【正文】 1 +b3 = 9∴+=100(b1 +b3)+10 (b2 +b2)+( b1 +b3)=100180。 有些應(yīng)用題，直接設(shè)末知數(shù)不易求解，則可以采取間接設(shè)末知數(shù)的方法。假設(shè)甲在有茶葉的情況下決不喝咖啡，而乙在有咖啡的情況下決不喝茶。若設(shè)汽車速度為a米/每秒，小宏速度為b米/每秒，則當(dāng)一輛汽車追上小宏時(shí)，另一輛汽車在小宏后面ax米處，它用6分鐘追上小宏。例8甲，乙兩個(gè)同學(xué)從A地到B地，甲步行的速度為每小時(shí)3千米，乙步行的速度為每小時(shí)5千米?？偣灿?個(gè)小正方體沒有被涂黑。圖中所示的長(zhǎng)方體容器，“接雨面”與底面大小相同，雨水將它下滿需要1小時(shí)，也就是說1小時(shí)后該容器內(nèi)雨水的深度是10cm。3．遞推計(jì)數(shù)為了求出計(jì)數(shù)的總數(shù)，當(dāng)所研究的對(duì)象數(shù)目較大時(shí)，我們常常對(duì)較小數(shù)量的對(duì)象進(jìn)行觀察，計(jì)算。選擇上邊所在的直線，有2種方法；選擇下邊所在的直線，有3種方法；選擇左邊所在的直線，有3種方法；選擇右邊所在的直線，有4種方法。 反過來, 任何兩個(gè)不在同一條直線上的點(diǎn)可確定一個(gè)邊與△ABC的兩條邊分別平行的平行四邊形. 圖中共有1+2+3+4+5=15個(gè)交點(diǎn),共有1+2+…+14=105個(gè)點(diǎn)對(duì). 其中兩點(diǎn)在同一直線上的應(yīng)該刪去. 因平行于AB的直線上依次有2,3,4,5個(gè)點(diǎn), 從而共應(yīng)刪去3[1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)]=60個(gè)點(diǎn)對(duì). 故圖中共有10560=45個(gè)平行四邊形.評(píng)注 解1是分類計(jì)數(shù)的, 這種解法比較煩瑣, 當(dāng)數(shù)字較大時(shí)容易出錯(cuò), 且不易推廣到一般. 解2是利用對(duì)應(yīng)法來解題的, 即找出點(diǎn)對(duì)的個(gè)數(shù)和平行四邊形個(gè)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系, 將對(duì)平行四邊形計(jì)數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為對(duì)點(diǎn)對(duì)的計(jì)數(shù)問題來解決. 這種解法容易推廣到一般, 本題中若將三角形的每一邊n等分, 則平行四邊形的個(gè)數(shù)是 (n1)n(n+1)(n+2).，我們規(guī)定在邊長(zhǎng)為1的正方形方格紙上，從格點(diǎn)O到與它相鄰的格點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H的直線運(yùn)動(dòng)形成的線段分別記為數(shù)碼0，1，2，3，4，5，6，7。解 設(shè)這個(gè)角為x度，則(180x)=90x, 解得x=.例4．如圖是一個(gè)33的正方形,則圖中∠1+∠2+∠3+…+∠9的度數(shù)應(yīng)該是 ________ . 解: 從圖中可以看出：∠3=∠5=∠7=45186。若所有線段的長(zhǎng)度都是正整數(shù)，且線段AB所有可能長(zhǎng)度的乘積等于140，則線段AB所有可能長(zhǎng)度的和等于 。例6．如圖，將邊長(zhǎng)為1的等邊三角形三角形的每一邊4等分, 過各分點(diǎn)作另外兩邊的平行線,在所得的圖形中有多少個(gè)平行四邊形?解1 將尖角向上的平行四邊形分成三類,分別計(jì)算:平行四邊形兩邊長(zhǎng)都為1的, 有6個(gè)。例2 如圖DE、FG、HI、BC分別平行, 圖中梯形的個(gè)數(shù)一共有 個(gè). 解：按照梯形兩腰所在線段分類計(jì)數(shù). (1)平行線截線段AB與AC形成3+2+1=6(個(gè))梯形；(2)平行線截線段BD與CD形成2+1=3(個(gè))梯形；(3)平行線截線段BF與FC形成(1)個(gè)梯形；(4)平行線截線段CD與CE形成2+1＝3(個(gè))梯形；(5)平行線截線段CF與CG形成1(個(gè))梯形；(6)平行線截線段CF與CJ形成1(個(gè))梯形；因此圖中梯形的個(gè)數(shù)一共有 6+3+1+3+1+1＝15(個(gè)). 例3 由35個(gè)單位正方形組成的長(zhǎng)方形中，如圖所示有兩個(gè)“A”，問包含兩個(gè)“A”在內(nèi)的由小正方形組成的長(zhǎng)方形（含正方形）有多少？