【正文】 種應(yīng)用題，有的題目需要通過(guò)轉(zhuǎn)化而成為和倍、差倍、和差問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題叫做復(fù)雜的和差倍問(wèn)題。解答較復(fù)雜的和差倍問(wèn)題，需要我們從整體上把握住問(wèn)題的本質(zhì)，將題目進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化，從而將較復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一般和倍、差倍、和差應(yīng)用題來(lái)解決。例1：兩箱茶葉共重96千克，如果從甲箱取出12千克放入乙箱，那么乙箱的千克數(shù)是甲箱的3倍。兩箱原來(lái)各有茶葉多少千克？分析與解答：由“兩箱茶葉共重96千克，如果從甲箱取出12千克放入乙箱，那么乙箱的千克數(shù)是甲箱的3倍”可求出現(xiàn)在甲箱中有茶葉96247。（1＋3）=24千克。由此可求出甲箱原來(lái)有茶葉24＋12=36千克，乙箱原來(lái)有茶葉96－36=60千克。練 習(xí) 一1，書(shū)架的上、下兩層共有書(shū)180本，如果從上層取下15本放入下層，那么下層的本數(shù)正好是上層的2倍。兩層原來(lái)各有書(shū)多少本？2，甲、乙兩人共儲(chǔ)蓄2000元，甲取出160元，乙又存入240元，這時(shí)甲儲(chǔ)蓄的錢(qián)數(shù)比乙的2倍少20元。甲、乙兩人原來(lái)各儲(chǔ)蓄多少元？3，某畜牧場(chǎng)共有綿羊和山羊3561只，后來(lái)賣(mài)了60只綿羊，又買(mǎi)來(lái)山羊100只，現(xiàn)在綿羊的只數(shù)比山羊的2倍多1只。原來(lái)綿羊和山羊各有多少只？例2：甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)做數(shù)學(xué)題，已知甲比乙多做5道，丙做的是甲的2倍，比乙多做20道。他們一共做了多少道數(shù)學(xué)題？分析與解答：甲比乙多5道，丙比乙多20道，丙做的是甲的2倍，因此，20－5=15道是丙的一半，也就是甲做的道數(shù)。丙做了152=30道，乙做了15－5=10道。他們共做了：（20－5）（1＋2）＋[（20－5）－5]=55道。練 習(xí) 二1，某廠一季度創(chuàng)產(chǎn)值比三季度多2萬(wàn)元，二季度的產(chǎn)值是一季度產(chǎn)值的2倍，比三季度產(chǎn)值多42萬(wàn)元。三個(gè)季度共創(chuàng)產(chǎn)值多少萬(wàn)元？2，甲、乙、丙三個(gè)人合做一批零件，甲比乙多做12個(gè)，丙做的比甲的2倍少20個(gè)，比乙做的多38個(gè)。這批零件共有多少個(gè)？3，果園里的蘋(píng)果樹(shù)是桃樹(shù)的3倍，管理員每天能給25棵蘋(píng)果樹(shù)和15棵桃樹(shù)灑農(nóng)藥。幾天后，當(dāng)桃樹(shù)噴完農(nóng)藥時(shí)，蘋(píng)果樹(shù)還有140棵沒(méi)有噴藥。果園里共有多少棵樹(shù)？例3：某工廠一、二、三車(chē)間共有工人280人，第一車(chē)間比第二車(chē)間多10人，第二車(chē)間比第三車(chē)間多15人。三個(gè)車(chē)間各有工人多少人？分析與解答：這是多量的和差問(wèn)題，解題的時(shí)候確定的標(biāo)準(zhǔn)不同，解法也就不同。如果以第二車(chē)間的人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，第一車(chē)間減少10人，第三車(chē)間增加15人，那么280－10＋15=285人是第二車(chē)間人數(shù)的3倍，由此可以求出第二車(chē)間有285247。