【正文】 ∠2+∠6=90186。代數(shù)方法是線段與角的計算的主要方法。請你在圖3的邊長為1的正方形方格紙上，從點M出發(fā)，依次按數(shù)碼006756442312畫出相應(yīng)的軌線圖形，以這軌線圖形周界和內(nèi)部的格點為頂點，可畫出面積不小于2的正方形的個數(shù)是 個。2=45種方法，從b上取兩點有98247。例4．如圖，在一個88的方格棋盤中，有多少個由4個小方格組成的“凸”字形圖形？解法1 考慮下圖“凸”字形中的A：當(dāng)A在方格棋盤的邊上時，對應(yīng)1個“凸”字形，共有64=24個；當(dāng)A在方格棋盤的內(nèi)部時，對應(yīng)4個“凸”字形，共有664=144個。如下面一道題：“ n 個人參加6個小組, 如果其中每個人都參加且只參加 2 個小組, 每2個小組共有且僅共有一名組員,求 n.。這種方法叫做遞推法。此時，C容器的高變?yōu)?0cm，雨水下滿需3小時；D容器的高變?yōu)?5cm。小容器的“接雨面”變小了，但每個小容器的“接雨面”與底面大小仍然相同。(如下圖)故這樣的幾何體最多由11塊小正方體木塊構(gòu)成.由上圖知,從左邊看這個幾何體所得到的平面圖形是例6．如圖,將三個同樣的正方體重疊放在不透明的桌面上,每個正方體的六個在上分別寫有1,2,3,4,5,6,并且相對的兩個面上的數(shù)字之和是7,現(xiàn)在有5個面上的數(shù)字不論從哪個角度都看不到,這5個看不到的面上的數(shù)字的乘積是 .解：因為相對的兩個面上的數(shù)字之和是7，故最上面一塊看不見的一面是1；中間一塊，5的對面是2，1的對面是6，看不見的兩塊是3和4；下面一塊，6的對面是1，4的對面是3，看不見的兩塊是5和2.于是5個看不到的面上的數(shù)字的乘積是 13452=120.，把一個立方體分割成55個小立方體（分得的立方體大小可以不相同）.解：把立方體分割成33=27個立方體，再把其中4個各分成23=8個立方體，共274+48=55個立方體.評注：對于本題，現(xiàn)在有下列一般的結(jié)論：一個立方體可以分割成n個立方體，這里 n = 1,28,15,20,22,27,29,34,36,38,39,41,43,45,46及大于47的整數(shù)。 故選B. 例4有五個相同的正立方體，按相同的順序在每個面上寫上數(shù)字1,2,3,4,5,6。3．從不同方向看從不同的方向看一個立體圖形，；也要會從不同方向看它時的不同形狀（三視圖）想象出這個幾何圖形來.經(jīng)典例題解析，然后把這個大立方體的某些面上涂上油漆，油漆干后，把大立方體拆開成單位立方體，發(fā)現(xiàn)有45個單位立方體上任何一面都沒有漆。現(xiàn)在甲先步行，乙先騎自行車，兩人同時出發(fā)。問：這條橢圓形跑道長多少米？解：設(shè)跑道長s米，甲第一圈的速度是每分鐘v米，則乙第一圈速度為(2/3)v,甲第二圈速度為v,乙第二圈速度為。由此可列出兩個方程。現(xiàn)改變裝卸方式，開始一個人干，以后每隔（整數(shù)）小時增加一個人干，每個參加裝卸的人都一直干到裝卸結(jié)束，且最后增加的一個人裝卸的時間是第一個人裝卸時間的.問：（1）按改變后的裝卸方式，自始至終需要多長時間？ （2）參加裝卸的有多少名工人？解（1）設(shè)裝卸工作需小時完成，則第一人干了小時，最后一個人干了小時，兩人共干活小時，平均每人干活小時，由題意知，第二人與倒數(shù)第二人，第三人與倒數(shù)第三人，…，平均每人干活的時間也是小時。解得x=60,y=30.故30天后，甲喝完茶葉而乙只喝掉半罐咖啡，剩下半罐咖啡兩人同喝要5天喝完，故共需35天。前半個月全體工人都在甲工地工作，后半個月工人分成相等的兩組，一組仍在甲工地工作，另一組到乙工地工作。設(shè)輔助未知數(shù)。解 由方程 解得由方程 解得由已知得 所以 ，例4 是關(guān)于x的一元一次方程，且x有唯一解，則x= .解 因為原方程是關(guān)于x的一元一次方程，所以3a+2b=0 (否則它是二次方程).原方程為 ax+b=0.又x有唯一解，故a≠0,于是,原方程為,解得例5. 已知關(guān)于x的方程a(3x十2)+b（2x+3）=5x+ 12有無窮多個解，那么a=____ ，b=____．解 整理原方程得(3a2b5)x=122a3b.因方程有無窮多個解， 解得 a=3，b=2．例6. 定義則方程的解是 ．解：由定義可知 所以 解這個方程得例7 方程的解是 分析 解絕對值方程的關(guān)鍵是去絕對值符號，令x1=0,x5=0，分別得x=1,x=,5將全部實數(shù)分成3段：或或然后在每一段上去絕對值符號解方程，求出每一段上的解，將它們合并，便得到原方程的全部解，這種方法叫做“零點”分段法，x=1，x=5叫做零點.