解1 含兩個(gè)A的長(zhǎng)方形，與二，三兩行有公共部分。1．分類計(jì)數(shù) 在計(jì)數(shù)時(shí)，為了做到不重復(fù)也不遺漏，可以先將圖形按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分類，然后將其每一類相的方法數(shù)加，便得到了總數(shù)。如在雨地里放一個(gè)如圖1那樣的長(zhǎng)方體的容器，雨水將它注滿要用1小時(shí)。若n＝6, 即使六面都油漆過, 未油漆的小方塊也有43＝64個(gè),大于45。而時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)176。 在解答行程問題時(shí)，靈活地應(yīng)用比例關(guān)系（即時(shí)間一定，路程與速度成正比例；路程一定，時(shí)間與速度成反比例；速度一定，路程與時(shí)間成正比例）常可得到簡(jiǎn)潔的解法。如果每個(gè)工人的工作效率都相同，問這個(gè)工程隊(duì)有多少工人？解. 設(shè)這個(gè)工程隊(duì)有x個(gè)人，每個(gè)人每月的工作量為1，則甲工地工作量為，而乙工地工作量為。解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題的關(guān)鍵是從實(shí)際的數(shù)學(xué)問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，把反映實(shí)世界的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題目來解決，不要局限于幾種題型。 解 3n+2 由題意知，正半軸上的整數(shù)與圓周上的數(shù)字建立的對(duì)應(yīng)關(guān)系是：①當(dāng)正半軸上的整數(shù)是3的倍數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)著圓周上數(shù)字0；②當(dāng)正半軸上的整數(shù)被3除余1時(shí)，對(duì)應(yīng)著圓周上數(shù)字1；③當(dāng)正半軸上的整數(shù)被3除余2時(shí)，對(duì)應(yīng)著圓周上數(shù)字2。 其次證k為偶數(shù)： 因n個(gè)分?jǐn)?shù)的積為??…??=1， 即(+1)k(1)k=1 , (1) k =1,所以k 為偶數(shù)，從而n=2k為4的倍數(shù)。證明：甲，乙兩?？措娪暗膶W(xué)生都是1985人，：上午場(chǎng)下午場(chǎng)甲校n個(gè)座位(1985n) 個(gè)座位乙校(1985n)個(gè)座位n個(gè)座位 假設(shè)每個(gè)座位上，下午坐的都是同一學(xué)校的學(xué)生。例5 有理數(shù)的值等于 。為使各校的彩電數(shù)相同，允許一些學(xué)校向相鄰中學(xué)調(diào)出彩電，問應(yīng)怎樣調(diào)配才能使調(diào)出的彩電總臺(tái)數(shù)最少？并求出調(diào)出彩電的最少總臺(tái)數(shù)。|b|； |an|=|a|n； |ab|=|ba|（2）|a|=|b|等價(jià)于a=b或a=b， 即a2=b2（3）|ab| 就是數(shù)軸上表示數(shù)a的與表示數(shù)b的兩點(diǎn)之間的距離（4）|a| 是一個(gè)非負(fù)數(shù)。 C 與A 的距離大于 C 與B 的距離，則（ ）（A） x0 （B） x1 （C） x （D）x1解. C 如圖， 因CACB, 故點(diǎn)C 在 AB 中點(diǎn)D的左側(cè)，而D所對(duì)應(yīng)的數(shù)是，所以x。所以與點(diǎn)C所表示的數(shù)量接近的整數(shù)是1。 因?yàn)?2006=4501+2, 8501+2=4010故在n=2005時(shí)，2n+1=4011，從左到右，每8個(gè)連續(xù)的點(diǎn)中取前4個(gè)點(diǎn)，剩下的3個(gè)點(diǎn)中取2個(gè)，共取2006個(gè)點(diǎn)，任何兩點(diǎn)間的距離都不等于4。解 由知x20, x+20 于是，得 因?yàn)? 于是，當(dāng)|x|=0時(shí)，S取最大值4；當(dāng)|x|=2時(shí)，S取最小值3．其差為43=1。經(jīng)典例題解析例1 計(jì)算 12+34+…+19931994= . 