【正文】 ：剪出的正方形布片的邊長(zhǎng)能分別整除長(zhǎng)方形的長(zhǎng)48厘米及寬42厘米,所以它是48與42的公約數(shù),題目又要求剪出的正方形最大,故正方形的邊長(zhǎng)是48與42的最大公約數(shù)。因?yàn)?8=22223,42=237,所以48與42的最大公約數(shù)是6。這樣,最大正方形的邊長(zhǎng)是6厘米。由此可按如下方法來(lái)剪:長(zhǎng)邊每排剪8塊,寬邊可剪7塊,共可剪(486)(426)=87=56(塊)正方形布片。8．寫(xiě)出小于20的三個(gè)自然數(shù)，使它們的最大公約數(shù)是1，但兩兩均不互質(zhì)，請(qǐng)問(wèn)有多少組這種解？答案：三組。解析：三個(gè)數(shù)都不是質(zhì)數(shù),至少是兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積,兩兩之間的最大公約數(shù)只能分別是2,3和5,這種自然數(shù)有6,10,15和12,10,15及18,10,15三組。9．和為1111的四個(gè)自然數(shù)，它們的最大公約數(shù)最大能夠是多少？答案：四個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)必須能整除這四個(gè)數(shù)的和,也就是說(shuō)它們的最大公約數(shù)應(yīng)該是1111的約數(shù)。將1111作質(zhì)因數(shù)分解,得 1111=11101最大公約數(shù)不可能是1111,則將這四個(gè)數(shù)分別除以101,所得商的和應(yīng)為11?，F(xiàn)有 1+2+3+5=11,即存在著下面四個(gè)數(shù) 101,1012,1013,1015,它們的和恰好是 101(1+2+3+5)=10111=1111,它們的最大公約數(shù)為101，所以101為所求。10．狐貍和黃鼠狼進(jìn)行跳躍比賽，狐貍每次跳米，黃鼠狼每次跳米，,從起點(diǎn)開(kāi)始每隔米設(shè)有一個(gè)陷井,當(dāng)它們之中有一個(gè)掉進(jìn)陷井時(shí),另一個(gè)跳了多少米?答案：黃鼠狼掉進(jìn)陷井時(shí)已跳的行程應(yīng)該是與的“最小公倍數(shù)”，即跳了=9次掉進(jìn)陷井，狐貍掉進(jìn)陷井時(shí)已跳的行程應(yīng)該是和的“最小公倍數(shù)”，即跳了=11次掉進(jìn)陷井。經(jīng)過(guò)比較可知,黃鼠狼先掉進(jìn)陷井,這時(shí)狐貍已跳的行程是9=(米)。五 帶余數(shù)除法（一）填空題1．小東在計(jì)算除法時(shí)，把除數(shù)87寫(xiě)成78，結(jié)果得到的商是54，,余數(shù)是_____。答案：48,44。解析：依題意得：被除數(shù)=7854+8=4220，而4220=8748+44,所以正確的商是48,余數(shù)是44。2. a24=121……b,要使余數(shù)最大，被除數(shù)應(yīng)該等于_____。答案：2927。解析：因?yàn)橛鄶?shù)一定要比除數(shù)小,所以余數(shù)最大為23,故有， 被除數(shù)=24121+23=2927。3. 一個(gè)三位數(shù)被37除余17,被36除余3,那么這個(gè)三位數(shù)是_____。答案：831解析：這個(gè)三位數(shù)可以寫(xiě)成：37商+17=36商+(商+17)。根據(jù)“被36除余3”。(商+17)被36除要余3。商只能是22(如果商更大的話(huà),與題目條件“三位數(shù)”不符合)。因此,這個(gè)三位數(shù)是3722+17=831。4. 393除以一個(gè)兩位數(shù),余數(shù)為8,這樣的兩位數(shù)有_____個(gè),它們是_____。答案：11,35,55,77。解析：393減8,那么差一定能被兩位數(shù)整除。 ∵3938=385， 385=5711=(57)11=(511)7=(711)5， ∴385能被兩位數(shù)11，35，55，77整除。本題的答案是4個(gè):11,35,55,77。5. 3145368765987657的積,除以4的余數(shù)是_____。答案：1。解析：∵314534=7863…1 687654=17191…1 9876574=246914…1 111=1∴3145368765987657的積除以4余數(shù)是1。6. 888……8乘以666……6的積，除以7余數(shù)是_____。 