【導(dǎo)讀】1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來?；騛；向量的三要素：起點、方向、長度。這種從圖形F到F'的位置變換叫平移變換。通俗來講，就是圖形在移動過程中本。身不發(fā)生任何轉(zhuǎn)動。、平移公式：設(shè)P（x，y）是F上任意一點，平移向量12(,)aaa????∴平移后得到的向量是（3,0），即AB向量。，規(guī)定零向量和任何向量平行。①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；④三點ABC、、共線?⑤兩個非零向量平行的充要條件是這兩個向量所在直線平行或重合。的相反向量是－a???。都是一對相反向量，記作AB???(解答：（1）若ab?度（模）相等且方向相同。∴命題不成立但逆命題成立；即ab?是ABCD是平行四邊形的必要不充分條件。是對的；ABCD是平行四邊形是。的充分不必要條件。的；平行向量無傳遞性！1．幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如AB，注意起點在前，終點在后；

　　

【正文】 A ????? ? ∴ ( 2 2 c o s , 2 2 s i n )O A O C C A ????? ??? ???? ? ? ? ? 22| | ( 2 2 c o s ) ( 2 2 s i n )OA ????? ? ? ? ?， | | 2OB??? ? ； 設(shè)向量 OA??? 與向量 OB??? 夾角為 ? ∵ 222 ( 2 2 c o s )c o s2 ( 2 2 c o s ) ( 2 2 s in )O A O BO A O B????????? ? ?212 2 s in1 ( )2 2 c o s??? ?? ? 令 2 2 sin2 2 cosy ???? ?， ∴21cos 1 y? ? ? ，由題知 0y? ∵ ? ?0,??? ， ∴ 22 21sin 1 c os 1 1 1 yy y??? ? ? ? ?? ?， sintan cos y?? ??? 又由 2 2 sin2 2 cosy ???? ?得 sin c o s 2 ( 1 )yy??? ? ?，22 ( 1 )si n( ) 11yy?? ?? ? ??， 由 222 ( 1) 11yy??? ???? ? ???，得 2 3 2 3y? ? ? ? ∴ 2 3 ta n 2 3?? ? ? ?， ∴ 5[ , ]12 12???? ，故選（ D） 七． 向量的運算律 ： 1． 交換律： a b b a? ? ? ， ? ? ? ?aa? ? ??? ， a b b a? ? ? ； 2． 結(jié)合律： ? ? ? ?,a b c a b c a b c a b c? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ? ? ? ? ?a b a b a b? ? ?? ? ? ? ?； 3． 分配律： ? ? ? ?,a a a a b a b? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?， ? ?a b c a c c? ? ? ? ? ?。 如 下列命題中： ① ??????? ?????? cabacba )( ； ② ?????? ????? cbacba )()( ；③ 2()ab??? 2||a?? 22 | | | | | |a b b? ? ?? ? ? ；④ 若 0????ba ，則 0??a 或 0??b ； ⑤ 若 ,a b c b? ? ? 則 ac? ； ⑥ 2 2aa? ；⑦2a b baa? ?； ⑧ 222()a b a b? ? ? ； ⑨ 222( ) 2a b a a b b? ? ? ? ?。其中正確的是 ______ 解析 ： ① ??????? ?????? cabacba )( 分配律； ② ?????? ????? cbacba )()( 三個向量 點 乘不滿足結(jié)合律 ，且結(jié)果是向量而不是數(shù) ； 如向量 (2,3), (5, 4)ab??， (7,10)c? ， ( ) ( 2 , 3 ) ( ( 5 , 4 ) (7 , 1 0 ) ) ( 2 , 3 ) ( 3 5 4 0 ) 7 5 ( 2 , 3 ) ( 1 5 0 , 2 2 5 )a b c? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ( ) ( ( 2 , 3 ) ( 5 , 4 ) ) (7 , 1 0 ) ( 1 0 1 2 ) (7 , 1 0 ) 2 2 (7 , 1 0 ) ( 1 5 4 , 2 2 0 )a b c? ? ?? ? ? ? ? ? ? ③ 222( ) 2a b a a b b? ? ? ? ?2||a?? 22 | | | | | |a b b? ? ?? ? ? ab? 