得x=，所以選（D）。解： 設(shè)順流速度為每小時(shí)x千米，依題意得方程，x=18，故船在靜水中的速度為（18+12）247。分析：此題包括了行程問題中的相遇與追及兩種情況。亮13的人心中想的數(shù)是122（16x），即為8+x，依等量關(guān)系列方程為：解得x=l0.答：亮5的人心中想著的數(shù)是10.例7 有一滿池水,池底有泉總能均勻地向外涌流,已知用24部A型抽水機(jī)6天可抽干池水,若用21部A型抽水機(jī)8天可抽干池水,設(shè)每部抽水機(jī)單位時(shí)間的抽水量相同,要使這一池水永抽不干,至多只能用幾部抽水機(jī)抽水?解. 設(shè)滿池水為v升,每天泉水產(chǎn)生a升,用n部A型抽水機(jī),則,解得a=,每天每部抽水機(jī)的抽水量為升,因而 即至多只能用12部抽水機(jī)抽水。例2．某人走進(jìn)一家商店，進(jìn)門付1角錢，然后在店里購(gòu)物花掉當(dāng)時(shí)他手中錢的一半，走出商店又付1角錢，之后，他走進(jìn)第二家商店付1角錢，在店里花掉當(dāng)時(shí)手中錢的一半，走出商店付1角錢，他又走進(jìn)第三家商店付1角錢，在店里花掉當(dāng)時(shí)他手中錢的一半，出店付1角錢，最后，他走進(jìn)第四家商店付1角錢，在店里花掉當(dāng)時(shí)他手中錢韻一半，出店付1角錢，這時(shí)他一分錢也沒有了，該人原有錢的數(shù)目是 角．，他在進(jìn)第二家商店前花掉了角，剩下角；他在進(jìn)第三家商店前花掉了角，剩下角；進(jìn)第四家商店前剩下角，因在第四家商店后一分錢也不剩了，故解得（角）．評(píng)注：本題可以逆推出結(jié)果，因在第四家商店購(gòu)物花掉當(dāng)時(shí)的一半錢后，只剩一角錢，故在進(jìn)第四家商店前只剩1+21=3角錢，依此逆推得結(jié)果，例3. 一罐咖啡甲乙兩人一起喝10天喝完，甲單獨(dú)喝則需12天喝完；一斤茶葉兩人一起喝12天喝完，乙單獨(dú)喝則需20天喝完。整體思想。設(shè)間接未知數(shù)。（2）當(dāng)a=b=0時(shí)，方程的解為任意數(shù)；（3）當(dāng)a=0，b≠0時(shí)，方程無解。11｜(3x7y+12z)例7 一個(gè)五位數(shù)，若前三個(gè)數(shù)字表示的三位數(shù)與后二個(gè)數(shù)字表示的兩位數(shù)的和能被11整除，判斷這個(gè)五位數(shù)能否被11整除，并說明理由。例6 (I) x,y 均為整數(shù), 若 5│(x+9y),求證: 5│(8x+7y).(II) x,y,z 均為整數(shù),若11│(7x+2y5z), 求證: 11│(3x7y+12z).(注：a|b 表示整數(shù)b能被整數(shù)a整除)證明 （I）因?yàn)?│(x+9y), 故5│(2x+18y)，又顯然5│(10x+25y)，而8x+7y=(10x+25y) (2x+18y)，所以 5│(8x+7y).（II）∵ 4(3x7y+12z)+3(7x+2y5z)=11(3x2y+3z)而3. 靈活地去（添）括號(hào) 括號(hào)前面去掉（或添上）“+”號(hào)，括號(hào)里各項(xiàng)都不變；括號(hào)前面去掉（或添上）“”號(hào)，括號(hào)里各項(xiàng)都變號(hào)， 若有多層括號(hào)，去括號(hào)有三種方法：一是可以從里向外去；二是可以從外向里去；三是可以里外同時(shí)去，同時(shí)在去括號(hào)后，在不影響計(jì)算結(jié)果的前提下，也可以邊去括號(hào)邊合并同類項(xiàng)，從而簡(jiǎn)化計(jì)算