【正文】 頁 共 26 頁 （ 1） 若 (1,1),ab??(1, 1), ( 1,2)c? ? ? ，則 c? ______（用含 ,ab的式子表示 c ） A. 1322ab?? B. 1322ab?? C. 1322ab? D. 3122ab?? 解答： 根據(jù) 平面向量的基本定理 設(shè) c a b???? 即（ 1,2） = ? ?(1,1) 1, 1???? ? ? ? ?, , ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?（ ， ） 根據(jù)向量相等得 +1=2???????? ??解 得1=232??????? ???? ∴ c? 1322ab? （答： 22ab?）； （ 2） 下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是 A. 12(0 , 0), (1, 2)ee? ? ? B. 12( 1, 2), (5, 7)ee? ? ? C. 12(3,5), (6 ,10)ee?? D. 12 13(2 , 3), ( , )24ee? ? ? ? 解答： 根據(jù) 平面向量的基本定理 ； e1和 e2 是同一平面內(nèi)的兩個 不共線向量 A. 12(0 , 0), (1, 2)ee? ? ?共線， 規(guī)定零向量和任何向量平行 B. 12( 1, 2), (5, 7)ee? ? ? 不共線 ；假設(shè) 12( 1, 2), (5, 7)ee? ? ? 共線，即 ( 1,2) (5,7)??? ，則無解。 （ 4） ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形 ， ∴ 平行四邊形 的對邊平行且相等 ， ∴ AB DC? 是對的； ABCD 是平行四邊形 是AB DC? 的充分不必要條件。 ab? 表示 長度 （模） 相等且方向相同 。（ 4）若 ABCD 是平行四邊形，則 AB DC? 。 a??? 的相反向量是－ a??? 。 5． 相等向量 ：長度相等 且方向相同的兩個向量叫相等向量， 相等向量有傳遞性 ； 兩個向平面向量 概念 、方法、題型、易誤點及應(yīng)試技巧總結(jié) 第 2 頁 共 26 頁 量相等，與向量起點、終點 的位置無關(guān)。 ∴ 把向量 AB 按向量 a ＝（－ 1,3）平移 后得到的向量不會發(fā)生變化。（ x39。的位置變換叫平移變換。 注意 不能說向量就是有向線段 ，為什么？（向量可以平移）。向量常用有向線段來表示， 如 AB??? ， 或 a??? 或 a；向量的三要素：起點、方向、長度。這 種從圖形 F 到 F39。上點P39。 由題意知： 12( , )P P a a a??? ?????? OP OP a??? ??? ?????? 12( , ) ( , ) ( , )x y x y a a?? ?? 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , ) ( , )x y a a x y x a y a?? ? ? ? ? ? 12x x ay y a????? ???? 即：對應(yīng)點坐標(biāo) =原點坐標(biāo) +平移向量坐標(biāo) 如 ： 已知 A（ 1,2）， B（ 4,2），則把向量 AB 按向量 a ＝（－ 1,3）平移后得到的向量是 _____（答： （ 3,0） ） 解析 1：（用 平移公式 ）把點 A（ 1,2） 平移 向量 a ＝（－ 1,3） 后得 A? =(11,2+3)=(0,5) 把點 B（ 4,2） 平移 向量 a ＝（－ 1,3） 后得 B? =(41,2+3)=(3,5)， ( 4 1, 2 2) ( 3 , 0)AB ? ? ? ? ∴ ( 3 0 , 5 5 ) ( 3 , 0)AB?? ? ? ? ? 答案： 把向量 AB 按向量 a ＝（－ 1,3）平移后得到的向量是 (3,0)AB??? 解析 2： ∵ 把向量 AB 按向量 a ＝（－ 1,3）平移 是 指 把向量 AB 的首末端點 按向量 a ＝（－ 1,3）平移 。 答案為（ 3,0） 3． 零向量 ：長度為 0 的向量叫零向量，記作： 0??? ， 0??? =0 注意 零向量的方向是任意的 ； 4． 單位向量 ：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量 (與 AB 共線的單位向量是||ABAB?)