【正文】 樹上，：原來每棵樹上各落多少只鳥？ 拓展提升1. 一次數(shù)學(xué)考試后，：“用我得的分?jǐn)?shù)減去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.”小朋友，你知道于昆得多少分嗎？　　分析 這道題如果順推思考，比較麻煩，就像剝卷心菜一樣層層深入，直到解決問題.　　如果把于昆的敘述過程編成一道文字題：一個(gè)數(shù)減去8，加上10，再除以7，乘以4，？　　把一個(gè)數(shù)用□來表示，根據(jù)題目已知條件可得到這樣的等式：　?。郏ā酰?）＋10］247。7｝4＝56.　　如何求出□中的數(shù)呢？，而乘以4之前是56247。4＝，除以7之前是147＝，加10以前是9810＝，減8以前是88＋8＝.　　解：｛［（□－8）＋10］247。7｝4＝56　　 ［（□－8）＋10〕247。7＝56247。4　　答：于昆這次數(shù)學(xué)考試成績(jī)是96分.　　通過以上例題說明，用倒推法解題時(shí)要注意：　?、購慕Y(jié)果出發(fā)，逐步向前一步一步推理.　　②在向前推理的過程中，每一步運(yùn)算都是原來運(yùn)算的逆運(yùn)算.　?、哿惺綍r(shí)注意運(yùn)算順序，正確使用括號(hào).2. 馬小虎做一道整數(shù)減法題時(shí)，把減數(shù)個(gè)位上的1看成7，把減數(shù)十位上的7看成1，？　　分析 馬小虎錯(cuò)把減數(shù)個(gè)位上1看成7，使差減少7—1＝6，而把十位上的7看成1，使差增加70—10＝，加60得111，求某數(shù)是幾的問題.　　解：111－（70—10）＋（7—1）＝57　　答：正確的答案是57.3. ；從第二棵樹上飛走6只落到第三棵樹上，：原來每棵樹上各落多少只鳥？　　分析 倒推時(shí)以“三棵樹上鳥的只數(shù)相等”入手分析，可得出現(xiàn)在每棵樹上鳥的只數(shù)48247。3＝16（只）.第三棵樹上現(xiàn)有的鳥16只是從第二棵樹上飛來的6只后得到的，所以第三棵樹上原落鳥16—6＝10（只）.同理，第二棵樹上原有鳥16＋6—8＝14（只）.第一棵樹上原落鳥16＋8＝24（只），使問題得解.　　解：①現(xiàn)在三棵樹上各有鳥多少只？48247。3＝16（只）　?、诘谝豢脴渖显续B只數(shù). 16＋8＝24（只）　?、郏?—8＝14（只）　?、堋?＝10（只）　　答：第一、二、三棵樹上原來各落鳥24只、14只和10只.4. ：籃子里原有梨多少個(gè)？　　分析 依題意，畫圖進(jìn)行分析.　　　　解：列綜合算式：　　｛［（1＋1）2＋1］2＋1｝2　?。?2（個(gè)）　　答：籃子里原有梨22個(gè).5. ，售貨員從剩下較多油的甲桶倒一部分給乙桶使乙桶油增加一倍；然后從乙桶倒一部分給甲桶，使甲桶油也增加一倍，：售貨員從兩個(gè)桶里各賣了多少千克油？　　分析 解題關(guān)鍵是求出甲、“甲、”.可以求出甲、乙兩個(gè)油桶共剩油152－14＝16（千克）.又已知“甲、乙兩個(gè)油桶所剩油”及“這時(shí)甲桶油恰是乙桶油的3倍”.就可以求出甲、乙兩個(gè)油桶最后有油多少千克.　　求出甲、乙兩個(gè)油桶最后各有油的千克數(shù)后，再用倒推法并畫圖求甲桶往乙桶倒油前甲、乙兩桶各有油多少千克，從而求出從兩個(gè)油桶各賣出多少千克.　　解：①甲乙兩桶油共剩多少千克？　　15214＝16（千克）　　②乙桶油剩多少千克？16247。（3＋1）＝4（千克）　?、奂淄坝褪６嗌偾Э?？43＝12（千克）　　用倒推法畫圖如下：　　　?、軓募淄百u出油多少千克？ 1511＝4（千克）　　⑤從乙桶賣出油多少千克？ 15—5＝10（千克）答：從甲桶賣出油4千克，從乙桶賣出油10千克.第十一講 列舉法解應(yīng)用題時(shí)，為了解題的方便，把問題分為不重復(fù)、不遺漏的有限情況，一一列舉出來加以分析、解決，最終達(dá)到解決整個(gè)問題的目的。這種分析、解決問題的方法叫做列舉法。列舉法也叫枚舉法或窮舉法。 用列舉法解應(yīng)用題時(shí)，往往把題中的條件以列表的形式排列起來，有時(shí)也要畫圖。 例題與方法指導(dǎo)例1. 一本書共100頁，在排頁碼時(shí)要用多少個(gè)數(shù)字是6的鉛字？思路導(dǎo)航：解：把個(gè)位是6和十位是6的數(shù)一個(gè)一個(gè)地列舉出來，數(shù)一數(shù)。