【正文】 5臺(tái)。（2）A1校調(diào)往A2校 3臺(tái)，調(diào)往A4校 2臺(tái)；A2校調(diào)往A3校 1臺(tái)；A4校調(diào)往A3校 4臺(tái)。（3）A1校調(diào)往A2校 4臺(tái)，調(diào)往A4校 1臺(tái)；A2校調(diào)往A3校 1臺(tái)；A4校調(diào)往A3校 4臺(tái)。（4）A1校調(diào)往A2校 5臺(tái)，A2校調(diào)往A3校 3臺(tái)，A4校調(diào)往A3校 2臺(tái)。 第3講 有理數(shù)的運(yùn)算知識(shí)方法掃描在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的開始階段，由相反意義的量引入了負(fù)數(shù)的概念，將我們所學(xué)習(xí)過(guò)的數(shù)推廣到了有理數(shù)。有理數(shù)運(yùn)算是中學(xué)數(shù)學(xué)中一切運(yùn)算的基礎(chǔ)。它不僅要求同學(xué)們?cè)诶斫庥欣頂?shù)的有關(guān)概念和運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上，能根據(jù)法則、公式等正確、迅速地進(jìn)行運(yùn)算；還要善于根據(jù)題目條件，選擇合理而又簡(jiǎn)捷的算法來(lái)解決問題，從而提高運(yùn)算的速度和準(zhǔn)確性。經(jīng)典例題解析例1 計(jì)算 12+34+…+19931994= . 解1 原式 =（12）+（34）+…+（19931994）= （1）+（1）+ …+（1） = 997解2 原式=(1+2+3+4+…+1993+1994)2(2+4+…+1994) = (1+2+3+4+…+1993+1994)4(1+2+…+997)= = 19959971996997 = 997評(píng)注 在有理數(shù)的運(yùn)算中，可以根據(jù)運(yùn)算法則和運(yùn)算律，去掉或者添上括號(hào)，以此來(lái)改變運(yùn)算的次序，找出其中的規(guī)律，使復(fù)雜的問題變得較簡(jiǎn)單．例2 計(jì)算：= 解 原式: 例3 計(jì)算并把結(jié)果寫成小數(shù)：= 解： 原式= = = 104247。（99+1）= .評(píng)注 直接計(jì)算比較繁，這里是采用逆用分配律并從整體考慮的方法使計(jì)算變得簡(jiǎn)單。例4 ____解 設(shè)a, = b原式= = b－a = 評(píng)注 解答此題使用的是換元法：將題中某些相同的式子用字母表示，從整體考慮，從而可以減少計(jì)算過(guò)程的書寫量。例5 有理數(shù)的值等于 。解 原式 = 2006+ = 2005 + = 2005 + = 2005 + = 2005 +2 =2007例6 計(jì)算：的值為多少？解： 原式 =評(píng)注 本例使用的方法叫做拆項(xiàng)法的，其目的是使加數(shù)中出現(xiàn)一些互為相反數(shù)的項(xiàng)，這樣便可以相互抵消，這種方法在有理數(shù)巧算中是一種很常用的方法．例7計(jì)算2222324…218219+220= .解法1 原式=220219218…242322+2 =219(21) 218…242322+2 =219 218…242322+2 = 218…242322+2 = …… = 2322+2 = 22+2 = 6解法2 設(shè) S = 22+23+24+…+218+219 （1） 則 2S = 23+24+…+218+219+220 （2）（2）（1），得：S=220 – 222222324…218219+220=2S+220=2220 + 22+220=6評(píng)注 解法2常被稱為“錯(cuò)位相減法”，是處理此類問題的常見方法。例8電子跳蚤落在數(shù)軸上的某點(diǎn)k0,第一步從k0向左跳1個(gè)單位到k1,第二步由k1向右跳2個(gè)單位到k2,第三步由k向左跳3個(gè)單位到k3,第四步由k3向右跳4個(gè)單位到k4,…,按以上規(guī)律跳了100步時(shí)，．則電子跳蚤的初始位置k0點(diǎn)所表示的數(shù)是 。