50個(gè)8 50個(gè)6答案：5。解析：因?yàn)?11111能被7整除,所以888888和666666均能被7整除。而50=68+2,故得被乘數(shù)與88被7除的余數(shù)相同,乘數(shù)與66被7除的余數(shù)相同,進(jìn)而得:被乘數(shù)被7除余4,乘數(shù)被7除余3。所以乘積與(43=)12被7整除的余數(shù)相同。因此得乘積被7除的余數(shù)是5。7. 如果時(shí)針現(xiàn)在表示的時(shí)間是18點(diǎn)整,那么分針旋轉(zhuǎn)1990圈之后是_____點(diǎn)鐘。答案：16。解析：因?yàn)榉轴樞D(zhuǎn)一圈為一個(gè)鐘頭,所以分針旋轉(zhuǎn)24圈,這樣時(shí)針又回到18點(diǎn)整的位置上。由199024=82…余22，可知那時(shí)時(shí)鐘表示的時(shí)間應(yīng)是16點(diǎn)整。（二）解答題8．幼兒園某班學(xué)生做游戲，如果每個(gè)學(xué)生分得的彈子一樣多，彈子就多12顆，如果再增加12顆彈子，那么每個(gè)學(xué)生正好分得12顆，問(wèn)這班有多少個(gè)學(xué)生？原有多少顆彈子？答案：依題意知，原來(lái)每個(gè)學(xué)生分相等的若干顆，余12顆，,即12+12=24(顆),24能被班級(jí)人數(shù)整除,又24能分解為 24=124=212=38=46由班級(jí)人數(shù)大于12,可知符合題意的是24人。所以,共有彈子數(shù)122412=276(顆)。9．已知：a=199119911991……1991,問(wèn)：a除以13,余數(shù)是幾？ 1991個(gè)1991 答案：用試除的方法可知:199119911991可以被13除盡。,所以a與19911991除以13所得余數(shù)相同。又19911991除以13余8,所以a除以13的余數(shù)也是8。10．100個(gè)7組成的一百位數(shù),被13除后,問(wèn)：(1)余數(shù)是多少？(2)商數(shù)中各位數(shù)字之和是多少？答案：因?yàn)?7777713=59829,即777777能被13整除,把這100個(gè)7,從第一個(gè)起,每6個(gè)分成一組,1006=16…4，共16組還多4個(gè)。每一組除以13的商都是59829,7777除以13的商是598,余數(shù)是3。所以,100個(gè)7組成一百位數(shù)除以13后,余數(shù)是3,商數(shù)中各位數(shù)字之和是 (5+9+8+2+9)16+(5+9+8) =550。六 中國(guó)剩余定理（一）填空題1. 有一個(gè)數(shù)，除以3余數(shù)是1，除以4余數(shù)是3，這個(gè)數(shù)除以12余數(shù)是_____。答案：7。解析：因?yàn)槌?余數(shù)是1的數(shù)是1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,…除以4余數(shù)是3的數(shù)是3,7,11,15,19,23,27,31…所以，同時(shí)符合除以3余數(shù)是1，除以4余數(shù)是3的數(shù)有7，19，31，…這些數(shù)除以12余數(shù)均為7。2. 一個(gè)兩位數(shù),用它除58余2,除73余3,除85余1,這個(gè)兩位數(shù)是_____。答案：14。解析：用一個(gè)兩位數(shù)除58余2,除73余3,除85余1,那么582=56, 733=70,851=84能被這個(gè)兩位數(shù)整除,這個(gè)兩位數(shù)一定是570和84的公約數(shù).2 56 70 84 7 28 35 42 4 5 6由可可見(jiàn),570、84的兩位數(shù)公約數(shù)是27=14，可見(jiàn)這個(gè)兩位數(shù)是14。3. 學(xué)習(xí)委員收買(mǎi)練習(xí)本的錢(qián),她只記下四組各交的錢(qián),,又知道每本練習(xí)本價(jià)格都超過(guò)1角,全班共有_____人。答案：41解析：根據(jù)題意得：319261=練習(xí)本單價(jià)第二、一組人數(shù)之差，348319=練習(xí)本單價(jià)第四、二組人數(shù)之差。即練習(xí)本單價(jià)第二、一組人數(shù)之差=58,練習(xí)本單價(jià)第四、二組人數(shù)之差=29，所以,練習(xí)本單價(jià)是58與29的公約數(shù),這樣,練習(xí)本的單價(jià)是29分,。因此,全班人數(shù)是(++)==41(人)。