個(gè)位是6的數(shù)字有：1234567896，共10個(gè)。十位是6的數(shù)字有：60、6666666669，共10個(gè)。 總共10+10=20（個(gè)）答：在排頁碼時(shí)要用20個(gè)數(shù)字是6的鉛字。例2. 從A市到B市有3條路，從B市到C市有兩條路。從A市經(jīng)過B市到C市有幾種走法？（適于三年級(jí)程度）思路導(dǎo)航：解：作圖31，然后把每一種走法一一列舉出來。第一種走法：A ① B ④ C第二種走法：A ① B ⑤ C第三種走法：A ② B ④ C第四種走法：A ② B ⑤ C第五種走法：A ③ B ④ C第六種走法：A ③ B ⑤ C答：從A市經(jīng)過B市到C市共有6種走法。例3. 印刷工人在排印一本書的頁碼時(shí)共用1890個(gè)數(shù)碼，這本書有多少頁？思路導(dǎo)航：（1）數(shù)碼一共有10個(gè)：0、2……9。0不能用于表示頁碼，所以頁碼是一位數(shù)的頁有9頁，用數(shù)碼9個(gè)。（2）頁碼是兩位數(shù)的從第10頁到第99頁。因?yàn)?99=90，所以，頁碼是兩位數(shù)的頁有90頁，用數(shù)碼：290=180（個(gè)）（3）還剩下的數(shù)碼：18909180=1701（個(gè)）（4）因?yàn)轫摯a是三位數(shù)的頁，每頁用3個(gè)數(shù)碼，100頁到999頁，99999=900，而剩下的1701個(gè)數(shù)碼除以3時(shí)，商不足600，即商小于900。所以頁碼最高是3位數(shù)，不必考慮是4位數(shù)了。往下要看1701個(gè)數(shù)碼可以排多少頁。1701247。3=567（頁）（5）這本書的頁數(shù)：9+90+567=666（頁） 鞏固訓(xùn)練1. 如圖910，有8張卡片，上面分別寫著自然數(shù)1至8。從中取出3張，要使這3張卡片上的數(shù)字之和為9。問有多少種不同的取法？ 解答：三數(shù)之和是9，不考慮順序。1+2+6=9，1+3+5=9，2+3+4=9　　答：有3種不同的取法。 ，每次取出兩個(gè)不同的數(shù)相加，要使它們的和大于10，共有多少種不同的取法？ 解答：兩數(shù)之和大于10，不考慮順序。8+7，8+6，8+5，8+4，8+3　7+6，7+5，7+4　6+5答：共有9種不同的取法。 3. 現(xiàn)在1分、2分和5分的硬幣各4枚，用其中的一些硬幣支付2角3分錢，一共有多少種不同的支付方法？ 解答：2角3分=23分　54+21+11=23，54+13=23，53+24=23，53+23+12=23，53+22+14=23 　　答：一共有5種不同的支付方法。4. 媽媽買來7個(gè)雞蛋，每天至少吃2個(gè)，吃完為止，有多少種不同的吃法？ 需要考慮吃的順序不同。7，5+2，4+3，3+4，3+2+2，2+5，2+3+2，2+2+3 　　答：有8種不同的吃法?！　　都秩?qǐng)?bào)》，每個(gè)工廠最少訂99份，最多101份。問一共有多少種不同的訂法？ 　　解答：3個(gè)工廠各不相同，3數(shù)之和是300份，要考慮順序。99+100+101，99+101+100，100+99+101，100+100+100，100+101+99，101+99+100，101+100+99答：一共有7種不同的訂法. 鞏固訓(xùn)練1. 甲、乙、丙、丁4名同學(xué)排成一行。從左到右數(shù)，如果甲不排在第一個(gè)位置上，乙不排在第二個(gè)位置上，丙不排在第三個(gè)位置上，丁不排在第四個(gè)位置上，那么不同的排法共有多少種？　解答：不同的排法共有9種。 2. abcd代表一個(gè)四位數(shù)，其中a，b，c，d均為1，2，3，4中的某個(gè)數(shù)字，但彼此不同，例如2134。請(qǐng)寫出所有滿足關(guān)系a＜b，b＞c，c＜d的四位數(shù)abcd來。解答：若a最?。?324，1423；若c最?。?314，2413，3412　　答：有5個(gè)：1324，1423，2314，2413，3412。 3. 一個(gè)兩位數(shù)乘以5，所得的積的結(jié)果是一個(gè)三位數(shù)，且這個(gè)三位數(shù)的個(gè)位與百位數(shù)字的和恰好等于十位上的數(shù)字。