3=95人，第一車(chē)間有95＋10=105人，第三車(chē)間有95－15=80人。練 習(xí) 三1，一個(gè)三層書(shū)架共放書(shū)168本，上層比中層多12本，下層比中層少6本。三層各放書(shū)多少本？2，一個(gè)三層柜臺(tái)共放皮鞋120雙，第一層比第二層多放4雙，第二層比第三層多7雙，三層各多皮鞋多少雙？3，四個(gè)數(shù)的和是152，第一個(gè)數(shù)比第二個(gè)數(shù)多16，比第三個(gè)數(shù)多20，比第四個(gè)數(shù)少12。第一個(gè)數(shù)和第四個(gè)數(shù)是多少？例4：兩個(gè)數(shù)相除，商是4，被除數(shù)、除數(shù)、商的和是124。被除數(shù)和除數(shù)各是多少？分析與解答：從124里去掉商，是124－4=120，它是除數(shù)的1＋4=5倍，除數(shù)是120247。5=24，被除數(shù)是244=94。練 習(xí) 四1，在一個(gè)除法算式中，被除數(shù)、除數(shù)、商的和是123。已知商是3，被除數(shù)和除數(shù)各是多少？2，兩個(gè)數(shù)相除，商是5，余數(shù)是7，被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)的和是187，求被除數(shù)。3，兩個(gè)數(shù)相除，商是17，余數(shù)是8，被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)的和是501，求被除數(shù)和除數(shù)是多少。例5：甲的存款是乙的4倍，如果甲取出110元，乙存入110元，那么乙的存款是甲的3倍。甲、乙原來(lái)各有存款多少元？分析與解答：由“乙存入110元，甲取出110元”，可知乙存入110元后相當(dāng)于甲存款數(shù)的3倍，取出1103=330元；而由甲的存款是乙的4倍，可知甲原有存款的3倍相當(dāng)于乙原有存款的43=12倍，乙現(xiàn)在存入110元后相當(dāng)于甲原有的12倍，取1103=330元，所以，330＋110=440元，相當(dāng)于乙原有的12－1=11倍。所以，乙原有存款440247。11=40元，甲原有存款404=160元。練 習(xí) 五1，甲的存款是乙的5倍，如果甲取出60元，乙存入60元，那么乙的存款是甲的2倍。甲、乙原來(lái)各有存款多少元？2，劉叔叔的存款是李叔叔的6倍，如果劉叔叔取出1100元，李叔叔存入1100元，那么劉叔叔的存款是李叔叔的2倍。劉叔叔和李叔叔原來(lái)各有存款多少元？3，有大、中、小三筐菠蘿，小筐裝的是中筐的一半，中筐比大筐少裝16千克，大筐裝的是小筐的4倍。大、中、小三筐各裝菠蘿多少千克？第二十八周 周期問(wèn)題專(zhuān)題簡(jiǎn)析：在日常生活中，有一些現(xiàn)象按照一定的規(guī)律不斷重復(fù)出現(xiàn)，例如，人的生肖、每周的七天等等。我們把這種特殊的規(guī)律性問(wèn)題稱(chēng)為周期問(wèn)題。解答周期問(wèn)題的關(guān)鍵是找規(guī)律，找出周期。確定周期后，用總量除以周期，如果正好有整數(shù)個(gè)周期，結(jié)果為周期里的最后一個(gè)；如果比整數(shù)個(gè)周期多n個(gè)，那么為下個(gè)周期里的第n個(gè)；如果不是從第一個(gè)開(kāi)始循環(huán)，可以從總量里減掉不是特球的個(gè)數(shù)后，再繼續(xù)算。例1：你能找出下面每組圖形的排列規(guī)律嗎？根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，算出每組第20個(gè)圖形分別是什么。（1）□△□△□△□△……（2）□△△□△△□△△……分析與解答：第（1）題排列規(guī)律是“□△”兩個(gè)圖形重復(fù)出現(xiàn)，20247。