解：若則此時原方程化為若則此時原方程化為即1=0，矛盾，說明時原方程無解若則此時原方程化為所以和都是原方程的解。9+9=1089第七講 一元一次方程的概念和解法知識方法掃描含有未知數(shù)的等式叫方程。將這組單項式按上述法則排序，那么，應(yīng)排在第 位。這樣，正半軸上的整數(shù)就與圓周上的數(shù)字建立了一種對應(yīng)關(guān)系。用具體的數(shù)代替代數(shù)式里的字母進行計算，求出代數(shù)式的值，是一個由一般到特殊的過程．具體求解代數(shù)式值的問題時，對于較簡單的問題，代入直接計算并不困難，但對于較復(fù)雜的代數(shù)式，往往是先化簡，然后再求值． 經(jīng)典例題解析例1 a,b是有理數(shù), (1) 若a+b=0,則 a,b 互為________. (2) 若ab=0, 則 a,b 至少________. (3) 若ab=1, 則 a,b ________. (4) 若ab0, 則 a,b ________. (5) 若a2+b2=0,則 a,b ________.解 (1) 若a+b=0,則 a,b 互為相反數(shù)；(2) 若ab=0, 則 a,b 至少有一個等于零；(3) 若ab=1, 則 a,b互為倒數(shù)；(4) 若ab0, 則 a,b的符號相同；(5) 若a2+b2=0, 則 a,b都等于零。證明 首先證n為偶數(shù)：因n個實數(shù)：x1,x2,…,xn，其中每一個不是+1，就是1，所以n個分數(shù)：， ，…， ， 中的每一個不是+1，就是1。 顯然22的小正方形互變無法實現(xiàn)，所以33的大正方形的互變也無法實現(xiàn)。例2 某電影院共有1985個座位。5．兩個整數(shù)相乘，若乘數(shù)中有一個是偶數(shù)，那么乘積是偶數(shù)；如果乘數(shù)都是奇數(shù)，那么乘積是奇數(shù)。（99+1）= .評注 直接計算比較繁，這里是采用逆用分配律并從整體考慮的方法使計算變得簡單。所以調(diào)出彩電的最少總臺數(shù)為10，當(dāng)x1=2，3，4，5時可以得到四個調(diào)運方案：（1）A1校調(diào)往A2校 2臺，調(diào)往A4校 3臺；A4校調(diào)往A3校 5臺。故填1。所以，應(yīng)填2。 另一方面，如果n≤2004，那么2n+l≤4009．從左到右，每8個連續(xù)點一組，至多502組，其中最后一組只有1個點．因此不論怎么取2 006個點，前501組中總有一組取的點多于4個，從而有2個點的距離為4． 綜合上面所說，n的最小值是2005。證明：在數(shù)軸上取顏色相同的兩點A、B，它們對應(yīng)的數(shù)分別為a,b. 不妨設(shè)它們都是紅色點，且AB=2。評注：解有關(guān)數(shù)軸的問題，需要仔細觀察點在數(shù)軸上的位置，判斷點所對應(yīng)的數(shù)的符號，了解不同點所對應(yīng)的數(shù)之間的大小關(guān)系和數(shù)量關(guān)系。.. . . ..從課堂到奧數(shù)7年級目 錄第1講 有理數(shù)和數(shù)軸 2第2講 絕對值 5第3講 有理數(shù)的運算 8第4講 奇數(shù)與偶數(shù) 10第5講 代數(shù)式 13第6講 整式的概念和整式的加減 16第七講 一元一次方程的概念和解法 18第8講 一元一次方程的應(yīng)用（1） 20第9講 一元一次方程的應(yīng)用（2） 23第10講 立體圖形 26第11講 幾何圖形計數(shù) 30第12講 線段和角 34第13講 面積問題和面積方法 37第14講 相交線和平行線 41第15講 平面直角坐標(biāo)系 44第16講 三角形的概念 47第17講 多邊形的概念 50第18講 一次方程組的概念和解法 53第19講 一次方程組的應(yīng)用 56第20講 一次不定方程 59第21講 數(shù)的整除性 62第22講 一元一次不等式（組） 65第23講 一元一次不等式（組）的應(yīng)用 68第24講 數(shù)據(jù)的收集 整理與描述 71第25講 探索、猜想與歸納 74第1講 有理數(shù)和數(shù)軸知識方法掃描1. 正數(shù)和負數(shù)自然界有許多具有相反意義的量，如上升與下降，向東與向西、盈余與虧損等都可以用正負數(shù)來表示．如+5，+78，+；正號通?？梢允÷浴＠?數(shù)軸上的點A，B，C分別對應(yīng)數(shù) 0，1，x。