解1 原式 =（12）+（34）+…+（19931994）= （1）+（1）+ …+（1） = 997解2 原式=(1+2+3+4+…+1993+1994)2(2+4+…+1994) = (1+2+3+4+…+1993+1994)4(1+2+…+997)= = 19959971996997 = 997評(píng)注 在有理數(shù)的運(yùn)算中，可以根據(jù)運(yùn)算法則和運(yùn)算律，去掉或者添上括號(hào)，以此來改變運(yùn)算的次序，找出其中的規(guī)律，使復(fù)雜的問題變得較簡(jiǎn)單．例2 計(jì)算：= 解 原式: 例3 計(jì)算并把結(jié)果寫成小數(shù)：= 解： 原式= = = 104247。于是至少有一對(duì)數(shù)的差為偶數(shù)，即這13對(duì)數(shù)的差的積必為一個(gè)偶數(shù)。例7 設(shè)有n個(gè)實(shí)數(shù)：x1,x2,…,xn，其中每一個(gè)不是+1，就是1，且，求證：n是4的倍數(shù)。例4.．a(chǎn)表示一個(gè)兩位數(shù)，b表示一個(gè)四位數(shù)，把a(bǔ)放在b的左邊組成一個(gè)六位數(shù)，那么這個(gè)六位數(shù)應(yīng)表示成（ ）(A)ab (B)10000a+b (C)100a+10000b (D)100a+b解．依題意，在這個(gè)六位數(shù)中，a的個(gè)位數(shù)字是在萬(wàn)位上，所以這個(gè)六位數(shù)應(yīng)表示成10000a+b，選(B)評(píng)注：一個(gè)n位自然數(shù)的十進(jìn)制表示法一般形式，是其中ai是一位數(shù)字. 有時(shí)也根據(jù)需要寫成 100a+b （b是兩位數(shù)）,1000a+b(b是三位數(shù))等形式例5 民航規(guī)定：旅客可以免費(fèi)攜帶a千克物品，若超過a千克，則要收取一定的費(fèi)用，當(dāng)攜帶物品的質(zhì)量為b千克(ba)時(shí)，所交費(fèi)用為Q=10b200(元)． (1)小明攜帶了35千克物品，質(zhì)量大于a千克，他應(yīng)交多少費(fèi)用？ (2)小王交了100元費(fèi)用，他攜帶了多少千克物品？(3)若收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)以超重部分的質(zhì)量m（千克）計(jì)算，在保證所交費(fèi)用Q不變的情況下，試用m表示Q．解 (1)當(dāng)攜帶的物品重量b= 35千克時(shí)，應(yīng)交的費(fèi)用為（元）．所以小明應(yīng)交159元．(2)設(shè)小王攜帶了x千克物品，則 解得因此，小王攜帶了30千克物品．(3)已知最多可以免費(fèi)攜帶a千克物品，則解得所以超重部分的質(zhì)量為即故所交費(fèi)用為（元）．例6. 設(shè)多項(xiàng)式，已知當(dāng)＝0時(shí)，；當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，求的值.解 由題意，當(dāng)＝0時(shí)，=－5，所以d=－5；當(dāng)時(shí)，=7，即，所以，當(dāng)時(shí)，=例7 如果, 那么的值為 . 解法1 ∵a2+a=1, 于是我們有解法2 ∵a2=1a,于是有評(píng)注：解法一是應(yīng)用拆項(xiàng)法；解法二是應(yīng)用降次法, 這兩種方法在整式恒等變形中常用. 例8 如下圖所示，按下列方法將數(shù)軸的正半軸繞在一個(gè)圓上（該圓周長(zhǎng)為3個(gè)單位長(zhǎng)，且在圓周的三等分點(diǎn)處分別標(biāo)上了數(shù)字0、2）：先使原點(diǎn)與圓周上0所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合，再將正半軸按順時(shí)針方向繞在該圓周上，使數(shù)軸上…所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別與圓周上0、…所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合。 11｜(7x+2y5z)∴例2 已知 ，且，則xabc= .解：由已知得 即 于是 因， 故xabc=0例3 已知關(guān)于的方程和有相同的解，那么這個(gè)解是 。經(jīng)典例題解析、乙兩項(xiàng)工程，甲工程工作量是乙工程工作量的兩倍。如果這些工人同時(shí)工作，則需10小時(shí)裝卸完畢。例5 一游泳者沿河逆流而上，于A處將攜帶物品（可漂?。┻z失，在繼續(xù)前游30分鐘后發(fā)現(xiàn)物品遺失，即刻返回順游，距A處3千米時(shí)在B處將物品追回，問此河水流速度是多少？