2=10，即“□△”重復(fù)出現(xiàn)10次，所以第20個(gè)圖形是△。第（2）題的排列規(guī)律是“□△△”三個(gè)圖形重復(fù)出現(xiàn)，20247。3=6…2，即“□△△”重復(fù)出現(xiàn)6次后又出現(xiàn)了兩個(gè)圖形“□△”，所以第20個(gè)圖形是△。練 習(xí) 一（1）□□△△□□△△□□△△……第28個(gè)圖形是什么？（2）盼望祖國(guó)早日統(tǒng)一盼望祖國(guó)早日統(tǒng)一盼望祖國(guó)早日統(tǒng)一…第2001個(gè)字是什么字？（3）公園門(mén)口掛了一排彩燈泡按“二紅三黃四藍(lán)”重復(fù)排列，第63只燈泡是什么顏色？第112只呢？例2：有一列數(shù)，按4…排列。（1）第129個(gè)數(shù)是多少？（2）這129個(gè)數(shù)相加的和是多少？分析與解答：（1）從排列可以看出，這組數(shù)是按“2”一個(gè)循環(huán)依次重復(fù)出現(xiàn)進(jìn)行排列，那么一個(gè)循環(huán)就是4個(gè)數(shù)，則129247。4=32…1，可知有32個(gè)“2”還剩一個(gè)。所以第129個(gè)數(shù)是5。（2）每組四個(gè)數(shù)之和是5+6+4+2=17，所以，這129個(gè)數(shù)相加的和是1732＋5=549。練 習(xí) 二1，有一列數(shù)：1，4，2，8，5，7，1，4，2，8，5，7…（1）第58個(gè)數(shù)是多少？（2）這58個(gè)數(shù)的和是多少？2，小青把積存下來(lái)的硬幣按先四個(gè)1分，再三個(gè)2分，最后兩個(gè)5分這樣的順序一直往下排。（1）他排到第111個(gè)是幾分硬幣？（2）這111個(gè)硬幣加起來(lái)是多少元錢(qián)？3，河岸上種了100棵桃樹(shù)，第一棵是蟠桃，后面兩棵是水蜜桃，再后面三棵是大青桃。接下去一直這樣排列。問(wèn)：第100棵是什么桃樹(shù)？三種樹(shù)各有多少棵？例3：假設(shè)所有的自然數(shù)排列起來(lái)，如下所示39應(yīng)該排在哪個(gè)字母下面？88應(yīng)該排在哪個(gè)字母下面？A B C D1 2 3 45 6 7 89…分析與解答：從排列情況可以知道，這些自然數(shù)是按從小到大4個(gè)數(shù)一個(gè)循環(huán)，我們可以根據(jù)這些數(shù)除以4所得的余數(shù)來(lái)分析。39247。4=9…3 88247。4=22所以，39應(yīng)排在第10個(gè)循環(huán)的第三個(gè)字母C下面，88應(yīng)排在第22個(gè)循環(huán)的第四個(gè)字母D下面。練 習(xí) 三1，有a、b、c三條直線，從a線開(kāi)始，從1起依次在三條直線上寫(xiě)數(shù)（如下圖），252001各在哪一條線上？ 2，假設(shè)所有自然數(shù)如下圖排列起來(lái)，3472000應(yīng)分別排在哪個(gè)字母下面？ A B C D1 2 3 48 7 6 59 10 11 12…3，2001個(gè)學(xué)生按下列方法編號(hào)排成五列：一 二 三 四 五1 2 3 4 59 8 7 610 11 12 1317 16 15 14 …問(wèn)：最后一個(gè)學(xué)生應(yīng)該排在第幾列？例4：1991年1月1日是星期二，（1）該月的22日是星期幾？該月28日是星期幾？（2）1994年1月1日是星期幾？分析與解答：（1）一個(gè)星期是7天，因此，7天為一個(gè)循環(huán)，這類(lèi)題在計(jì)算天數(shù)時(shí)，可以采用“算尾不算頭”的方法。（22－1）247。7=3，沒(méi)有余數(shù)，該月22日仍是星期二；（28－1）247。7=3…6，從星期三開(kāi)始（包括星期三）往后數(shù)6天，28日是星期一。