解 設(shè)k0點(diǎn)表示的有理數(shù)為x，則k1, k2,…, k100,點(diǎn)所表示的有理數(shù)分別為x1，x1+2,x1+23,…, x1+23+4…99+100由題意得x1+23+4…99+100=，解得 x= 第4講 奇數(shù)與偶數(shù)知識(shí)方法掃描能被2整除的整數(shù)叫做偶數(shù)，不能被2整除的整數(shù)叫做奇數(shù)。要注意運(yùn)用奇數(shù)與偶數(shù)的下列性質(zhì)解題：1．兩個(gè)整數(shù)的和與差有相同的奇偶性；2．奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和還是奇數(shù)，偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和是偶數(shù)；3．當(dāng)為n偶數(shù)時(shí)，(1)n=1。 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，(1)n = 1.4．兩個(gè)整數(shù)相加，若加數(shù)的奇偶性相同，那么它們的和是偶數(shù)；加數(shù)的奇偶性不同，那么它們的和是奇數(shù)。5．兩個(gè)整數(shù)相乘，若乘數(shù)中有一個(gè)是偶數(shù)，那么乘積是偶數(shù)；如果乘數(shù)都是奇數(shù)，那么乘積是奇數(shù)。6．奇數(shù)≠偶數(shù)。經(jīng)典例題解析例1．撲克牌中的A，J，Q，K分別表示1，11，12，13。甲取13張紅桃，乙取 13張黑桃，分別洗和后甲、乙依次各取個(gè)各一張牌，使紅、黑牌配成13對(duì)。證明這13對(duì)數(shù)的差的積必為一個(gè)偶數(shù)。證法1：由于13張牌中的點(diǎn)數(shù)有7個(gè)奇數(shù)，6個(gè)偶數(shù)，所以當(dāng)紅、黑牌配成13對(duì)后，至少有一對(duì)數(shù)的奇偶性相同，這對(duì)數(shù)的差是偶數(shù)，于是這13對(duì)數(shù)的差的積必為一個(gè)偶數(shù)。證法2：由于13對(duì)數(shù)的和是0，所以不可能每對(duì)數(shù)得差都是奇數(shù)，否則它們的和 為一個(gè)奇數(shù)。于是至少有一對(duì)數(shù)的差為偶數(shù)，即這13對(duì)數(shù)的差的積必為一個(gè)偶數(shù)。例2 某電影院共有1985個(gè)座位。某天，這家電影院上下午各演一場(chǎng)電影，看電影的是甲乙兩所中學(xué)的各1985名學(xué)生（同一個(gè)學(xué)校的學(xué)生有的看上午場(chǎng)，有的看下午場(chǎng)），試證明：電影院一定有這樣的座位，這天看電影時(shí)上，下午在這個(gè)座位上坐的是兩個(gè)不同學(xué)校的學(xué)生。證明：甲，乙兩校看電影的學(xué)生都是1985人，：上午場(chǎng)下午場(chǎng)甲校n個(gè)座位(1985n) 個(gè)座位乙校(1985n)個(gè)座位n個(gè)座位 假設(shè)每個(gè)座位上，下午坐的都是同一學(xué)校的學(xué)生。對(duì)每個(gè)學(xué)生上午場(chǎng)與下午場(chǎng)人數(shù)應(yīng)相等，則n= 2n=1985.等式的左邊是偶數(shù)，而右邊是奇數(shù)，這個(gè)等式不可能成立。所以，至少存在這樣一個(gè)座位，上，下午坐的是甲，乙不同學(xué)校的學(xué)生。例3．設(shè)沿江有A1，A2，A3，A4，A5．A6六個(gè)碼頭，相鄰兩碼頭間的距離相等．早晨有甲、乙兩船從A1出發(fā)，各自在這些碼頭間多次往返運(yùn)貨．傍晚，甲船停泊在A6碼頭，乙船停泊在A1碼頭．求證：無(wú)論如何，兩船的航程總不相等(假定船在相鄰兩碼頭航行時(shí)，中途不改變航向)．證明 六個(gè)碼頭把A1到A6這段水路分成5個(gè)小段，設(shè)每段水路的長(zhǎng)為a，由于船在任意一個(gè)碼頭出發(fā)，又返回碼頭時(shí)，往返每小段的水路總是相同的，因此，乙船的航程是a的偶數(shù)倍．甲船的航程是從A1到A6再加上各碼頭之間的往返路程，即5a+a的偶數(shù)倍=a的奇數(shù)倍，a的偶數(shù)倍≠a的奇數(shù)倍，故甲、乙船的航程總不相等． 例4．你能找到三個(gè)整數(shù)a,b，c，使得關(guān)系式(a+b+c)(abc)(ab+c)(b+ca)=3388成立嗎？