16742大數(shù)定律16743隨機(jī)變量序列的兩種收斂性16744中心極-資料下載頁(yè)
2024-10-24 16:40本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】特征函數(shù)是處理概率論問(wèn)題的有力工具，可將求各階矩的積分運(yùn)算化成微分運(yùn)算；可將求隨機(jī)變量序列的極限分布化成一般。當(dāng)X為連續(xù)隨機(jī)變量時(shí)，討論“概率是頻率的穩(wěn)定值”的確切含義；給出幾種大數(shù)定律：。馬爾可夫大數(shù)定律、辛欽大數(shù)定律.n是n重伯努利試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，每次試驗(yàn)中P=p,則對(duì)任意的?則稱{Xn}服從大數(shù)定律.證明用到切比雪夫不等式.伯努利大數(shù)定律是辛欽大數(shù)定律的特例.ii)按分布收斂：用于中心極限定理.依概率收斂到a與b的加、減、乘、除.對(duì)分布函數(shù)列{Fn}而言，點(diǎn)點(diǎn)收斂要求太高.
【正文】 . 0 5 0 . 0 5 / ( 1 ) 1nP Y n p n p p? ??? ? ? ?0 . 0 5 / ( 1 ) 1 . 6 4 5n p p??從中解得 Yn 服從 b(n, p) 分布， k 為 Yn的實(shí)際取值。 又由 0 . 2 5(1 )pp ?? 可解得 2 7 0 .6n ? n = 271 第四章 大數(shù)定律與中心極限定理 29 November 2020 第 32頁(yè) 例 設(shè)每顆炮彈命中目標(biāo)的概率為 ， 求 500發(fā)炮彈中命中 5 發(fā)的概率 . 解 : 設(shè) X 表示命中的炮彈數(shù) , 則 X ~ b(500, ) 5 5 4 9 5500( 1 ) ( 5 ) 0 . 0 1 0 . 9 9PX C? ? ? ?＝ (2) 應(yīng)用正態(tài)逼近 : P(X=5) = P( X ) 5 .5 5 4 .5 54 .9 5 4 .9 5??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?= 第四章 大數(shù)定律與中心極限定理 29 November 2020 第 33頁(yè) 獨(dú)立不同分布下的中心極限定理 定理 林德貝格中心極限定理 設(shè) {Xn }為獨(dú)立隨機(jī)變量序列，若 任對(duì) ? 0，有 22211 ( ) ( ) d 0l iminnxBniniix p x xB ?? ?? ???????? ?11 ()l i m ( )niiinnXBPy y???????? ???????林德貝格條件 則 第四章 大數(shù)定律與中心極限定理 29 November 2020 第 34頁(yè) 李雅普諾夫中心極限定理 定理 李雅普諾夫中心極限定理 設(shè) {Xn }為獨(dú)立隨機(jī)變量序列，若 存在 ? 0，滿足： ? ?2121 0lim ninniiB EX???????? ???11()l i m ( )niiinnXBPy y?????? ?????????李雅普諾夫條件 則 林德貝格條件較難驗(yàn)證 . 第四章 大數(shù)定律與中心極限定理 29 November 2020 第 35頁(yè) 例 設(shè) X1, X2 , …. , X99相互獨(dú)立 , 且服從不同的 01分布 試求 解 : 設(shè) X100, X101, …. 相互獨(dú)立 , 且與 X99同分布 , 則可以驗(yàn)證 {Xn}滿足 ? =1的李雅普諾夫條件 ，且 ? ?9999114 9 .56 0 4 9 .56 0 1 2 .5 7 3 5 0 .0 0 51 6 .6 6 5 1 6 .6 6 5iiiiXP X P ?????????????? ??????? ? ? ? ? ? ???? ?1 1 ,100ii iP X p? ? ? ? 99160iiXP?????????9 9 9 9114 9 . 5 , 1 6 . 6 6 5 ,iiiiE X V a r X??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?????由此得
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