； 單位向量的方向是不確定的。 ⑥ 兩個平行的非零向量在其方 向與模兩個要素上可能出現(xiàn)以下四種情況： Ⅰ 、方向相同，長度相等； Ⅱ 、方向相同，長度不等； Ⅲ 、方向相反，長度相等； Ⅳ 、方向相反，長度不等； 7． 相反向量 ：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。（ 3）若 AB DC? ，則 ABCD 是平行四邊形。其中正確的是 _______ （答：（ 4）（ 5）） (解答： （ 1）若 ab? ， 表示模相等，方向可以是任意的。 AB DC? 是 ABCD 是平行四邊形 的必要不充分條件。 三． 平面向量的基本定理 ：如果 e1 和 e2 是同一平面內(nèi)的兩個 不共線向量 ，那么對該平面內(nèi)的任一向量 a，有且只有一對實數(shù) 1? 、 2? ，使 a= 1? e1＋ 2? e2。 （ 0a?? 是零向量不是數(shù)零） 五． 平面向量的數(shù)量積 ： 1． 兩個向量的夾角 ：對于非零向量 a ， b ，作 ,OA a OB b??， AOB ??? ? ?0 ???? 稱為向量 a ， b 的夾角， 則 cos | || |abab? ?? ， 當(dāng) ? ＝ 0 時， a ， b 同向，當(dāng) ? ＝ ? 時， a ，b 反向，當(dāng) ? ＝ 2? 時， a ， b 垂直。 （答： 1）； 3． b 在 a 上的投影 為 | |cosb ? ，它是一個實數(shù)，但不一定大于 0。 （ 6） 已知 ab、 都是非零向量，且向量 3ab? 與向量 75ab? 垂直，向量 4ab? 與向量 72ab?垂直， 則 a 與 b 的夾角 ? 為 解析： 由已知有 ? ? ? ?? ? ? ?3 7 5 04 7 2 0a b a ba b a b? ? ? ??? ? ? ??? 平面向量 概念 、方法、題型、易誤點及應(yīng)試技巧總結(jié) 第 8 頁 共 26 頁 ∴ 227 16 15 0 , (1 )7 30 8 0 , ( 2)a a b ba a b b? ? ? ???? ? ? ?? （ 1） （ 2）得 212ab b?；（ 1） 15（ 2） 8 得 ab? ∴2112c o s ,2bababa b a b?? ?? ? ? ∵ ? ?0,??? ∴3??? （ 7） 已知 OFQ? 的面積為 S ，且 1?? ? ??? ?? FQOF ，若 2321 ??S ，則 OF??? ， FQ??? 夾角 ? 的取值范圍是 _________ 解答： ∵ OF??? ， FQ??? 夾角 為 ? ∴ 在 OFQ? 中 ∠ OFQ=??? ， ? ?s i n s i n s i nO F Q ? ? ?? ? ? ? ∵ 1?? ? ??? ?? FQOF 即 c o s 1O F F Q F O F Q ???? ??? ? ? ? ∴ 1cosFO FQ ?? ∵ OFQ? 的面積 S = 1 1 1sin sin2 2 c o sF O F Q ????= 1tan2 ? ，且 2321 ??S ∴ 1 tan 3??? ∵ ? ?0,??? ∴ 43????? ，即 43????（ ， ） ∴ ? ??? ?? FQOF, 夾角 ? 的取值范圍是 ( , )43?? （答： ( , )43?? ）； （ 8） 已知 (cos ,sin )a x x? ， (cos ,sin )b y y? ， a 與 b 之間有關(guān)系式 3k a b a k b? ? ?， 0k?其 中 ， ① 用 k 表示 ab? ； ② 求 ab? 的最小值，并求此時 a 與 b 的 夾角 ? 的大小 解答： ∵ (cos ,sin )a x x? ， (cos ,sin )b y y? ， ∴ ( c o s c o s , s in s in )k a b k x y k x y? ? ? ?， ? ?( c o s , s in ) ( c o s , s in ) c o sa b x x y y x y? ? ? ? ? ?c o s c o s , s i n s i na k b x k y x k y? ? ? ?， ∵ 3 , 0k a b a k b k? ? ? ?