如果能找到，請(qǐng)舉一例，如果找不到，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：找不到滿足條件的三個(gè)整數(shù)理由如下：如果存在整數(shù)a，b，c，使(a+b+c)(ab+c)(a+bc)(b+ca)=3388成立．因?yàn)?388是偶數(shù)，則左邊四個(gè)因子中至少有一個(gè)是偶數(shù)．不妨設(shè)a+b+c為偶數(shù)，則ab+c=(a+b+c)2b為偶數(shù)，同理a+bc=(a+b+c)2c為偶數(shù)。b+ca=(a+b+c)2a為偶數(shù)．因此(a+b+c)(ab+c)(a+bc)(b+ca)能被16整除，而3388不能被16整除，得出矛盾．故不存在三個(gè)整數(shù)a，b，c滿足關(guān)系式(a+b+c)(ab+c)(a+bc)(b+ca)=3388． 例5．在33的表格（1）和（2）中，每格填有“+”號(hào)或“”號(hào)， 然后每次將表格中的任意一行或任意一列的各格全部變號(hào)，試問重復(fù)若干次這樣的“變號(hào)”程序后，能否從一張表變?yōu)榱硪粡埍恚?表（1） 表（2）解 考察兩張表中位于左上角的22的小正方形，如下圖中的黑框所示：表（1） 表（2） 表（1）中的小正方形中有4個(gè)“+”號(hào)，實(shí)施變號(hào)步驟后，“+”號(hào)的個(gè)數(shù)仍然是偶數(shù)；表（2）中的小正方形中有1個(gè)“+”號(hào)，實(shí)施變號(hào)步驟后，“+”號(hào)的個(gè)數(shù)仍然是奇數(shù)。故它們不能從一個(gè)變到另外一個(gè)。 顯然22的小正方形互變無(wú)法實(shí)現(xiàn)，所以33的大正方形的互變也無(wú)法實(shí)現(xiàn)。例6． 小明在平面上標(biāo)出了2007個(gè)點(diǎn)并畫了一條直線l, 他發(fā)現(xiàn)：這2007個(gè)點(diǎn)中的每一個(gè)關(guān)于直線 l對(duì)稱點(diǎn)，仍然在這2007個(gè)點(diǎn)中。請(qǐng)你說(shuō)明：這2007個(gè)點(diǎn)中至少有一個(gè)點(diǎn)在直線l上。解 假設(shè)這2007個(gè)點(diǎn)都不在直線l上。由于其中每個(gè)點(diǎn)Ai(i=1,2,…,2007)關(guān)于直線 l對(duì)稱點(diǎn)Ai’仍在這2007個(gè)點(diǎn)中，所以Ai’ 也都不在直線l上。也就是說(shuō)，不在直線l上的Ai(i=1,2,…,2007)與Ai關(guān)于直線 l對(duì)稱點(diǎn)Ai’成對(duì)出現(xiàn)，即平面上標(biāo)出的點(diǎn)的總數(shù)應(yīng)是偶數(shù)個(gè)，與點(diǎn)的總數(shù)2007相矛盾。因此，“這2007個(gè)點(diǎn)都不在直線l上”的假設(shè)不能成立，即這2007個(gè)點(diǎn)中至少有一個(gè)點(diǎn)在直線l上。例7 設(shè)有n個(gè)實(shí)數(shù)：x1,x2,…,xn，其中每一個(gè)不是+1，就是1，且，求證：n是4的倍數(shù)。證明 首先證n為偶數(shù)：因n個(gè)實(shí)數(shù)：x1,x2,…,xn，其中每一個(gè)不是+1，就是1，所以n個(gè)分?jǐn)?shù)：， ，…， ， 中的每一個(gè)不是+1，就是1。而這n個(gè)分?jǐn)?shù)和為0，所以n為偶數(shù)，設(shè)n=2k ( k為整數(shù)) ，則n個(gè)分?jǐn)?shù)中有k個(gè)+1，k個(gè)1。 其次證k為偶數(shù)： 因n個(gè)分?jǐn)?shù)的積為??…??=1， 即(+1)k(1)k=1 , (1) k =1,所以k 為偶數(shù)，從而n=2k為4的倍數(shù)。例8 在1515的棋盤上放置著15個(gè)“車”，彼此互不攻擊，它們像“馬”一樣，各行一步。求證：現(xiàn)在有兩個(gè)互相攻擊。證明：記下每個(gè)車的行號(hào)和列號(hào)．因?yàn)楸舜嘶ゲ还?，行?hào)像列號(hào)那樣都是各不相同的，所以，在這30個(gè)號(hào)中，有16個(gè)奇數(shù)14個(gè)偶數(shù)，當(dāng)車移動(dòng)一馬步時(shí)，它的行號(hào)改變1，列號(hào)改變2，或行號(hào)改變2，列號(hào)改變1．這樣各行一步后，30個(gè)號(hào)中的15個(gè)保持奇偶性，而剩余的15個(gè)改變它們的奇偶性．