【正文】 ，經(jīng)典例題解析例1 同時(shí)都含有字母a，b，c，且系數(shù)為1的7次單項(xiàng)式共有( )．(A)4個(gè) (B) 12個(gè) (C) 15個(gè) (D) 25個(gè)解：設(shè)滿足條件的單項(xiàng)式為的形式，其中m、n、p為自然數(shù)，且m+n+p=7．指數(shù)m，n，p只能有如下四組可能: 1,1,5； l,2,4； 1,3,3； 2,2,3．所以滿足條件的單項(xiàng)式有總計(jì)有15個(gè)．故選（D）例2．在多項(xiàng)式（其中m，n為正整數(shù)）中，恰有兩項(xiàng)是同類項(xiàng)，則m例3．如圖是一個(gè)長為a，寬為b的矩形．兩個(gè)陰影圖形分別是一對(duì)長為c的底邊在矩形對(duì)邊上的一個(gè)平行四邊形和一個(gè)矩形．則矩形中未涂陰影部分的面積為（ ）（A）ab(a+b)c．（B）ab(ab)c．（C）(ac)(bc)．（D）(ac)(b+c)．解：將圖形沿左右、上下平移后，可以得到一個(gè)長為(ac)，寬為 (bc)的長方形，其面積為(ac) (bc)，這也就是未涂陰影部分的面積。證明：記下每個(gè)車的行號(hào)和列號(hào)．因?yàn)楸舜嘶ゲ还?，行?hào)像列號(hào)那樣都是各不相同的，所以，在這30個(gè)號(hào)中，有16個(gè)奇數(shù)14個(gè)偶數(shù)，當(dāng)車移動(dòng)一馬步時(shí)，它的行號(hào)改變1，列號(hào)改變2，或行號(hào)改變2，列號(hào)改變1．這樣各行一步后，30個(gè)號(hào)中的15個(gè)保持奇偶性，而剩余的15個(gè)改變它們的奇偶性．因此移動(dòng)后，它們之中有16個(gè)奇號(hào)14個(gè)偶號(hào)是不可能的．這就意味著一定有兩個(gè)車互相攻擊．．第5講 代數(shù)式知識(shí)方法掃描用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式子，叫做代數(shù)式。也就是說，不在直線l上的Ai(i=1,2,…,2007)與Ai關(guān)于直線 l對(duì)稱點(diǎn)Ai’成對(duì)出現(xiàn)，即平面上標(biāo)出的點(diǎn)的總數(shù)應(yīng)是偶數(shù)個(gè)，與點(diǎn)的總數(shù)2007相矛盾。例3．設(shè)沿江有A1，A2，A3，A4，A5．A6六個(gè)碼頭，相鄰兩碼頭間的距離相等．早晨有甲、乙兩船從A1出發(fā)，各自在這些碼頭間多次往返運(yùn)貨．傍晚，甲船停泊在A6碼頭，乙船停泊在A1碼頭．求證：無論如何，兩船的航程總不相等(假定船在相鄰兩碼頭航行時(shí)，中途不改變航向)．證明 六個(gè)碼頭把A1到A6這段水路分成5個(gè)小段，設(shè)每段水路的長為a，由于船在任意一個(gè)碼頭出發(fā)，又返回碼頭時(shí)，往返每小段的水路總是相同的，因此，乙船的航程是a的偶數(shù)倍．甲船的航程是從A1到A6再加上各碼頭之間的往返路程，即5a+a的偶數(shù)倍=a的奇數(shù)倍，a的偶數(shù)倍≠a的奇數(shù)倍，故甲、乙船的航程總不相等． 例4．你能找到三個(gè)整數(shù)a,b，c，使得關(guān)系式(a+b+c)(abc)(ab+c)(b+ca)=3388成立嗎？如果能找到，請(qǐng)舉一例，如果找不到，請(qǐng)說明理由．解：找不到滿足條件的三個(gè)整數(shù)理由如下：如果存在整數(shù)a，b，c，使(a+b+c)(ab+c)(a+bc)(b+ca)=3388成立．因?yàn)?388是偶數(shù)，則左邊四個(gè)因子中至少有一個(gè)是偶數(shù)．不妨設(shè)a+b+c為偶數(shù)，則ab+c=(a+b+c)2b為偶數(shù)，同理a+bc=(a+b+c)2c為偶數(shù)。證法1：由于13張牌中的點(diǎn)數(shù)有7個(gè)奇數(shù)，6個(gè)偶數(shù)，所以當(dāng)紅、黑牌配成13對(duì)后，至少有一對(duì)數(shù)的奇偶性相同，這對(duì)數(shù)的差是偶數(shù)，于是這13對(duì)數(shù)的差的積必為一個(gè)偶數(shù)。