問一共有多少個(gè)這樣的數(shù)？ 　　解答：設(shè)兩位數(shù)是AB，三位數(shù)是CDE，則AB*5＝CDE。CDE能被5整除，個(gè)位為0或5。若E=0，由于E+C＝D，所以C＝D；又因?yàn)镃DE/5的商為兩位數(shù)，所以百位小于5。當(dāng)C=1，2，3，4時(shí)，D=1，2，3，4，CDE＝110，220，330，440。若E=5，當(dāng)C=1，2，3，4時(shí)，D=6，7，8，9，CDE＝165，275，385，495　答：一共有8個(gè)這樣的數(shù)。 4. 3件運(yùn)動(dòng)衣上的號(hào)碼分別是1，2，3，甲、乙、丙3人各穿一件?，F(xiàn)在25個(gè)小球，首先發(fā)給甲1個(gè)球，乙2個(gè)球，丙3個(gè)球。規(guī)定3人從余下的球中各取球一次，其中穿1號(hào)衣的人取他手中球數(shù)的1倍，穿2號(hào)衣的人取他手中球數(shù)的3倍，穿3號(hào)衣的人取他手中球數(shù)的4倍，取走之后還剩下兩個(gè)球。那么，甲穿的運(yùn)動(dòng)衣的號(hào)碼是多少？ 　　解答：3人自己取走的球數(shù)是25（1+2+3）192=17（個(gè)），17=3*4+2*1+1*3，所以，穿2號(hào)球衣的人取走手中球數(shù)1的3倍，這是甲。　答：甲穿的運(yùn)動(dòng)衣的號(hào)碼是2。 5. 甲、乙兩人打乒乓球，誰先勝兩局誰贏；如果沒有人連勝兩局，則誰先勝三局誰贏，打到?jīng)Q出輸贏為止。那么一共有多少種可能的情況？　　解答：設(shè)甲勝為A，甲負(fù)為B，若最終甲贏，有7種可能的情況。如圖。同理，乙贏也有7種可能的情況。7+7＝14　　答：一共有14種可能的情況。第十二講 奇數(shù)與偶數(shù)奇數(shù)和偶數(shù)的概念：（雙數(shù)），不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)（單數(shù)）。因?yàn)榕紨?shù)是2的倍數(shù)，所以通常用2k這個(gè)式子來表示偶數(shù)（這里k是整數(shù)），因?yàn)槿魏纹鏀?shù)除以2其余數(shù)總是1，所以通常用式子2k+1來表示奇數(shù)（這里k是整數(shù)）。特別注意，因?yàn)?能被2整除，最小的偶數(shù)是０．奇數(shù)與偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：（1）奇數(shù)個(gè)奇數(shù)相加減得奇數(shù) （2）偶數(shù)個(gè)奇數(shù)相加減得偶數(shù)。（3）奇數(shù)加減偶數(shù)得奇數(shù)。（加減一個(gè)奇數(shù)會(huì)改變結(jié)果的奇偶性）（4）任意個(gè)偶數(shù)相加減得偶數(shù)。（加減一個(gè)偶數(shù)不會(huì)改變結(jié)果的奇偶性）（5）任意個(gè)奇數(shù)相乘得奇數(shù)。（6）偶數(shù)乘以任何數(shù)得偶數(shù)。（7） ：奇數(shù)和偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)加減：奇偶性相同的兩個(gè)數(shù)的和或差都是偶數(shù)口訣：同性得偶異性得奇奇+奇=偶 奇—奇=偶偶+偶=偶 偶—偶=偶 或： 奇+偶=奇 奇—偶=奇 偶+奇=奇 偶—奇=奇乘法奇奇=奇 奇偶=偶偶偶=偶奇偶數(shù)加減法常見結(jié)論：結(jié)論一：任意個(gè)偶數(shù)的和是偶數(shù)。 根據(jù)偶數(shù)的加法性質(zhì)，把任意兩個(gè)偶數(shù)倆倆結(jié)合在一起相加之后再相加，如果還多一個(gè)就接著加，即（偶+偶）+（偶+偶）+（偶+偶）+（偶+偶）+…+（偶+偶）=偶+偶+偶+…+偶=（偶+偶）+…+偶=偶+偶=偶。結(jié)論二：奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和為奇數(shù)，偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和是偶數(shù) 有2n+1個(gè)奇數(shù)，把前2n個(gè)奇數(shù)倆倆結(jié)合在一起相加之后，得到的都是偶數(shù)，再把偶數(shù)相加還是偶數(shù)，最后再加上剩下的一個(gè)奇數(shù)，結(jié)果為奇數(shù)。