條件概率與隨機(jī)變量的獨(dú)立性-資料下載頁
2025-04-29 12:03本頁面
【正文】 x e???221()2yYf y e???x? ? ? ? ??y?? ? ? ??又 X和 Y相互獨(dú)立 ( , ) ( ) ( )XYf x y f x f y? ,xy? ? ? ? ? ?由卷積公式得 ( ) ( ) ( )Z X Yf z f z y f z x dx????? ? ??22()2212x z xe e d x???? ????? ?22 24212z x zxe e dx????????? ?222412zz xe e dx??????????????? ?令 ，得 2ztx??2241()2ztZf z e e dt???? ???? ?2412ze ?? ???2412ze???所以 Z服從 μ=0， σ2=2的正態(tài)分布，即 Z~N(0， 2) 定理 1 設(shè) X， Y相互獨(dú)立，且 ， 211~ ( , )XN ?? 222~ ( , )YN ??則 Z=X+Y仍然服從正態(tài)分布，且 221 2 1 2~ ( , )ZN ? ? ? ??? 例 5 設(shè)某種商品一周的需求量是一個(gè)隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為 ,0()0,xx e xfx?? ?? ?? 其 它如果各周需求量相互獨(dú)立，求兩周需求量的概率密度。 解 分別用 X， Y表示第一、二周的需求量，則 ,0()0,xXx e xfx ?? ???? 其 它,0()0,yYy e yfy ?? ???? 其 它從而兩周的需求量 Z=X+Y，由卷積公式 ( ) ( ) ( )YZXf z f x f z x d x???????當(dāng) z≤0時(shí) ， 若 x0，則 zx0， fZ(zx)=0； 若 x≤0，則 fX(x)=0， 故 ( ) ( ) ( ) 0Z X Yf z f x f z x? ? ?當(dāng) z0時(shí) ， 若 x≤0，則 fX(x)=0； 若 zx≤0，即 z≤x， 則 fY(zx)=0, 故 ( ) 0Zfz ?因此，當(dāng) 0xz時(shí)， ( ) ( ) ( )YZXf z f x f z x d x???????xyo0z y x? ? ?z y x??( ) ( ) ( )YZXf z f x f z x d x???????()0()z x z xx e z x e d x? ? ????0 ()z zx z x e dx????20 ()zze x z x d x????230|23zzxxez? ????????36zz e??綜合得 3,0() 60,zZzezfz?? ??? ??? 其 它2. 及 的分布 { , }M m a x X Y? { , }N m in X Y?設(shè)隨機(jī)變量 X， Y相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為 和 ()XFx ()YFy由于 不大于 z等價(jià)于 X和 Y都大于 z，故有 { , }M m a x X Y?( ) { }MF z P M z?? { , }P X z Y z? ? ?{ } { }P X z P Y z? ? ?( ) ( )XYF z F z?類似地，可得 的分布函數(shù)為 m in { , }N X Y?( ) { }NF z P N z??1 { , }P X z Y z? ? ? ?1 { }P N z? ? ?1 { } { }P X z P Y z? ? ? ?1 [ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ]XYF z F z? ? ? ? 關(guān)于 M=max{X， Y}和 N=min{X， Y}分布的結(jié)論可以推廣到 n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的情形： 設(shè) X1， X2， … ， Xn是 n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其分布函數(shù) 分別為： ( ),則 的分布函數(shù)為 12, , , nX X XF F F1, 2 , ,in? 12m a x{ , , , }nM X X X?12( ) ( ) ( ) ( )nM X X XF z F z F z F z?12m i n{ , , , }nN X X X?的分布函數(shù)為 12( ) [ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ]nN X X XF z F z F z F z? ? ? ? 例 6 設(shè)隨機(jī)變量 X1， X2相互獨(dú)立，并有相同的幾何分布： 1{ } ,kiP X k p q ??? 1, 2 ,k ? ( 1 , 2 。 1 )i q p? ? ?求 的分布 12m a x{ , }Y X X?解 方法一 12{ } { m a x{ , } }P Y n P X X n? ? ?1 2 2 1{ , } { , }P X n X n P X n X n? ? ? ? ? ?因?yàn)? 11{} nP X n p q ???2 2 2{ } { 1 } { 2 } { }P X n P X P X P X n? ? ? ? ? ? ? ?1np p q p q ?? ? ? 1111nnkkqpq pq???????1 1 1 1{ } { 1 } { 2 } { 1 }P X n P X P X P X n? ? ? ? ? ? ? ? ?111111nnkkqp q pq?????????12 1 2 111nnnnqqp q p q???????11( 2 )n n np q q q??? ? ?所以 11 1 1 111{}nnn k n kkkP Y n p q p q p q p q?? ? ? ???? ? ???方法二 { } { } { 1 }P Y n P Y n P Y n? ? ? ? ? ?1 2 1 2{m a x( , ) } {m a x{ , } 1 }P X X n P X X n? ? ? ? ?1 2 1 2{ , } { 1 , 1 }P X n X n P X n X n? ? ? ? ? ? ? ?12{ } { }P X n P X n? ? ? ?12{ 1 } { { 1 }P X n P X n? ? ? ? ? ?2211111nnkkkkp q p q?????? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???2 212211n nqqpp??? ???????? ??????2 1 2( 1 ) ( 1 )nnqq ?? ? ? ?11( 2 )n n np q q q??? ? ?
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