【正文】 的和是______。答案：600提示:第組中間的分數(shù)的分母是2,則第組內三個分數(shù)分母之和是(21)+2+(2+1)=6。5. 把所有的奇數(shù)依次一項,二項,三項,四項循環(huán)分為:(3),(5,7),(9,11,13),(15,17,19,21),(23),(25,27),(29,31,33),(35,37,39,41),(43),…,則第100個括號內的各數(shù)之和為______。答案：1992。解析：每4個括號為一個大組,前100個括號共25個大組,包含25(1+2+3+4)=250個數(shù),正好是從3開始的250個連續(xù)奇數(shù)。因此第100個括號內的最后一個數(shù)是2250+1=501,故第100個括號內的各數(shù)之和為501+499+497+495=1992。6. 一列數(shù):1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,…,這列數(shù)中的第1999個數(shù)除以5的余數(shù)是______。答案：3。解析：自然數(shù)出現(xiàn)了次,這個中的最后一個數(shù)位于這列數(shù)中的第(1+2+…+=(+1)個數(shù)。又 因為。因此,這列數(shù)中的第1999個數(shù)是63,它除以5的余數(shù)是3。 7. 如數(shù)表:第1行 1 2 3 4 5 … … 14 15第2行 30 29 28 27 26 … … 17 16第3行 31 32 33 34 35 … … 44 45 … … … … … … … … … 第行 … … … … … … … …第+1行 … … … … … … … … 第行有一個數(shù),它的下一行(第+1行)有一個數(shù),+=391,那么=______。答案：13。解析：觀察數(shù)表排列規(guī)律知,相鄰兩行(第行與第+1行)十五組相應兩數(shù)的和值均相等,其和為30+1。由30+1=391得=13。11. 假設將自然數(shù)如下分組:(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),(11,12,13, 14,15),(16,17,18,19,20,21),……再將順序數(shù)為偶數(shù)的數(shù)組去掉,則剩下的前個數(shù)組之和恒為4,如:(1)+(4+5+6)+(11+12+13+14+15)=34。答案：從第一組開始的前19個數(shù)組,共包含1+2+3+…+19= =190個數(shù),這些數(shù)的和為1+2+3+…+190= =18145。 其中順序數(shù)為奇數(shù)的數(shù)組有[]+1=10組,這10個數(shù)組所有數(shù)的和為104=10000,因此其中順序數(shù)為偶數(shù)的數(shù)組中所有數(shù)的和為1814510000=8145。今有從第一組開始的前19個數(shù)組,求其中順序數(shù)為偶數(shù)的數(shù)組中所有數(shù)的和。12. 1,1,2,2,3,3,1,1,2,2,3,3,1,1,… 其中1,1,2,2,3,3這六個數(shù)字按此規(guī)律重復出現(xiàn),問:(1) 第100個數(shù)是什么數(shù)?(2) 把第一個數(shù)至第52個數(shù)全部加起來,和是多少?(3) 從第一個數(shù)起,順次加起來,如果和為304,那么共有多少個數(shù)字相加?答案：(1)因為100247。6=16……4,所以第100個數(shù)與第4個數(shù)相同,為2。 (2)因為52247。6=8……4,所以第1個數(shù)至第52個數(shù)的和為(1+1+2+2+3+3)8+(1+1+2+2)=102。 (3)因為1+1+2+2+3+3=12,304247。12=25……4,又1+1+2=4,所以從第一個數(shù)起,順次相切,共加到第256+3=153個數(shù),其總和才恰為304。10. 數(shù)1,2,3,4,…,10000按下列方式排列: 1 2 3 … 100 101 102 103 … 200 … … … … … 9901 9902 9903 … 10000任取其中一數(shù),并劃去該數(shù)所在的行與列。