和 | | | |ab??? 不同點：含義不同， ab? 表示兩向量相乘， | | | |ab??? 模相乘，即長度相乘，相同平面向量 概念 、方法、題型、易誤點及應(yīng)試技巧總結(jié) 第 20 頁 共 26 頁 點：結(jié)果都是數(shù) ④ 若 0????ba ，則 0??a 或 0??b 命題不成立， 0????ba 幾何意義是向量 ab? ， 向量 a? 、 b? 可以是非零向量，但若 0a?? 或 0b?? 時， 0????ba ⑤ 若 ,a b c b? ? ? 則 ac? 向量數(shù)乘不滿足消去律 ⑥ 2 2aa? 成立； ⑦2a b baa? ?不成立， a ? b ＝ cosab ? ； ⑧ 222()a b a b? ? ? 由 ⑥ 知不成立。 ⑨ 222( ) 2a b a a b b? ? ? ? ?成立 （答： ① ⑥⑨ ） 提醒：（ 1） 向量運算和實數(shù)運算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個向量 等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以一個實數(shù)，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量， 切記兩向量不能相除 (相約 )； （ 2）向量的“乘法”不滿足結(jié)合律 ，即 cbacba )()( ??? ，為什么？ 八． 向量平行 (共線 )的充要條件 ： //a b a b??? 22( ) (| || |)a b a b? ? ? ? ?1 2 2 2 1 2 1 2( , ) , ,a x y b x y x y y x? ? ? ? ?＝ 0。 //a b a b? 與 夾 角為 0 或 ? ， a ? b ＝ ab或 a ? b ＝ ab ， ∴ //ab 22( ) (| || |)a b a b? ? ? 如 (1)若向量 ( ,1), (4, )a x b x??，當(dāng) x ＝ _____時 a 與 b 共線且方向相同 解答：∵ //a b a b??? ? ?1 2 2 2 1 2 1 2( , ) , ,a x y b x y x y y x? ? ? ? ?=0 即 2 40x ?? ， ∴ 2x?? ， 當(dāng) 2x?? 時 ， a 與 b 共線且方向相 反， ∴ 2x? （答： 2） ； （ 2） 已知 (1,1), (4, )a b x??， 2u a b?? ， 2v a b??，且 //uv，則 x＝ ______ 解答： ∵ (1,1), (4, )a b x?? ∴ 2u a b?? (9,1 2 )x??； 2v a b?? ? ?6,2 x?? ∵ //uv，且 //a b a b??? ? ?1 2 2 2 1 2 1 2( , ) , ,a x y b x y x y y x? ? ? ? ?=0 ∴ 8 4 6 0xx? ? ? ，故 4x? （答： 4）； （ 3） 設(shè) ( , 1 2 ) , ( 4 , 5 ) , (1 0 , )P A k P B P C k? ? ?，則 k＝ _____時， A,B,C 共線 解答： ∵ ( , 1 2 ) , ( 4 , 5 ) , (1 0 , )P A k P B P C k? ? ? ∴ ? ? ? ?4 , 5 1 2 4 , 7A B P B P A k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ?6 , 5B C P C P B k? ? ? ? ∵ A,B,C 共線 ∴ //AB BC ，即 ? ?? ? ? ?4 5 4 2 0kk? ? ? ? ?， 2 9 22 0kk? ? ? ， ? ?? ?11 2 0kk? ? ? ∴ k =－ 2 或 11 （答：－ 2 或 11） 九． 向量 垂直 的充 要條 件 ： 0 | | | |a b a b a b a b? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 1 2 0x x y y? ? . 特別地( ) ( )A B A C A B A CA B A C A B A C? ? ?。 如 (1)已知 ( 1, 2 ), (3, )O A O B m? ? ?，若 OA OB? ，則 m? 解答： ∵ OA OB? ， ∴ =0OAOB ∴ ? ? ? ?1, 2 3, 0m??即 3 2 0m? ? ? 平面向量 概念 、方法、題型、易誤點及應(yīng)試技巧總結(jié) 第 21 頁 共 26 頁 ∴ 32m? 答案：當(dāng) OA OB? ，則 m? 32 （答： 32）； （ 2） 以原點 O 和 A(4,2)為兩個頂點作等腰直角三角形 OAB， 90B? ? ? ，則點 B 的坐標(biāo)是 ________ 解答： 設(shè) ? ?,Bxy ∵ 90B? ? ? 