其 中 ∴ ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 2c o s c o s s i n s i n 3 c o s c o s s i n s i nk x y k x y x k y x k y? ? ? ? ? ? ? 解得： ? ? ? ?2 1c o s , 04kx y kk?? ? ? ∴① ? ?cosa b x y? ? ? ? ?2 1 ,04k kk??? ?O FQ平面向量 概念 、方法、題型、易誤點及應(yīng)試技巧總結(jié) 第 9 頁 共 26 頁 ②∵ ? ?cosa b x y? ? ? ? ?2 1 ,04k kk??? ∴ ab? ? ?2 1 1 1 1 1 12 , 04 4 4 2k k k kk k k? ??? ? ? ? ? ? ?????，當(dāng)且僅當(dāng) 1kk?，即 1k? 時，取得最小值 12，此時 ∵ 1, 1ab??， 12ab?? ∴ 1cos2abab? ??， ∵ ? ?0,??? ∴ 060,?? （或 ,3???） 即 a 與 b 的 夾角 ,3??? 答 案 ： ① 2 1 ( 0)4ka b kk?? ? ?； ② 最小值為 12 ， 60?? 解析 2： ① ∵ 3 , 0k a b a k b k? ? ? ?其 中， 1ab?? ∴ 2 2 2 2222 3 3 6k a b k a b a k b k a b? ? ? ? ? ∴ 241ka b k?? ab?? ? ?2 1,04k kk? ? ； ② 同解析 1. （ 9） 已知 2, 5, 3a b a b? ? ? ?，則 ab? 等于 ____ 解答： ∵ 222,a a a a a a? ? ? ?， 2, 5, 3b a b? ? ? ? ∴ ab? = ? ? 2 222 4 2 5 6 2 3a b a a b b? ? ? ? ? ? ? ? ∴ ab? = 23 （答： 23 ）； （ 10） 已知 ,ab是兩個非零向量，且 a b a b? ? ? ，則 與a a b? 的夾角為 ____ 解 法 1： ∵ 222,a a a a a a? ? ? ?， a b a b? ? ? ∴ ? ? 22 2 2 2 222a b a b a b a b a a b? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 223a b a b a b a? ? ? ? ?， 223() 2a a b a a b a? ? ? ? ∴ 設(shè) 與a a b? 的夾角為 ? ，由 cos abab??? 得 23( ) 32c o s23aa a baaa a b???? ? ?? ∵ ? ?0,??? ∴ 030,?? （或 ,6??? ） 平面向量 概念 、方法、題型、易誤點及應(yīng)試技巧總結(jié) 第 10 頁 共 26 頁 （答： 30 ） 解法 2： （ 幾何 運算 解法） 設(shè) ,AB a AD b??（如圖） 則 DB a b?? ∵ a b a b? ? ? ∴ 平行四邊形 ABCD 是菱形 △ ABD 是等邊三角形 AC a b?? ∴ AC 與 AB 的夾角是 30176。 BCADaba + bA BCab a bABC 平行四邊形 法則 三角形 加 法 法 則 三角形 減 法 法 則 如 （ 1） 化簡： ① AB BC CD? ? ?___； ② AB AD DC? ? ?____； ③ ( ) ( )A B C D A C B D? ? ? ?____ 解答： ① A B B C CD A D? ? ?(由起點到終 點 )； ② A B A D D C D B D C C B? ? ? ? ?或 ()A B A D D C A B A D D C A B A C C B? ? ? ? ? ? ? ? ③ ( ) ( )A B C D A C B D? ? ? ?( ) ( ) 0A B A C D C D B C B B C? ? ? ? ? ? 或 ( ) ( )A B C D A C B D? ? ? ?( ) ( ) 0A B B D A C C D A D A D? ? ? ? ? ? （答： ① AD ； ② CB ； ③ 0 ）； （ 2） 若 正方形 ABCD 的邊長為 1， ,AB a BC b AC c???，則 ||abc?? ＝ _____ 解答： ∵ a b c??， 2c? ∴ ||abc?? 2| | 2 2c?? （答： 22）； （ 3） 若 O 是 ABC 所在平