解 設(shè)k0點(diǎn)表示的有理數(shù)為x，則k1, k2,…, k100,點(diǎn)所表示的有理數(shù)分別為x1，x1+2,x1+23,…, x1+23+4…99+100由題意得x1+23+4…99+100=，解得 x= 第4講 奇數(shù)與偶數(shù)知識(shí)方法掃描能被2整除的整數(shù)叫做偶數(shù)，不能被2整除的整數(shù)叫做奇數(shù)。有理數(shù)運(yùn)算是中學(xué)數(shù)學(xué)中一切運(yùn)算的基礎(chǔ)。從而有 x2= x12，x3 = x2 5= x17，x4= x15，調(diào)出的彩電總臺(tái)數(shù)為y=|x1 |+|x2 |+|x3|+|x4|=|x1|+|x12|+|x17|+|x15|,其中8≤x1≤15。這就需要探究絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的數(shù)的正負(fù)，分類討論，往往是必須的。例2． 已知a,b 互為相反數(shù)，c,d互為倒數(shù)，x的絕對(duì)值等于1，則(a+b)x3+x2cdx可以取得的那個(gè)較大的值是 。從中可取前4個(gè)數(shù)0，1，2，3， 其中任何兩個(gè)點(diǎn)的 距離都不等于4。 解 填3 不難看出：數(shù)軸上的數(shù)中4的倍數(shù)，對(duì)應(yīng)于圓周上的數(shù)是1；數(shù)軸上的數(shù)中被4除余3的倍數(shù)，對(duì)應(yīng)于圓周上的數(shù)是2；數(shù)軸上的數(shù)中被4除余2的倍數(shù)，對(duì)應(yīng)于圓周上的數(shù)是3；數(shù)軸上的數(shù)中被4除余3的倍數(shù)，對(duì)應(yīng)于圓周上的數(shù)是4。例3．文具店、書店和玩具店依次坐落在一條東西走向的大街上，文具店在書店西邊20米處，玩具店位于書店東邊100米處，小明從書店沿街向東走了40米，接著又向東走了60米，此時(shí)小明的位置在 ( ) (A)文具店． (B)玩具店． (C)文具店西邊40米． (D)玩具店東60米．解 選（A）． 由題意可以畫出下圖： 因?yàn)?，向東走了60米就是向西走了60米．所以，小明從書店向東走了40米，再向西走60米，結(jié)果是小明的位置在書店西邊20米，也就是文具店的位置， 例4 如下圖所示，在數(shù)軸上有六個(gè)點(diǎn)，且AB=BC=CD=DE=EF，則與點(diǎn)C所表示的數(shù)量接近的整數(shù)是（ ）（A） 1 （B） 0 （C） 1 （D） 2 解 選C。例2 三個(gè)互不相等的數(shù)，可以表示成1，a+b，a的形式，也可以表示成0，b的形式，那么a+3b= 解 由題意知，a與a+b中必有一個(gè)等于0，b與中必有一個(gè)等于1，但顯然a≠0，故a+b=0，從而=－1，于是b=1，這樣就有a=－1，∴a+3b=2。先讓圓周上數(shù)字0所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與數(shù)軸上的數(shù)1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合，再讓數(shù)軸逆時(shí)針方向繞在該圓上，那么數(shù)軸上的數(shù)2006將與圓周上數(shù)字 重合。解 首先注意8個(gè)連續(xù)的點(diǎn)，例如0，1，2，3，4，5，6，7 。解：原式=（－）+（－）－（－）= 0， 故填0。評(píng)注：去掉絕對(duì)值的符號(hào)，是處理絕對(duì)值問題的基本方法。于是有15 x1+ x4=10， 8 x2+ x1=10，5 x3+ x2=10，12 x4+ x3=10。 第3講 有理數(shù)的運(yùn)算知識(shí)方法掃描在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的開始階段，由相反意義的量引入了負(fù)數(shù)的概念，將我們所學(xué)習(xí)過的數(shù)推廣到了有理數(shù)。例8電子跳蚤落在數(shù)軸上的某點(diǎn)k0,第一步從k0向左跳1個(gè)單位到k1,第二步由k1向右跳2個(gè)單位到k2,第三步由k向左跳3個(gè)單位到k3,第四步由k3向右跳4個(gè)單位到k4,…,按以上規(guī)律跳了100步時(shí)，．則電子跳蚤的初始位置k0點(diǎn)所表示的數(shù)是 。證明這13對(duì)數(shù)的差的積必為一個(gè)偶數(shù)。