（2）1991年、1993年是平年，1992年是閏年，從1991年1月2日到1994年1月1日共1096天，1096247。7=156…4，從星期三開(kāi)始往后數(shù)4天，1994年1月1日是星期六。練 習(xí) 四1，1990年9月22日是星期六，1991年元旦是星期幾？2，1989年12月5日是星期二，那么再過(guò)10年的12月5日是星期幾？3，1996年8月1日是星期四，1996年的元旦是星期幾？例5：我國(guó)農(nóng)歷用鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬12種動(dòng)物按順序輪流代表年號(hào)，例如，第一年如果屬鼠年，第二年就屬牛年，第三年就是虎年…。如果公元1年屬雞年，那么公元2001年屬什么年？分析與解答：一共有12種動(dòng)物，因此12為一個(gè)循環(huán)，為了便于思考，我們把“狗、豬、鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞”看作一個(gè)循環(huán)，從公元2年到公元2001年共經(jīng)歷了2000年（算頭不算尾），2000247。12=166…8，從狗年開(kāi)始往后數(shù)8年，公元2001年是蛇年。練 習(xí) 五我國(guó)農(nóng)歷用鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬12種動(dòng)物按順序輪流代表年號(hào)。1，如果公元3年屬豬年，那么公元2000年屬什么年？2，如果公元6年屬虎年，那么公元21世紀(jì)的第一個(gè)虎年是哪一年？3，公元2001年屬蛇年，公元2年屬什么年？第二十九周 行程問(wèn)題（一）專(zhuān)題簡(jiǎn)析：我們把研究路程、速度、時(shí)間這三者之間關(guān)系的問(wèn)題稱(chēng)為行程問(wèn)題。行程問(wèn)題主要包括相遇問(wèn)題、相背問(wèn)題和追及問(wèn)題。這一周我們來(lái)學(xué)習(xí)一些常用的、基本的行程問(wèn)題。解答行程問(wèn)題時(shí)，要理清路程、速度和時(shí)間之間的關(guān)系，緊扣基本數(shù)關(guān)系“路程=速度時(shí)間”來(lái)思考，對(duì)具體問(wèn)題要作仔細(xì)分析，弄清出發(fā)地點(diǎn)、時(shí)間和運(yùn)動(dòng)結(jié)果。例1：甲乙兩人分別從相距20千米的兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲每小時(shí)走6千米，乙每小時(shí)走4千米。兩人幾小時(shí)后相遇？分析與解答：這是一道相遇問(wèn)題。所謂相遇問(wèn)題就是指兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體以不同的地點(diǎn)作為出發(fā)地作相向運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題。根據(jù)題意，出發(fā)時(shí)甲乙兩人相距20千米，以后兩人的距離每小時(shí)縮短6＋4=10千米，這也是兩人的速度和。所以，求兩人幾小時(shí)相遇，就是求20千米里面有幾個(gè)10千米。因此，兩人20247。（6＋4）=2小時(shí)后相遇。練 習(xí) 一1，甲乙兩艘輪船分別從A、B兩港同時(shí)出發(fā)相向而行，甲船每小時(shí)行駛18千米，乙船每小時(shí)行駛15千米，經(jīng)過(guò)6小時(shí)兩船在途中相遇。兩地間的水路長(zhǎng)多少千米？2，一輛汽車(chē)和一輛摩托車(chē)同時(shí)分別從相距900千米的甲、乙兩地出發(fā)，汽車(chē)每小時(shí)行40千米，摩托車(chē)每小時(shí)行50千米。8小時(shí)后兩車(chē)相距多少千米？