解： 設(shè)水流速度為v千米／小時(shí)，游泳者的速度為x千米／小時(shí)，則游泳者在開始返回時(shí)，物品離A處千米，游泳者從開始返回到游到B處游了千米，而物品漂浮了千米，于是所以 ， ， 所以河水流速是3千米／小時(shí)．另解：把小河水流看作不動(dòng)的，則物品是靜止的，游泳者的速度就是不變的，這樣，游泳者遺失物品時(shí)到發(fā)現(xiàn)物品時(shí)游的距離就等于發(fā)現(xiàn)物品時(shí)列追回物品時(shí)游的距離，從而游這兩個(gè)距離所用時(shí)間相等，都是小時(shí)，所以物品就漂浮了l小時(shí)，由題設(shè)，物品l小時(shí)漂浮了3千米，從而水流速度為3千米／小時(shí)，例6甲乙二人在同一條橢圓形跑道上作特殊訓(xùn)練：他們同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到達(dá)出發(fā)點(diǎn)后立即回頭加速跑第二圈，跑第一圈時(shí)，乙的速度是甲速度的2/3，甲跑第二圈時(shí)速度比第一圈提高了1/3，乙跑第二圈時(shí)速度提高了1/5,已知甲乙二人第二次相遇點(diǎn)距第一次相遇點(diǎn)190米。此外，將一個(gè)立體圖形按不同的要求分割成一些小的立體圖形，也是我們要探討的內(nèi)容。(1)中的方法,在圖2的六個(gè)正方形中分別填上適當(dāng)?shù)恼麛?shù),結(jié)合圖1,顯然所填的六個(gè)正整數(shù)之和最大為11　　剩下C、D兩種容器，它們的“接雨面”與底面大小不同，可先將其轉(zhuǎn)化為“接雨面”與底面大小相同的容器（如圖所示）。2．有些題目，形式上和上題不同，但思維方式是一樣的。從a上取兩點(diǎn)有109247。 本節(jié)的重點(diǎn)是線段與角的度量與計(jì)算?！?+∠8=90 186。 （圖1） （圖2） （圖3）解．006756442312所對(duì)應(yīng)的軌線圖形為下圖中的粗線所表示的封閉折線。于是共有24+144=168個(gè)。 4．對(duì)應(yīng)計(jì)數(shù)在解決某些計(jì)數(shù)問題時(shí)，為了解決某個(gè)問題A，我們將其中的研究對(duì)象和另一個(gè)問題B中的研究對(duì)象配成對(duì)，通過解決B問題來達(dá)到解決A問題的目的。那么1小 時(shí)后，每個(gè)小容器內(nèi)雨水的深度還是10cm。將這些正立方體排列如下圖，試求號(hào)碼2對(duì)面寫的數(shù)字。走了一段路程后，乙放下車步行，甲走到乙放車處改騎自行車，以后不斷交替行進(jìn)，兩人恰好同時(shí)到達(dá)B地。解：設(shè)汽車速度為a米/秒，小宏速度為b米/秒，根據(jù)題意得 兩式相減得 12a=72b 即a=6b 代入可得x=5評(píng)注：行程問題常分為同向運(yùn)動(dòng)和相向運(yùn)動(dòng)兩種，相遇問題就是相向運(yùn)動(dòng)，而追及問題就是同向運(yùn)動(dòng)。例4. 中學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)五羊賽區(qū)男女運(yùn)動(dòng)員比例為19：12。 應(yīng)用題目涉及的類型很多，有些比較復(fù)雜的問題，設(shè)直接或間接未知數(shù)都很難解決，而此時(shí)設(shè)輔助未知數(shù)，依題意就能列出方程或方程組，從而解決問題目。含有一個(gè)未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)為一次的整式方程稱為一元一次方程，任何一個(gè)一元一次方程總可以化為ax=b(a≠0)的形式，這是一元一次方程的最簡(jiǎn)形式。解：將這組單項(xiàng)式按上述法則排序，, , , , , , , , ，. 所以應(yīng)排在第8位例4．小敏購(gòu)買4種數(shù)學(xué)用品：計(jì)算器、圓規(guī)、三角板、量角器的件數(shù)和用錢總數(shù)列下表： 品名件數(shù)計(jì)算器圓規(guī)三角板量角器總錢數(shù)第一次購(gòu)件數(shù)134578第二次購(gòu)件數(shù)157998則4種數(shù)學(xué)用品各買一件共需__________元. 解 設(shè)計(jì)算器、圓規(guī)、三角板、量角器每件價(jià)分別為x,y,z,u元，則有 x+3y+4z+5u=78 (1) x+5y+7z+9u=98 (2)(1)2(2)得 x+y+z+u=58, 即4種數(shù)學(xué)用品各買一件共需58元。