下面考慮AB的中點C,它所對應(yīng)的數(shù)為。第2講 絕對值知識方法掃描1．絕對值的定義：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；零的絕對值還是零．即 2．絕對值的幾何意義：在數(shù)軸上表示一個數(shù)的點離開原點的距離叫這個數(shù)的絕對值．3．絕對值的性質(zhì)：（1）|ab|=|a|例3 a、b是有理數(shù)，如果那么對于結(jié)論：（1）a一定不是負數(shù)；（2）b可能是負數(shù)，其中（ ）。例5 設(shè)k是自然數(shù)，且ka+b=0，則 等于（ ）（A） 3 （B） 2 （C） 3+ （D）2解 由得 顯然k≠0（否則b=0, 代數(shù)式無意義），又k是自然數(shù)，于是k0.所以 (*)當(dāng)a0時，(*)變?yōu)? 當(dāng)a0時，(*)變?yōu)楣试?3，選(A)．例6 已知(a+b)2+|b+5|=b+5, 且|2ab1|=0, 那么ab= .解 ∵|2ab1|=0 ∴2ab1=0. ∴b=2a1. 將b=2a1代入(a+b)2+|b+5|=b+5, 得 (a+2a1)2+|2a1+5|=2a1+5即(3a1)2+|2a+4|=2a+4.(1)當(dāng)3a10即 ,∵(3a1)20, |2a+4|0, 2a+40. ∴(3a1)2+|2a+4|2a+4, 矛盾：(2)當(dāng)3a10即時, ①若2a+4≤0, 則上面等式左邊大于0, 右邊小于或等于0, 矛盾；②若2a+40, ∵(3a1)20, |2a+4|0=2a+4, ∴(3a1)2+|2a+4|2a+4, 矛盾；(3)當(dāng)3a1=0, 即時, 上式成立. ∴∴例7 在6張紙片的正面分別寫上整數(shù)1,2,3,4,5,6, 打亂次序后, 將紙片翻過來, 在它們的反面也隨意分別寫上1～6這6個整數(shù), 然后計算每張紙片正面與反面所寫數(shù)字之差的絕對值, 得到6個數(shù), 請你證明: 所得的6個數(shù)中至少有兩個是相同的.證明：設(shè)6張卡片正面寫的數(shù)是a1，a2，a3 ,a4 ,a5,a6 ,　反面寫的數(shù)是b1，b2，b3 ,b4, b5, b6 ,　則6張卡片正面寫的數(shù)與反面寫的數(shù)的差的絕對值分別為|a1b1|，|a２b２|，|a３b３|，|a４b４|，|a5b5|，|a6b6|．設(shè)這6個數(shù)兩兩不相等，則它們只能取0，1，2，3，4，|a1b1|+|a２b２|+|a３b３|+|a４b４|+|a5b5|+|a6b6|=0+1+2+3+4+5=15是個奇數(shù).另一方面，|aibi|與aibi（i=1,2,3,4,5,6）的奇偶性相同，所以|a1b1|+|a２b２|+|a３b３|+|a４b４|+|a5b5|+|a6b6|與（a1b1）+(a２b２)+(a３b３)+(a４b４)+(a5b5)+(a6b6)= (a1+ a２+ a３+ a４+ a5+ a6)(b1+ b２+ b３+ b４+ b5+ b6 )=（1+2+3+4+5）（1+2+3+4+5）= 0的奇偶性相同，是個偶數(shù)，矛盾.所以, |a1b1|，|a２b２|，|a３b３|，|a４b４|，|a5b5|，|a6b6|這6個數(shù)中至少有兩個是相同的. 例8 某環(huán)形道路上順次排列著四所中學(xué)：A1,A2,A3,，8臺，5臺，12臺。（2）A1校調(diào)往A2校 3臺，調(diào)往A4校 2臺；A2校調(diào)往A3校 1臺；A4校調(diào)往A3校 4臺。例4 ____解 設(shè)a, = b原式= = b－a = 評注 解答此題使用的是換元法：將題中某些相同的式子用字母表示，從整體考慮，從而可以減少計算過程的書寫量。6．奇數(shù)≠偶數(shù)。某天，這家電影院上下午各演一場電影，看電影的是甲乙兩所中學(xué)的各1985名學(xué)生（同一個學(xué)校的學(xué)生有的看上午場，有的看下午場），試證明：電影院一定有這樣的座位，這天看電影時上，下午在這個座位上坐的是兩個不同學(xué)校的學(xué)生。例6． 小明在平面上標(biāo)出了2007個點并畫了一條直線l, 他發(fā)現(xiàn)：這2007個點中的每一個關(guān)于直線 l對稱點，仍然在這2007個點中。而這n個分數(shù)和為0，所以n為偶數(shù)，設(shè)n=2k ( k為整數(shù)) ，則n個分數(shù)中有k個+1，k個1。評注 用數(shù)學(xué)語言——代數(shù)式和數(shù)學(xué)符號來表達