3，甲乙兩車(chē)分別從相距480千米的A、B兩城同時(shí)出發(fā)，相向而行，已知甲車(chē)從A城到B城需6小時(shí)，乙車(chē)從B城到A城需12小時(shí)。兩車(chē)出發(fā)后多少小時(shí)相遇？例2：王欣和陸亮兩人同時(shí)從相距2000米的兩地相向而行，王欣每分鐘行110米，陸亮每分鐘行90米。如果一只狗與王欣同時(shí)同向而行，每分鐘行500米，遇到陸亮后，立即回頭向王欣跑去；遇到王欣后再回頭向陸亮跑去。這樣不斷來(lái)回，直到王欣和陸亮相遇為止，狗共行了多少米？分析與解答：要求狗共行了多少米，一般要知道狗的速度和狗所行的時(shí)間。根據(jù)題意可知，狗的速度是每分鐘行500米，關(guān)鍵是要求出狗所行的時(shí)間，根據(jù)題意可知：狗與主人是同時(shí)行走的，狗不斷來(lái)回所行的時(shí)間就是王欣和陸亮同時(shí)出發(fā)到兩人相遇的時(shí)間，即2000247。（110＋90）=10分鐘。所以狗共行了50010=5000米。練 習(xí) 二1，甲乙兩隊(duì)學(xué)生從相隔18千米的兩地同時(shí)出發(fā)相向而行。一個(gè)同學(xué)騎自行車(chē)以每小時(shí)15千米的速度在兩隊(duì)之間不停地往返聯(lián)絡(luò)。甲隊(duì)每小時(shí)行5千米，乙隊(duì)每小時(shí)行4千米。兩隊(duì)相遇時(shí)，騎自行車(chē)的同學(xué)共行多少千米？2，A、B兩地相距400千米，甲、乙兩車(chē)同時(shí)從兩地相對(duì)開(kāi)出，甲車(chē)每小時(shí)行38千米，乙車(chē)每小時(shí)行42千米。一只燕子以每小時(shí)50千米的速度和甲車(chē)同時(shí)出發(fā)向乙車(chē)飛去，遇到乙車(chē)又折回向甲車(chē)飛去。這樣一直飛下去，燕子飛了多少千米，兩車(chē)才能相遇？3，甲、乙兩個(gè)車(chē)隊(duì)同時(shí)從相隔330千米的兩地相向而行，甲隊(duì)每小時(shí)行60千米，乙隊(duì)每小時(shí)行50千米。一個(gè)人騎摩托車(chē)以每小時(shí)行80千米的速度在兩車(chē)隊(duì)中間往返聯(lián)絡(luò)，問(wèn)兩車(chē)隊(duì)相遇時(shí)，摩托車(chē)行駛了多少千米？例3：甲每小時(shí)行7千米，乙每小時(shí)行5千米，兩人于相隔18千米的兩地同時(shí)相背而行，幾小時(shí)后兩人相隔54千米？分析與解答：這是一道相背問(wèn)題。所謂相背問(wèn)題是指兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的物體作背向運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題。在相背問(wèn)題中，相遇問(wèn)題的基本數(shù)量關(guān)系仍然成立，根據(jù)題意，甲乙兩人共行的路程應(yīng)該是54－18=36千米，而兩人每小時(shí)共行7＋5=12千米。要求幾小時(shí)能行完36千米，就是求36千米里面有幾個(gè)12千米。所以，36247。12=3小時(shí)。練 習(xí) 三1，甲車(chē)每小時(shí)行6千米，乙車(chē)每小時(shí)行5千米，兩車(chē)于相隔10千米的兩地同時(shí)相背而行，幾小時(shí)后兩人相隔65千米？2，甲每小時(shí)行9千米，乙每小時(shí)行7千米，甲從南莊向南行，同時(shí)乙從北莊向北行。經(jīng)過(guò)3小時(shí)后，兩人相隔60千米。南北兩莊相距多少千米？3，東西兩鎮(zhèn)相距20千米，甲、乙兩人分別從兩鎮(zhèn)同時(shí)出發(fā)相背而行，甲每小時(shí)的路程是乙的2倍，3小時(shí)后兩人相距56千米。兩人的速度各是多少？例4：甲乙兩人分別從相距24千米的