所以，至少存在這樣一個(gè)座位，上，下午坐的是甲，乙不同學(xué)校的學(xué)生。由于其中每個(gè)點(diǎn)Ai(i=1,2,…,2007)關(guān)于直線 l對(duì)稱點(diǎn)Ai’仍在這2007個(gè)點(diǎn)中，所以Ai’ 也都不在直線l上。求證：現(xiàn)在有兩個(gè)互相攻擊。 故選D。第6講 整式的概念和整式的加減知識(shí)方法掃描整式的概念1. 單項(xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式．2．單項(xiàng)式由數(shù)與字母的積組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式，單獨(dú)一個(gè)字或數(shù)也是單項(xiàng)式． 單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)，單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)和叫做單項(xiàng)式的次數(shù)3． 多項(xiàng)式幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式．在多項(xiàng)式中的每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式項(xiàng)，其中，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)．一個(gè)多項(xiàng)式有幾項(xiàng)就叫做幾項(xiàng)式，次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)就叫做多項(xiàng)的次數(shù).把一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)按照某一個(gè)字母的指數(shù)從大到小（或從小到大）的順序排列叫做降（或升）冪排列法．整式的加減1．同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)，幾個(gè)常數(shù)也是同類項(xiàng)．2．合并同類項(xiàng)：把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，即把它們的系數(shù)相加作為新的系數(shù)，而字母部分不變，叫做合并同類項(xiàng)．整式的加減實(shí)際就是合并同類項(xiàng)。,(4)(3), 得 8a+2b=25, 此式左邊是偶數(shù),而右邊不是偶數(shù),所以在(3),(4)兩式中也必有一式錯(cuò)誤. 所以(3) 。 最簡方程 ax=b 解的情況：（1）當(dāng)a≠0時(shí)，方程是一元一次方程，它有唯一解。 應(yīng)用題往往題目較長，要讀懂題意，找出已知和末知，緊抓題目中的等量關(guān)系，直接設(shè)末知數(shù)，通過等量關(guān)系列出方程或方程組，從而解決問題。有些復(fù)雜的應(yīng)用題，已知量、末知量較多，而且它們之間的關(guān)系又較為復(fù)雜，通過構(gòu)造圖形、表格能直觀地反映已知、末知及它們之間的相互關(guān)系，從而很輕松地解決問題。答：這個(gè)工程隊(duì)有8個(gè)工人。例5 在某種濃度的鹽水中加入“一杯水”后，得到新鹽水，它的濃度為20%，又在新鹽水中加入與前述“一杯水”的重量相等的純鹽后，鹽水濃度變?yōu)?．那么原來鹽水濃度為( )． (A)23% (B)25% (C)30% (D)32%[解]設(shè)原鹽水重量為a，濃度為x，則原鹽水含鹽量為ax，并設(shè)“一杯水”的重量為b，原鹽水加入“一杯水”后，濃度為依題意得：即第二次是在新鹽水中加鹽，所加鹽的重量為b，這時(shí)，濃度為由①得，由②得代人③式，例6 10入圍成一圈，每個(gè)人心里想—個(gè)數(shù)，并把這個(gè)數(shù)告訴左右相鄰的兩個(gè)人，然后每個(gè)人把左右兩個(gè)相鄰人告訴自己的數(shù)的平均數(shù)亮出來，如圖所示，問亮5的人心中想的數(shù)是多少？ 分析 本題中的等量關(guān)系為：亮5的人心中想的數(shù)十亮13的人心中想的數(shù)=142．