chp312隨機向量隨機變量的獨立性新-資料下載頁
2025-05-14 21:53本頁面
【正文】 函數(shù)之積，即 1 , n??1 1 1( , ) ( ) ( ) , , 1 , , .n n n iF x x F x F x x i n? ? ?則稱 相互獨立。 1 , n??一族無限多個隨機變量稱作相互獨立的，如果其中任意有限個相互獨立 。 定理 如果隨機變量 相互獨立，則其中任何一部分隨機變量仍獨立。 1 , n?? 于是， 整體獨立的多個隨機變量是兩兩獨立的，但其逆命題不真。 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理 隨機向量 相互獨立，當(dāng)且僅當(dāng) ( , )??1 2 1 2 1 2{ , } { } { } , , .P B B P B P B B B? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 1B定理 12( , ) ( ) ( ) , , 1 , 2 ,i j i jp x y p x p y i j? ? ?如果 為離散型隨機向量，則 與 獨立的充分必要條件是它的聯(lián)合分布等于邊際分布之積。 ( , )????定理 如果 為連續(xù)型隨機向量，則 與 獨立的充分必要條件是它的聯(lián)合密度等于邊際密度之積。 ( , )????12( , ) ( ) ( ) ,p x y p x p y? ,xy? R對幾乎處處的 成立。 2n?下面，以 為例討論獨立性定義的種種 等價形式 。 ?若隨機變量 與 獨立，則 條件分布化為無條件分布 。 ?{ | } { } .P y x P y? ? ?? ? ? ?即由 的取值不能得出任何關(guān)于 的信息。 ??機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 隨機向量之間的獨立性 定義 對于 維隨機向量 和 維隨機向量 ，如果 nξ ηm{ , } { } { }P A B P A P B? ? ? ? ?ξ η ξ η成立， 則稱 與 相互獨立。 ξ η,AB m其中 分別是任意一個 維和 維的博雷爾點集。 n 顯然若 與 獨立，則 的子向量 與 的子向量獨立 ξ η ηξ命題 二維正態(tài)隨機變量相互獨立的充分必要條件為參數(shù) 。 0r ?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 隨機變量的獨立性概念 是概率論中最基本的概念之一，也是最重要的概念之一，關(guān)于獨立隨機變量的研究構(gòu)成了概率論的重要課題，我們將在第五章介紹一些基本結(jié)果。 正態(tài)分布的一個條件 （ 1） 與 有連續(xù)的密度函數(shù)。 ? ? （ 2） 與 相互獨立 。 ??彈落點的坐標(biāo) 是一個二維隨機變量，若滿足 ( , )??（ 3） 的密度函數(shù)在 點的值僅與它到原點的距 離有關(guān)。 ( , )?? ( , )xy??則 與 均服從 正態(tài)分布 。 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 { , }P m n????例 ?假定在一段確定的時間內(nèi)，放射性物質(zhì)發(fā)射出的 粒子數(shù)服從參數(shù)為 的泊松分布，如果每個發(fā)射出的 粒子被記錄下的概率均為 ，且各粒子能否被記錄相互獨立，求證在這段時間內(nèi)被記錄下的 粒子數(shù) 與未被記錄下的粒子數(shù) 相互獨立。 ??p?? ?解 由于泊松分布在隨機選擇下不變，故隨機變量 均服從泊松分布，參數(shù)分別為 與 ，于是，對任何非負整數(shù) 與 有 ,??p? ( 1 )q q p? ??m n{ } { , | }P m n P m n m n? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 { } { } .P m P n??? ? ? ??因此， 與 相互獨立。 ?在獨立重復(fù)的伯努利實驗序列中，如果實驗重復(fù)的次數(shù)服從泊松分布，那么成功次數(shù)和失敗次數(shù)相互獨立。 命題 這個命題的逆命題也成立，可以利用母函數(shù)給出簡單的證明。 注： ( ) !mnmnmne p qnmn???? ????? ??? ??!!m m n npqpqeemn???? ???
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