這樣做了100次以后,求所取出的100個數(shù)的和。答案：將第2行的每個數(shù)減去100,第3行每個數(shù)減去200,…,第100行每個數(shù)減去9900,我們就得到一個各行都是1,2,…,100的數(shù)表。在后一個數(shù)表按規(guī)定方法取出的各數(shù)之和是1+2+…+100=5050。于是在原表中所求各數(shù)之和為:5050+(100+200+…+9900)=5050+495000=500050。十四 相遇問題（一）填空題1. 兩列對開的火車途中相遇,甲車上的乘客從看到乙車到乙車從旁邊開過去,共用6秒鐘。已知甲車每小時行45千米,乙車每小時行36千米,乙車全長_____米。答案：135。解析：根據(jù)相向而行問題可知乙車的車長是兩車相對交叉6秒鐘所行路之和。所以乙車全長 (45000+36000)6 =81000 =135(米)。2. 甲、乙兩地間的路程是600千米,貨車必須在上午______點出發(fā)。答案：7。解析：根據(jù)中點相遇的條件,可知兩車各行600=300(千米). 其間客車要行300247。60=5(小時)。 貨車要行300247。50=6(小時).所以,要使兩車同時到達全程的中點,貨車要提前一小時出發(fā),即必須在上午7點出發(fā)。3. 甲乙兩地相距450千米,快慢兩列火車同時從兩地相向開出,3小時后兩車在距中點12千米處相遇,快車每小時比慢車每小時快______千米。答案：8。解析：快車和慢車同時從兩地相向開出,3小時后兩車距中點12米處相遇,由此可見快車3小時比慢車多行122=24(千米)。所以,快車每小時比慢車快24247。3=8(千米)。4. 甲乙兩站相距360千米，客車和貨車同時從甲站出發(fā)駛向乙站,客車每小時行60千米,貨車每小時行40千米,又以原速返回甲站,兩車對面相遇的地點離乙站______千米。答案：60。解析：利用圖解法,借助線段圖(下圖)進行直觀分析。解法一 客車從甲站行至乙站需要 360247。60=6(小時)。,貨車行了 40(6+)=260(千米)。貨車此時距乙站還有 360260=100(千米)。貨車繼續(xù)前行,客車返回甲站(化為相遇問題)“相遇時間”為 100247。(60+40)=1(小時)。 所以,相遇點離乙站601=60(千米)。解法二 假設客車到達乙站后不停,而是繼續(xù)向前行駛(247。2)=,那么兩車行駛路程之和為 3602+60=750(千米) 兩車相遇時貨車行駛的時間為 750247。(40+60)=(小時) 所以兩車相遇時貨車的行程為 40=300(千米) 故兩車相遇的地點離乙站 360300=60(千米)。5. 列車通過250米長的隧道用25秒,通過210米長的隧道用23秒,又知列車的前方有一輛與它行駛方向相同的貨車,貨車車身長320米,速度為每秒17米,列車與貨車從相遇到離開需______秒。答案：190。解析：列車速度為(250210)247。(2523)=20(米/秒).列車車身長為2025250=250(米)。列車與貨車從相遇到離開需(250+320)247。(2017)=190(秒)。6. 小冬從甲地向乙地走,小青同時從乙地向甲地走,當各自到達終點后,又立刻返回,行走過程中,各自速度不變,兩人第一次相遇在距甲地40米處,第二次相遇在距乙地15米處。甲、乙兩地的距離是______米。答案：105。解析：根據(jù)題意,作線段圖如下: 根據(jù)相向行程問題的特點,小冬與小青第一次相遇時,兩人所行路程之和恰是甲、乙之間的路程。由第一次相遇到第二次相遇時,兩人所行路程是兩個甲、,故這時兩人行的路程都是從出發(fā)到第一次相遇所行路的2倍。根據(jù)第一次相遇點離甲地40米,可知小冬行了40米,從第一次到第二次相遇小冬所行路程為402=80(米)。因此,從出發(fā)到第二次相遇,小冬共行了40+80=120(米)。由圖示可知,甲、乙兩地的距離為12015=105(米)。7. 甲、乙二人分別從兩地同時相向而行,乙的速度是甲的速度的,二人相遇后繼續(xù)行進,甲到地、,那么兩地相距______千米。答案：50。解析：因為乙的速度是甲的速度的,所以第一次相遇時,乙走了兩地距離的(甲走了),即相遇點距地個單程。因為第一次相遇兩人共走了一個單程,第二次相遇共走了三個單程,所以第二次相遇乙走了3=(個)單程,即相遇點距地個單程(見下圖)?？