[注]這里為了利用練習(xí)本單價(jià)是總價(jià)的公約數(shù)這一隱含條件,將小數(shù)化成整數(shù)來(lái)考慮,、319和348的公約數(shù)。4. 五年級(jí)兩個(gè)班的學(xué)生一起排隊(duì)出操,如果9人排一行,多出一個(gè)人；如果10人排一行。答案： 91解析：如果將兩個(gè)班的人數(shù)減少1人,則9人一排或10人一排都正好排完沒(méi)有剩余,所以?xún)砂嗳藬?shù)減1是9和10的公倍數(shù),又要求這兩班至少有幾人,可以求出9和10的最小公倍數(shù),這兩個(gè)班最少有910+1=91(人)。5. 一個(gè)數(shù)能被7整除，若用11去除則余1，這個(gè)數(shù)最小是____。答案：210。解析：一個(gè)數(shù)能被3,5,7整除,這個(gè)數(shù)一定是3,5,5,7的公倍數(shù)依次為:105,210,315,420,……，其中被11除余數(shù)為1的最小數(shù)是210，所以這個(gè)最小數(shù)是210。6. 同學(xué)們進(jìn)行隊(duì)列訓(xùn)練,如果每排8人,最后一排6人；如果每排10人，最后一排少4人，參加隊(duì)列訓(xùn)練的學(xué)生最少有_____人。答案：46人。解析：如果總?cè)藬?shù)少6人,則每排8人和每排10人,均恰好排完無(wú)剩余。由此可見(jiàn),人數(shù)比10和8的最小公倍數(shù)多6人,10和8的最小公倍數(shù)是40,所以參加隊(duì)列訓(xùn)練的學(xué)生至少有46人。7. 把幾十個(gè)蘋(píng)果平均分成若干份,每份9個(gè)余8個(gè),每份8個(gè)余7個(gè),。答案：71。解析：依題意知,這堆蘋(píng)果總個(gè)數(shù),添進(jìn)1個(gè)蘋(píng)果后,正好是9,8,8,4的最小公倍數(shù)是98=72,所以這堆蘋(píng)果至少有981=71(個(gè))。[注]本題為什么求9,8,4的最小公倍數(shù)呢?這是根據(jù)限制條件“這堆蘋(píng)果共幾十個(gè)”“這堆蘋(píng)果的個(gè)數(shù)在100200之間”的話(huà)，那么這堆蘋(píng)果共有9821=141（個(gè)）。因此，在解答問(wèn)題時(shí)，一定要把條件看清楚，尤其要注意“隱含條件”的應(yīng)用。（二）解答題8．有一盒乒乓球，每次8個(gè)8個(gè)地?cái)?shù)，10個(gè)10個(gè)地?cái)?shù)，12個(gè)12個(gè)地?cái)?shù)，最后總是剩下3個(gè)。這盒乒乓球至少有多少個(gè)?答案：如果這盒乒乓球少3個(gè)的話(huà),8個(gè)8個(gè)地?cái)?shù),10個(gè)10個(gè)地?cái)?shù),12個(gè)12個(gè)的數(shù)都正好無(wú)剩余,也就是這盒乒乓球減少3個(gè)后是8,10,12的公倍數(shù),又要求至少有多少個(gè)乒乓球,可以先求出8,10,12的最小公倍數(shù),然后再加上3。2 8 10 12 2 4 5 6 2 5 3故8,10,12的最小公倍數(shù)是22253=120。所以這盒乒乓球有123個(gè)。9. 求被6除余4,被8除余6,被10除余8的最小整數(shù)。答案：設(shè)所求數(shù)為,則+2就能同時(shí)被6,8,[6,8,10]=120,所以=1202=118。10. 一盒圍棋子,三只三只數(shù)多二只,五只五只數(shù)多四只,七只七只數(shù)多六只,若此盒圍棋子的個(gè)數(shù)在200到300之間,問(wèn)有多少?lài)遄?答案：設(shè)有個(gè)圍棋子,則+1是3,5,7的倍數(shù), +1是[3,5,7]=357=105的倍數(shù), +1=210, =209。七 奇數(shù)與偶數(shù)（一）填空題1. 2，4，6，8，……是連續(xù)的偶數(shù)，若五個(gè)連續(xù)的偶數(shù)的和是320，這五個(gè)數(shù)中最小的一個(gè)是______。答案：60。解析：這五個(gè)連續(xù)偶數(shù)的第三個(gè)(即中間的那一個(gè))偶數(shù)是3205=64。所以，最小的偶數(shù)是60。2. 有兩個(gè)質(zhì)數(shù),它們的和是小于100的奇數(shù),。答案：2,83。解析：因?yàn)閮蓚€(gè)質(zhì)數(shù)的和是奇數(shù),所以必有一個(gè)是2。