即 BA OB? ∴ ? ? ? ?, 4 , 2 0B O B A x y x y? ? ? ? ? ?，即 224 2 0x x y y? ? ? ? ∵ 以原點 O 和 A(4,2)為兩個頂點作等腰直角三角形 OAB， 90B? ? ? ， ∴ BO AB? ,即 ? ? ? ?2222 42x y x y? ? ? ? ?即 52yx?? 即 224 2 052x x y yyx? ? ? ? ?? ???解得 13xy?????或 31xy??? ??? 答案： 點 B 的坐標(biāo) 是 (1,3)或（ 3，－ 1） （答： (1,3)或（ 3，－ 1）） ； （ 3） 已知 ( , ),n ab? 向量 nm? ，且 nm? ，則 m 的坐標(biāo)是 ________ 解答： 設(shè) m =? ?,xy ， ∵ 向量 nm? ，且 nm? ∴2 2 2 20ax bya b x y???? ? ? ?? 解得 xbya??? ??? 或 xbya???? ?? 答案： m 的坐標(biāo)是 ( , ) ( , )b a b a??或 （答： ( , ) ( , )b a b a??或 ） 十． 線段的定比分點 ： 1． 定比分點的概念 ： 設(shè)點 P 是直線 P1 P2 上異于 P1 、 P2 的任意一點，若存在一個實數(shù) ? ，使 12PP PP?? ，則 ? 叫做點 P 分有向線段 12PP 所成的比， P 點叫做有向線段 12PP 的以定比為 ? 的定比分點； 2． ? 的符號與分點 P 的位置之間的關(guān)系 ：當(dāng) P 點在線段 P1 P2 上時 ? ? 0；當(dāng) P 點在線段 P1 P2 的延長線上時 ? ? － 1；當(dāng) P點在線段 P2 P1 的延長線上時 10??? ? ? ；若 點 P 分有向線段 12PP 所成的比為 ? ，則點 P 分有向線段 21PP所成的比為 1? 。 如 （ 1） 若點 P 分 AB 所成的比為 34 ，則 A 分 BP 所成的比為 _______ 解答： ∵ 點 P 分 AB 所成的比為 34 ，即 34AP PB? A 分 BP 所成的比為 33 ()44A P B P B A A P? ? ? ? ? ∴ 73BA AP?? 即 A 分 BP 所成的比為 73? 。 （答： 73? ） （ 2）已知 ? ? ? ?122, 1 0, 5PP? 、 且點 P 在 12PP 的延長線上，122PP PP?則 P 點坐標(biāo)為 平面向量 概念 、方法、題型、易誤點及應(yīng)試技巧總結(jié) 第 22 頁 共 26 頁 ? ?2,11A? 4,33B?????? 2,33C?????? ? ?2, 7D ? ( ) 解 答： 設(shè) ( , )Pxy ,點 P 在 12PP 的延長線上，122PP PP?， ∴ 12 2PPPP?? ，即 ? ?? ?2, 1 20 , 5xyxy?? ???? 則 ? ?2 2 0 212x ? ? ?? ? ?? ， 1 2 5 1112y ? ? ????； ∴ P 點坐標(biāo)為 ? ?2,11? ，選 ? ?2,11A? 。 3． 線段的定比分點公式 ：設(shè) 1 1 1( , )P x y 、 2 2 2( , )P x y ， ( , )Pxy 分有向線段 12PP 所成的比為 ? ，則121211xxxyyy?????? ??? ?? ???? ??， 特別地， 當(dāng) ? ＝ 1 時，就得到線段 P1 P2 的中點公式121222xxxyyy?? ???? ?? ???。在使用定比分點的坐標(biāo)公式時，應(yīng)明確 (, )xy ， 11( , )xy 、 22( , )xy 的意義，即分別為分點，起點，終點的坐標(biāo)。在具體計算時應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件，靈活地確定起點，分點和終點，并根據(jù)這些點確定對應(yīng)的定比 ? 。 如 （ 1） 若 M（ 3， 2）， N（ 6， 1），且 MP MN??13 ，則點 P 的坐標(biāo)為 _______ 解 法 1： 設(shè) ( , )Pxy ， ∵ MP MN??13 ， ? ? ? ?? ? ? ?3 , 2 3 , 2M P x y x y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?6 3 , 1 2 9 , 1MN ? ? ? ? ? ? ? ∴ ? ? ? ?13 , 2 9 ,13xy? ? ? ? 解得： 76, 3xy?? ?? 答案： 點 P 的坐標(biāo)為 7( 6, )3?? 解 法 2： 設(shè) ( , )Pxy ， 以 P 為分點， ∵ ? ?13M P M N M P P N? ? ? ? ?13 ， ∴ 14MP PN?? ， 1364 611 4x? ? ?? ? ??， ? ?12174