解：設(shè)亮5的人心中想的數(shù)是x，那么 亮7的人心中想的數(shù)+6）= 6 則亮7的人心中想的數(shù)=62x，即為12x．以此類推，亮9的人心中想的數(shù)是82(12x)，即為4+x；亮11的人心中想的數(shù)是102(4+x)，即為16 x。如果公共汽車與小宏行進(jìn)的速度都是均勻的，則x等于 分鐘。已知逆流速度每小時(shí)12千米，求船在靜水中的速度。后又成直角，這時(shí)分鐘比時(shí)針多轉(zhuǎn)180176。 依題意，兩人所用的時(shí)間相同，即 , 去分母，并整理得 y=2x 因此甲的平均速度是 千米/小時(shí).第10講 立體圖形知識(shí)方法掃描我們所在的世界，我們要逐步學(xué)會(huì)將它們轉(zhuǎn)化成平面圖形的問題來解決，它包括：1．展開與折疊將一個(gè)立體圖形的表面展開，就得到了一個(gè)平面圖形；反過來，將一個(gè)平面圖形折疊起來，就得到一個(gè)立體圖形。例2 如下圖所示，剪一塊硬紙片可以做成一個(gè)多面體的紙模型（沿虛線折，沿實(shí)線粘）.這個(gè)多面體的面數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)和棱數(shù)的總和是多少？解：從展開圖可以看出，粘合后的多面體有12個(gè)正方形和8個(gè)三角形，共20個(gè)面.　　這個(gè)多面體上部的中間是一個(gè)正三角形，這個(gè)正三角形的三邊與三個(gè)正方形相連，這樣上部共有9個(gè)頂點(diǎn)，多面體的頂點(diǎn)總數(shù)為 92=18（個(gè)）.　　在20個(gè)面的邊中，虛線有19條，兩條實(shí)線表示一條棱，所以多面體的總棱數(shù)為　　19＋34247。(2)這樣的幾何體最多可由幾塊小正方體構(gòu)成？并在所用木塊最多的情況下,畫出從左面看到的所有可能的平面圖形.解：（這與日常生活中的降雨略有不同，生活中降雨可能會(huì)時(shí)大時(shí)小，并不均勻。 解　根據(jù)結(jié)論，觀察圖2所示的五種容器。2．分步計(jì)數(shù)在計(jì)數(shù)時(shí)，為了有序地思維，我們常將其分成若干步，然后將其每一步的方法數(shù)相乘，便得到了總數(shù)。但因先取A點(diǎn)再取B點(diǎn)和先取B點(diǎn)再取A點(diǎn)得到的是同一條線段，在上述計(jì)數(shù)中被重復(fù)計(jì)算了，故實(shí)際上是30247。故從行考慮共有（23）種方法； 同理，從列來考慮有（34）種方法；于是，含兩個(gè)“A”在內(nèi)的由小正方形組成的長方形（含正方形）有（23）（34）=72個(gè)。所以可以找到842=168個(gè)“凸”字形圖形。 平行四邊形兩邊長都為3的, 有3個(gè)。，畫1條直線，能把平面分成1 + 1=2部分；畫2條直線，最多能把平面分成1 + 1+2=4部分；畫3條直線，最多能把平面分成1 + 1+2+3=7部分；畫4條直線，最多能把平面分成1 + 1+2+3+4=11部分；……照此規(guī)律計(jì)算下去，畫2003條直線，最多能把平面分成___________部分.解 1條直線最多將平面分成2個(gè)部分；2條直線最多將平面分成4個(gè)部分；3條直線最多將平面分成7個(gè)部分；4條直線最多將平面分成11個(gè)部分．現(xiàn)在添上第5條直線．它與前面的4條直線最多有4個(gè)交點(diǎn)，這4個(gè)交點(diǎn)將第5條直線分成5段，其中每一段將原來所在平面部分一分為二，所以5條直線最多將平面分成11+5=16個(gè)部分．完全類似地，5條直線最多將平面分成11+5=16個(gè)部分；6條直線最多將平面分16+6=22個(gè)部分；7條直線最多將平面分成22+7=29個(gè)部分；8條直線最多將平面分成29+8=37個(gè)部分等等． 一般地，n條直線最多將平面分成1+（1+2+3+…+n）=個(gè)部分． 當(dāng)n=2003時(shí), =1+20031002=2007007即2003條直線，最多能把平面分成2007007部分.第12講 線段和角知識(shí)方法掃描直線上兩點(diǎn)間的部分叫線段，關(guān)于線段的性質(zhì)，有線段的公理：在所有連結(jié)兩點(diǎn)的線中，線段最短。又140=2257，且140是線段AB所有可能的線段長度數(shù)的乘積，所以AB=10或14，故線段AB所有可能長度的和等于2