小于100的17的奇數(shù)倍有17,51和85三個(gè),17,51與2的差都不是質(zhì)數(shù),所以另一個(gè)質(zhì)數(shù)是852=83。3. 100個(gè)自然數(shù),它們的和是10000,在這些數(shù)里,奇數(shù)的個(gè)數(shù)比偶數(shù)的個(gè)數(shù)多,那么,這些數(shù)里至多有_____個(gè)偶數(shù)。答案：48解析：由于100個(gè)自然數(shù)的和是10000,即100個(gè)自然數(shù)中必須有偶數(shù)個(gè)奇數(shù),又由于奇數(shù)比偶數(shù)多,因此偶數(shù)最多只有48個(gè)。4. 下圖是一張靶紙,靶紙上的:我打了六槍,每槍都中靶得分,:我打了3槍,每槍都中靶得分,共得了27分。 1 3 5 7 9已知甲、乙兩人中有一人說(shuō)的是真話(huà)，那么說(shuō)假話(huà)的是_____。答案：甲解析：由于分?jǐn)?shù)都是奇數(shù),6個(gè)奇數(shù)之和為偶數(shù),不可能是奇數(shù)27,所以說(shuō)假話(huà)的是甲。5. 一次數(shù)學(xué)考試共有20道題,規(guī)定答對(duì)一題得2分,答錯(cuò)一題扣1分,未答的題不計(jì)分。考試結(jié)束后,小明共得23分。他想知道自己做錯(cuò)了幾道題,但只記得未答的題的數(shù)目是個(gè)偶數(shù)。請(qǐng)你幫助小明計(jì)算一下,他答錯(cuò)了_____道題。答案：3。解析：小明做錯(cuò)的題的數(shù)目一定是奇數(shù)個(gè),若是做錯(cuò)1個(gè),則應(yīng)做對(duì)12個(gè)才會(huì)得1221=23分,這樣小明共做13個(gè)題,未做的題的個(gè)數(shù)7不是偶數(shù)；若是做錯(cuò)3個(gè)，則應(yīng)做對(duì)13個(gè)才能得1323=23分，這樣未答的題是4個(gè)，恰為偶數(shù)個(gè)。7. 有一批文章共15篇,各篇文章的頁(yè)數(shù)分別是1頁(yè)、2頁(yè)、3頁(yè)……14頁(yè)和15頁(yè)的稿紙，如果將這些文章按某種次序裝訂成冊(cè)，并統(tǒng)一編上頁(yè)碼。那么每篇文章的第一頁(yè)是奇數(shù)頁(yè)碼的文章最多有_____篇。答案：11。解析：根據(jù)奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)的性質(zhì),先編排偶數(shù)頁(yè)的文章(2頁(yè),4頁(yè),…，14頁(yè))，這樣共有7篇文章的第一頁(yè)都是奇數(shù)頁(yè)碼。然后,編排奇數(shù)頁(yè)的文章(1頁(yè),3頁(yè),…，15頁(yè))，根據(jù)奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)的性質(zhì)，這樣編排，就又有4篇文章的第一頁(yè)都是奇數(shù)頁(yè)碼。所以,每篇文章的第一頁(yè)是奇數(shù)頁(yè)碼的文章最多是7+4=11(篇)。7. 一本書(shū)中間的某一張被撕掉了,余下的各頁(yè)碼數(shù)之和是1133,這本書(shū)有_____頁(yè),撕掉的是第_____頁(yè)和第_____頁(yè)。答案：48,21,22。解析：設(shè)這本書(shū)的頁(yè)碼是從1到n的自然數(shù),正確的和應(yīng)該是1+2+…+n=( n+1)由題意可知，( n+1)1133由估算，當(dāng)n=48時(shí)，( n+1)=4849=1176，11761133=43。根據(jù)書(shū)頁(yè)的頁(yè)碼編排,被撕一張的頁(yè)碼應(yīng)是奇、偶，其和是奇數(shù)，43=21+22。所以,這本書(shū)有48頁(yè),被撕的一張是第21頁(yè)和第22頁(yè)。（二）解答題9．如下圖，從0點(diǎn)起每隔3米種一棵樹(shù)。如果把3塊“愛(ài)護(hù)樹(shù)木”的小木牌分別掛在3棵樹(shù)上，那么不管怎么掛，至少有兩棵掛牌樹(shù)之間的距離是偶數(shù)（以米為單位）。試說(shuō)明理由。03691215182124答案：相距最遠(yuǎn)的兩塊木牌的距離,等于它們分別與中間一塊木牌的距離之和。如果三塊木牌間兩兩距離都是奇數(shù),就會(huì)出現(xiàn)“奇+奇=奇”，這顯然不成立，所以必有兩塊木牌的距離是偶數(shù)。13．如圖所示，一個(gè)圓周上有9個(gè)位置，依次編為1~