因此移動(dòng)后，它們之中有16個(gè)奇號(hào)14個(gè)偶號(hào)是不可能的．這就意味著一定有兩個(gè)車互相攻擊．．第5講 代數(shù)式知識(shí)方法掃描用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式子，叫做代數(shù)式。單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母，像1，0，a，x 也是代數(shù)式，這里“用運(yùn)算符號(hào)連結(jié)”一般指加、減、乘、除、乘方。將日常生活的語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，就是要會(huì)列出代數(shù)式；另一方面也要理解代數(shù)式的含義，會(huì)求代數(shù)式的值。用具體的數(shù)代替代數(shù)式里的字母進(jìn)行計(jì)算，求出代數(shù)式的值，是一個(gè)由一般到特殊的過(guò)程．具體求解代數(shù)式值的問題時(shí)，對(duì)于較簡(jiǎn)單的問題，代入直接計(jì)算并不困難，但對(duì)于較復(fù)雜的代數(shù)式，往往是先化簡(jiǎn)，然后再求值． 經(jīng)典例題解析例1 a,b是有理數(shù), (1) 若a+b=0,則 a,b 互為________. (2) 若ab=0, 則 a,b 至少________. (3) 若ab=1, 則 a,b ________. (4) 若ab0, 則 a,b ________. (5) 若a2+b2=0,則 a,b ________.解 (1) 若a+b=0,則 a,b 互為相反數(shù)；(2) 若ab=0, 則 a,b 至少有一個(gè)等于零；(3) 若ab=1, 則 a,b互為倒數(shù)；(4) 若ab0, 則 a,b的符號(hào)相同；(5) 若a2+b2=0, 則 a,b都等于零。評(píng)注 用數(shù)學(xué)語(yǔ)言——代數(shù)式和數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表達(dá)日常生活語(yǔ)言，是學(xué)好數(shù)學(xué)一項(xiàng)重要的基本功。要培養(yǎng)數(shù)學(xué)語(yǔ)言和日常生活語(yǔ)言“互譯”的能力。例2 濃度為p%的鹽水m公斤與濃度為q%的鹽水n公斤混合后的溶液濃度是（ ）（A）（B）（C）（D）解 濃度為p%的鹽水m公斤中含鹽mp%公斤，濃度為q%的鹽水n公斤中含鹽nq%公斤，混合溶液共(m+n)公斤，含鹽(mp%+nq%)公斤，所以濃度是。 故選D。例3．如圖是一個(gè)長(zhǎng)為a，寬為b的矩形．兩個(gè)陰影圖形分別是一對(duì)長(zhǎng)為c的底邊在矩形對(duì)邊上的一個(gè)平行四邊形和一個(gè)矩形．則矩形中未涂陰影部分的面積為（ ）（A）ab(a+b)c．（B）ab(ab)c．（C）(ac)(bc)．（D）(ac)(b+c)．解：將圖形沿左右、上下平移后，可以得到一個(gè)長(zhǎng)為(ac)，寬為 (bc)的長(zhǎng)方形，其面積為(ac) (bc)，這也就是未涂陰影部分的面積。故選 （C）。例4.．a(chǎn)表示一個(gè)兩位數(shù)，b表示一個(gè)四位數(shù)，把a(bǔ)放在b的左邊組成一個(gè)六位數(shù)，那么這個(gè)六位數(shù)應(yīng)表示成（ ）(A)ab (B)10000a+b (C)100a+10000b (D)100a+b解．依題意，在這個(gè)六位數(shù)中，a的個(gè)位數(shù)字是在萬(wàn)位上，所以這個(gè)六位數(shù)應(yīng)表示成10000a+b，選(B)評(píng)注：一個(gè)n位自然數(shù)的十進(jìn)制表示法一般形式，是其中ai是一位數(shù)字. 有時(shí)也根據(jù)需要寫成 100a+b （b是兩位數(shù)）,1000a+b(b是三位數(shù))等形式例5 民航規(guī)定：旅客可以免費(fèi)攜帶a千克物品，若超過(guò)a千克，則要收取一定的費(fèi)用，當(dāng)攜帶物品的質(zhì)量為b千克(ba)時(shí)，所交費(fèi)用為Q=10b200(元)． (1)小明攜帶了35千克物品，質(zhì)量大于a千克，他應(yīng)交多少費(fèi)用？ (2)小王交了100元費(fèi)用，