結(jié)論三：兩個(gè)數(shù)的和加上這兩個(gè)數(shù)的差，得到的和一定是偶數(shù)，即a+b與+a—b的奇偶性的相同。 例題與方法指導(dǎo)例1. 用數(shù)字0可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的奇數(shù)和偶數(shù)？思路導(dǎo)航：注意特殊數(shù)字“0”，因?yàn)榕紨?shù)的個(gè)位數(shù)字為偶數(shù)，所以在0、3這三個(gè)數(shù)中要想得到偶數(shù)，0必須在個(gè)位上，有0、1310 共5個(gè)；奇數(shù)的個(gè)位數(shù)字為奇數(shù)，所以要有1或3在個(gè)位，有1310301共6個(gè)。例2. 3+5+7+9+11+13+15+17的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？為什么？思路導(dǎo)航：運(yùn)用結(jié)論二：偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和是偶數(shù)。拓展：13579111213的積是奇數(shù)還是偶數(shù)？ 奇奇=奇，所以135791113的積為奇，再12,12是偶數(shù)，奇積=偶，所以積為偶數(shù)。充分利用奇數(shù)偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)。例3. 有一本500頁的書，從中任意撕下20張紙，這20張紙上的所有頁碼之和能否使1999？思路導(dǎo)航：20張紙每張紙反正兩面的兩個(gè)頁碼之和是（奇+偶=奇），20個(gè)奇數(shù)的和是偶數(shù)，不可能為奇數(shù)，所以這20張紙上的所有頁碼之和不可能為1999 鞏固訓(xùn)練1. 桌子上有6只開口向上的杯子，每次同時(shí)翻動(dòng)其中的四只杯子，問能否經(jīng)過若干次翻動(dòng)，使得全部杯子的開口全都向下？【分析解答】杯子要反過來，要翻奇數(shù)次，6個(gè)杯子共需要翻6奇數(shù)=偶數(shù)次，規(guī)定每次翻4個(gè)杯子，總翻的次數(shù)為4翻動(dòng)次數(shù)，因?yàn)?是偶數(shù)，所以總翻動(dòng)次數(shù)為偶數(shù)，因此，有可能經(jīng)過有限次翻動(dòng)使6個(gè)杯子開口全都向下。2. (1)不算出結(jié)果，判斷數(shù)(524+42429)是偶數(shù)還是奇數(shù)？(2)數(shù)(42□+30147)能被2整除，那么，□里可填什么數(shù)？(3)下面的連乘積是偶數(shù)還是奇數(shù)？1357911131415。解：根據(jù)奇偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：(1)因?yàn)?24，42是偶數(shù)，所以(524+42)是偶數(shù)。又因?yàn)?29是奇數(shù)，所以(524+42429)是奇數(shù)。(2)數(shù)(42□+30147)能被2整除，則它一定是偶數(shù)。因?yàn)?47是奇數(shù)，所以數(shù)(42□+30)必是奇數(shù)。又因?yàn)槠渲械?0是偶數(shù)，所以，數(shù)42□必為奇數(shù)。于是，□里只能填奇數(shù)1，3，5，7，9。(3)1，3，5，7，9，11，13，15都是奇數(shù)，由13為奇數(shù)，推知135為奇數(shù)……推知　　13579111315　　為奇數(shù)。因?yàn)?4為偶數(shù)，所以　　(13579111315)14為偶數(shù)，即　　1357911131415為偶數(shù)。3. 能被5整除的數(shù)的特征　　由05=0，25=10，45=20，65=30，85= 40，…可以推想任何一個(gè)偶數(shù)乘以5，所得乘積的個(gè)位數(shù)都是0?！　∮?5=5，35=15，55=25，75=35，95= 45，…可以推想，任何一個(gè)奇數(shù)乘以5，所