梢钥闯?兩次相遇地點相距1=(個)單程,所以兩地相距20247。=50(千米)。（二）解答題、乙兩汽車從甲、,哪輛汽車走的路程多?多多少千米?答案：相遇問題的特點及基本關系知,在甲車開出32千米后兩車相遇時間為 (35232)247。(36+44)=4(小時) 所以,甲車所行距離為 364+32=176(千米) 乙車所行距離為 444=176(千米)故甲、乙兩車所行距離相等。 注: 這里的巧妙之處在于將不是同時出發(fā)的問題,通過將甲車從開出32千米后算起,化為同時出發(fā)的問題,從而利用相遇問題的基本關系求出“相遇時間”。、乙兩車從兩城市對開,已知甲車的速度是乙車的。甲車先從城開55千米后,乙車才從城出發(fā)。兩車相遇時,甲車比乙車多行駛30千米。試求兩城市之間的距離。答案：從乙車出發(fā)到兩車相遇,甲車比乙車少行5530=25(千米)。25千米是乙車行的1,所以乙車行了25247。=150(千米)。兩城市的距離為 1502+30=330(千米)。,它們之間的路程如下圖所示(單位:千米)。兩列火車從相向對開,車先開了3分鐘,每小時行60千米,車每小時行50千米,兩車在車站上才能停車,互相讓道、(相遇),才能使停車等候的時間最短,先到的火車至少要停車多長時間?答案：車先開3分,全程為 45+40+10+70=165(千米)。若兩車都不停車,則將在距站 165(千米) 處相撞,車在站等候,與車在站等候,等候的時間相等,都是,車各行5千米的時間和, (時)=11分。十五 追及問題（一）填空題1．當甲在60米賽跑中沖過終點線時，比乙領先10米、比丙領先20米，如果乙和丙按原來的速度繼續(xù)沖向終點，那么當乙到達終點時將比丙領先 米。答案：12。解析：解法一 依題意,畫出線段圖如下:丙乙甲起點102030405060在同樣時間內,甲跑60米,乙跑50米,丙跑40米,也就是在相同單位時間內甲跑6米,乙跑5米,丙跑4米。所以,由上圖看出,當乙跑10米到達終點時,丙又跑了8米,此時丙距終點60408=12(米)。解法二 相同時間內,乙跑50米,丙跑40米,丙的行程為60180。=48(米)，此時丙距終點6048=12(米)。解法三 由于乙、丙兩人速度不變,又丙與乙在第一段時間內的路程差(5040)=10米是乙的路程的10184。50=,所以當乙跑完后10米時,丙在第二段時間與乙的路程差為10180。=2(米)兩次路程差和10+2=12(米),就是乙比丙領先的路程。,；一只狗奔跑時,那么獲勝的一定是 。答案：兔子。解析：從題面上看,狗和兔子的速度是一樣的,但因為當狗跑了66步后,狗共跑了99米,剩下1米,這時它也得再花一步的時間,而當狗跑了66步后,兔子跑了(3180。66)=198步,再花2步的時間,即到達終點。,從102路電車始發(fā)站出發(fā),沿102路電車線前進,騎車人離開出發(fā)地2100米時,一輛102路電車開出了始發(fā)站,這輛電車每分鐘行500米,行5分鐘到達一站并停車1分鐘。那么需要 分鐘,電車追上騎車人。答案：。解析：,騎車人每分鐘行300米,1分鐘追上(500300)=200米,追上2100米要用(2100184。200)=(分鐘).,共花(1180。2)=2分鐘,電車停2分鐘,騎車人又要前行(300180。2)=600米,電車追上這600米,又要多用(600184。200)=,+2+3=(分鐘)。,騎自行車,亮亮家到學校的距離是 。答案：。解析：此題可看成同向而行問題:有兩人從亮亮家出發(fā)去學校，一人步行,每小時走5千米；一人騎自行車,每小時行13千米。那么,當騎自行車的人到學校時,步行的人離學校還有(騎車人比步行人早到4小時):5180。4=20(千米)，又騎車比步行每小時快135=8(千米)，所以,亮亮家到學校的距離是(20184。8)180。13=(千米)。,再經過 分鐘,時鐘與分針第一次重合。答案：21。解析：設鐘面一周的長度為1,則在4點時,分針落后于時針是鐘面周長的=；同時分鐘和時針的速度之差為鐘面周長的，由追及問題的基本關系知,兩針第一次重合需要(分鐘)。、乙兩人在400米長的環(huán)形跑道上跑步，甲以每分鐘300米的速度從起點跑出1分時,乙從起點同向跑出,從這時起甲用5分鐘趕上乙。乙每分跑 米。答案：280。解析：甲以每分鐘300米的速度從起點跑出1分鐘,這時甲離乙400300180。1=100(米)甲用5分鐘比乙多跑1